第四講有理數(shù)的加減法【課程解讀】————小學初中課程解讀————小學課程初中課程小學數(shù)學中，要求認識中括號，能進行簡單的整數(shù)四則混合運算（以兩步為主，不超過三步），探索并了解運算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對加法的分配律），會應(yīng)用運算律進行一些簡便運算，在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系，能分別進行簡單的小數(shù)、分數(shù)（不含帶分數(shù)）加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。初中數(shù)學中，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算（以三步以內(nèi)為主），理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算，能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題【知識銜接】————小學知識回顧————一、加、減法意義和運算定律（1）把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫加法。（2）已知兩個數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。（3）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置后，它的和不變，這叫做加法交換律。二分數(shù)的加減法運算（1）同分母分數(shù)加減的法則同分母分數(shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。（2）同分母帶分數(shù)加減的法則帶分數(shù)相加減，先把整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。（3）異分母分數(shù)加減的法則異分母分數(shù)相加減，先通分，然后按照同分母分數(shù)加減的法則進行計算。三小數(shù)的加減法計算小數(shù)加減法，先把小數(shù)點對齊（也就是把相同的數(shù)位上的數(shù)對齊），再按照整數(shù)加減法則進行計算，最后在得數(shù)里對齊橫線上的小數(shù)點位置，點上小數(shù)點。四、混合運算計算法則1、在沒有括號的算式里，只有加減法或只有乘除法的，都要從左往右按順序運算；2、在沒有括號的算式里，有乘除法和加減法的，要先算乘除再算加減；3、算式里有括號的要先算括號里面的。————初中知識鏈接————1.有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）（2）相關(guān)運算律交換律：a+b=b+a；結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）．2.有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即：ab=a+（b）（2）方法指引：①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號（減數(shù)變相反數(shù)）；【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進行計算．3.有理數(shù)的加減混合運算（1）有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．（2）方法指引：①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號的和的形式．②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運算律，使計算簡化．【經(jīng)典題型】小學經(jīng)典題型1．下列算式的商最接近70的是()。A．254÷5B．475÷6C．492÷7D．540÷8【答案】C【解析】由計算可知，C最接近70，故應(yīng)選C2．要使□89÷5的商是兩位數(shù)，□里可以填（）A．6～9 B．0～4 C．1～4【答案】C【解析】只要被除數(shù)的百位和十位上組成的數(shù)字□5比除數(shù)5小的數(shù)，商就是兩位數(shù)．□＜5，那么這個數(shù)可能是：1，2，3，4；即□里面可能是1，2，3，4．故選C．3．一個壞水龍頭每分鐘要流掉65克水，1小時流掉（）克水。A．650 B．3900 C．65【答案】B【解析】6560＝3900（克）故答案是：B4．4×7+2()3×8+3．A．> B．< C．=【答案】A【解析】表內(nèi)乘法，整數(shù)四則混合運算根據(jù)口訣計算：4×7+2=30，3×8+3=27，比較大?。鶕?jù)口訣計算再比較大?。蔬xA5．3×（2＋3）＝（）。A．2 B．3 C．4 D．15【答案】D【解析】【詳解】這道算式題里有小括號，要先算小括號里面的。第一步：2＋3＝5，第二步：3×5＝15，所以3×（2＋3）＝15，選D。6．256÷5＝51……1，下面驗算方法正確的是（）。A．5×1＋51 B．51×5＋1 C．51×5【答案】B【解析】根據(jù)“被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)”可知：256＝51×5＋1。故選：B。7．125×17×8＝17×（8×125）運用了乘法（）。A．交換律 B．結(jié)合律 C．交換律和結(jié)合律【答案】C【解析】25×17×8＝17×（25×8），三個數(shù)的位置交換了，8和25結(jié)合相乘比較簡便，因此題中運用了乘法交換律和乘法結(jié)合律。故答案為：C。8．已知a×b＝c，且a和b都比300小，那么c最大是（）。A．四位數(shù) B．五位數(shù) C．六位數(shù)【答案】B【解析】299×299＝89401，積是五位數(shù)。已知a×b＝c，且a和b都比300小，那么c最大是五位數(shù)。故答案為：B。9．84＋(96÷12×3)=()A．276B．108C．45D．35【答案】B【解析】84＋(96÷12×3)＝84＋（8×3）＝84＋24＝108或84＋(96÷12×3)＝84＋24＝10810．3+3+3+3寫成乘法算式是(

)A．3×4

B．3×3

C．4×4【答案】A【解析】根據(jù)加法和乘法關(guān)系可得：改寫成乘法算式是3×4.11．解答下圖中的問題，需要用到的信息是（）。A．8元，4支，6元，2支B．8元，6元，2支 C．8元，6元 D．6元【答案】C【解析】要計算東東花了多少錢，列式為8＋6＝14（元），需要用到的信息是8元和6元。故答案為：C12．兩位數(shù)乘兩位數(shù)，積可能是（________）位數(shù)，也可能是（________）位數(shù)?！敬鸢浮咳摹窘馕觥孔钚〉膬蓚€兩位數(shù)相乘：10×10＝100，為三位數(shù)；最大的兩個兩位數(shù)相乘：99×99＝9801，為四位數(shù)；所以兩位數(shù)乘兩位數(shù)，積可能是三位數(shù)，也可能是四位數(shù)。13．一個數(shù)除以6，商是18，有余數(shù)，當余數(shù)最大時這個數(shù)是______?！敬鸢浮?13【解析】6﹣1＝518×6＋5＝108＋5＝113故答案為：113。初中經(jīng)典題型1．十堰冬季里某一天的氣溫為3℃～2℃，則這一天的溫差是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：這一天的溫差是2（3）=2+3=5（℃），

故選C．2．計算(2)(6)的結(jié)果等于()A．4 B．4 C．8 D．8【答案】B【解析】（2）（6）=（2）+6=4，故計算（2）（6）的結(jié)果等于4．故選B．3．比1小3的數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】B【解析】解：1?3=?2．

故選：B．4．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：故選：D5．某地一天的最高氣溫為8℃，最低氣溫為1℃，那么這天的溫差為（）℃A．9 B．9 C．8 D．8【答案】A【解析】解：8（1）=8+1=9℃．

故選：A．6．計算的結(jié)果是（）A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】解：．故選：D．7．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B8．某城市有一天的最高氣溫為，最低氣溫為，則這天的最高氣溫比最低氣溫高（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：2（8）=2+8=10．故選：B9．計算（6）+（2）的結(jié)果等于()A．8B．8C．12D．12【答案】B【解析】原式=?(6+2)=?8，故選B.10．某檢修小組從A地出發(fā)，在東西方向的線路上檢修線路，如果規(guī)定向東方向行駛為正，向西方向行駛為負，一天行駛記錄如下（單位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．（1）求收工時的位置；（2）若每km耗油量為0.5升，則從出發(fā)到收工共耗油多少升？【答案】（1）收工時回到出發(fā)地A地；（2）若從出發(fā)到收工共耗油21升．【解析】解：（1）﹣4+（+7）+（﹣9）+（+8）+（+5）+（﹣3）+（+1）+（﹣5）＝﹣4+7﹣9+8+5﹣3+1﹣5＝0km．答：收工時回到出發(fā)地A地．（2）（|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+5|+|﹣3|+|+1|+|﹣5|）×0.5＝（4+7+9+8+5+3+1+5）×0.5＝42×0.5＝21（升）．答：從出發(fā)到收工共耗油21升．11．某工廠一周計劃每日生產(chǎn)自行車100輛，由于工人實行輪休，每日上班人數(shù)不一定相等，實際每日生產(chǎn)量與計劃量相比情況如下表（以計劃量為標準，增加的車輛數(shù)記為正數(shù)，減少的車輛數(shù)記為負數(shù)）：（1）本周生產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；（2）本周總的生產(chǎn)量是多少輛？【答案】（1）17；（2）696輛；【解析】（1）7（10）=17（輛）；（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10），=696（輛），答：本周總的生產(chǎn)量是696輛.12．檢查一個商店10箱水果，以每箱20千克為標準，超出記為“+”，不足記為“—”，情況如下+2千克，+1.5千克，—1千克，—2千克，—1千克，+2.5千克，+1千克，—2千克，—1.5千克，+2.5千克．（1）最多與最少相差多少？（2）總的情況是超出還是不足？（3）若每千克蘋果售價8元，則出售這10箱蘋果可買多少錢？【答案】（1）4.5千克；（2）總的情況是超出；（3）出售這10箱蘋果可買1616元．【解析】解：（1）最多與最少相差：2.5（2）=4.5（千克）（2）2+1.5+(1)+(2)+(1)+2.5+1+(2)+(1.5)+2.5=2＞0，∴總的情況是超出．（3）8×(10×20+2)=1616（元）答：出售這10箱蘋果可買1616元．13．計算：（1）16+(25)+24+(+25)；（2）【答案】（1）40；（2）0【解析】（1）原式=16+24+[(25)+(+25)]=40+0=40；（2）原式=(+)+()=2+(－2)=014．計算：（1）(4)+(5)；（2）0.125++(2)【答案】（1）－9；（2）－1【解析】（1）(4)+(5)=－(4+5)=－9；（2）0.125++(2)=++(2)=1+(2)=－115．1+(2)+3+(4)+…+2017+(2018)【答案】1009【解析】解：原式=[1+(2)]+[3+(4)]+…+[2017+(2018)]

=1+(1)+…+(1)

=1009．16．某班抽查了10名同學的期末成績，以80分為基準，超出的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)，記錄的結(jié)果如下：＋8，－3，＋12，－7，－10，－3，－8，＋1，0，＋10．(1)這10名同學中最高分是多少?最低分是多少?(2)10名同學中，低于80分的所占的百分比是多少?(3)10名同學的平均成績是多少?【答案】①最高分：92分；最低分70分；②低于80分的學生有5人，所占百分比50%；③10名同學的平均成績是80分.【解析】（1）根據(jù)題意分別讓80分加上記錄結(jié)果中最大的數(shù)就是最高分，加上最小數(shù)就是最低分；（2）共有5個負數(shù)，即不足80分的共5人，計算百分比即可；（3）直接讓80加上記錄結(jié)果的平均數(shù)即可求算平均成績．17．在數(shù)軸上有M、N兩點，M點表示的數(shù)分別為m，N點表示的數(shù)是n（n＞m），則線段MN的長（點M到點N的距離）可表示為MN＝n﹣m，請用上面材料中的知識解答下面的問題：一個點從數(shù)軸上的原點O開始，先向左移動3cm到達A點，再向右移動2cm到達B點，然后向右移動4cm到達C點，用1cm表示1個單位長度．（1）請你在數(shù)軸上表示出A、B、C三點的位置，并直接寫出線段AC的長度．（2）若數(shù)軸上有一點D，且AD＝4cm，則點D表示的數(shù)是什么？（3）若將點A向右移動xcm，請用代數(shù)式表示移動后的點所表示的數(shù)．（4）若點P以從點A向原點O移動，同時點Q以與點P相同的速度從原點O向點C移動，試探索：PQ的長是否會發(fā)生改變？如果不變，請求出PQ的長．如果改變，請說明理由．【答案】（1）6cm；（2）點D表示的數(shù)為﹣7或1；（3）﹣3+x；（4）PQ的長為3cm【解析】解：（1）如圖所示：AC＝3(﹣3)＝3+3＝6（cm）．故線段AC的長度為6cm；（2）設(shè)D表示的數(shù)為a，∵AD＝4，∴|﹣3﹣a|＝4，解得：a＝﹣7或1．∴點D表示的數(shù)為﹣7或1；（3）將點A向右移動xcm，則移動后的點表示的數(shù)為3+x；（4）PQ的長不會發(fā)生改變，PQ的長＝0(3)＝3（cm）．故PQ的長為3cm．18．如圖，陸地上最高處是珠穆朗瑪峰頂，海拔約為米，陸地上最低處是(亞洲)西部的死海，海拔約為米，兩地高度的差為多少米？【答案】兩地高度差為米．【解析】解：高出海平面約，記為，低于海平面約，記為，∴(米)答：兩地高度差為米．【實戰(zhàn)演練】————再戰(zhàn)初中題——能力提升————1．計算的結(jié)果是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．【答案】A【解析】詳解：=﹣=0，故選A．2．早春時節(jié)天氣變化無常，某日正午氣溫–3°C，傍晚氣溫2°C，則下列說法正確的是()A．氣溫上升了5°C B．氣溫上升了1°CC．氣溫上升了2°C D．氣溫下降了1°C【答案】A【解析】由題意可知，2﹣（﹣3）=5℃，∴氣溫上升了5℃.故選A．3．計算﹣1+2，結(jié)果正確的是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【答案】A【解析】解：原式＝1，故選：A.4．已知A地的海拔高度為﹣36米，B地比A地高20米，則B地的海拔高度為（）A．16米 B．20米 C．﹣16米 D．﹣56米【答案】C【解析】解：﹣36+20＝﹣16（米），故選：C．5．某臺電冰箱冷藏室的溫度是，冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低，那么這臺電冰箱冷凍室的溫度為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由題意，得422=18℃．

故答案為：C．6．下面的數(shù)中，與﹣2的和為0的是（）A．2 B．﹣2 C． D．【答案】A【解析】∵2+2=0，故選A.7．2019年11月21日，某位華師一附中高一年級的同學測得厚德廣場處的氣溫為3℃，當時他所在教室的氣溫是6℃，比3℃低6℃的溫度是（）℃A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9【答案】B【解析】解：3－6＝－3℃，故選：B.8．把9（+4）（7）+（3）寫成省略加號的和的形式為()A．94+7+3 B．9+473 C．94+73 D．947+3【答案】C【解析】解：把9?（＋4）?（?7）＋（?3）寫成省略加號的和的形式為9?4＋7?3，

故選：C．9．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a+b是()A．正數(shù) B．負數(shù) C．零 D．都有可能【答案】B【解析】根據(jù)數(shù)軸得到，且，則a+b<0，故選擇B.【點睛】10．與的和等于的數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零，，這個數(shù)是2．故選：A11．計算的結(jié)果是()A．1.8 B．9 C．9 D．1.8【答案】B【解析】解：；故選擇：B.12．智能折疊電動車是在傳統(tǒng)電動車的基礎(chǔ)上，根據(jù)消費者需求生產(chǎn)的一種新型電動車．某智能折疊電動車公司計劃每周生產(chǎn)1400輛，平均每天生產(chǎn)200輛．由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計劃每天生產(chǎn)量相比有出入．下表是某周智能折疊電動車生產(chǎn)情況（超計劃生產(chǎn)量為正、不足計劃生產(chǎn)量為負，單位：輛）星期一二三四五六七生產(chǎn)情況（1）根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)智能折疊電動車_______輛；（2）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)________輛；（3）若該公司實行按生產(chǎn)的智能折疊電動車數(shù)量的多少計工資，即計件工資制．如果每生產(chǎn)一輛智能折疊電動車可得人民幣60元，那么該公司工人這一周的工資總額是多少元？【答案】(1)599輛；(2)26輛；(3)84540元.【解析】解：(1)“＋”表示實際每天比計劃每天多生產(chǎn)，“﹣”表示實際每天比計劃每天少生產(chǎn)，故第一天實際生產(chǎn)205輛，第二天實際生產(chǎn)198輛，第三天實際生產(chǎn)196輛，∴前三天共生產(chǎn)智能折疊電動車為：205+198+196=599輛故答案為：599輛.(2)一周每天的產(chǎn)量分別是：205，198，196，213，190，216，191故產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)216190=26輛.故答案為：26輛.(3)一周生產(chǎn)電動車的總量數(shù)為：205+198+196+213+190+216+191=1409輛故一周工人工資的總費用為：1409×60=84540元.故答案為：84540元.13．一果農(nóng)在市場上賣15箱蘋果，以每箱20千克為標準，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負數(shù)來表示，記錄如下：與標準質(zhì)量的差值(單位：千克)10.500.511.5箱數(shù)134322（1）這15箱蘋果中，最重的一箱比最輕的一箱重多少千克？（2）若蘋果每千克售價4元，則這15箱蘋果可賣多少元？【答案】（1）2.5；（2）1216【解析】解：（1）1.5﹣（﹣1）＝2.5（千克）．答：最重的一箱比最輕的一箱多重2.5千克；（2）（﹣1×1）＋（﹣0.5×3）＋0×4＋0.5×3＋1×2＋1.5×2＝﹣1﹣1.5＋0＋1.5＋2＋3＝4（千克）．20×15＋4＝304（千克）304×4＝1216（元）．答：這15箱蘋果可賣1216元．14．（1）–7+13–6+20（2）8+(–10)+(–2)–(–5)【答案】（1）20；（2）1【解析】（1）．（2）．15．列式計算．（1）的倒數(shù)加上除的商，和是多少?（2）一個數(shù)的與這個數(shù)的的和是求這個數(shù)?【答案】（1）；（2）48【解析】（1）（2）16．閱讀下面的解題過程，并用解題過程中的解題方法解決問題．示例：計算：.解：原式：以上解題方法叫做拆項法．請你利用拆項法計算的值．【答案】【解析】解：原式=====.故答案為：.17．袋小麥稱后記錄如下表（單位：），要求每袋小麥的重量控制在。即每袋小麥的重量不高于，不低于.小麥的袋數(shù)小麥的重量（1）這袋小麥中，符合要求的有袋；（2）將符合要求的小麥以為標準，超出部分記為正，不足的記為負數(shù)；（3）求符合要求的小麥一共多少千克？【答案】（1）2；（2），，，，，，，；（3）符合要求的小麥一共有.【解析】解：（1）這10袋小麥中，不符號要求的有2袋；

故答案為：2；

（2）將符合要求的小麥以90kg為標準，超出部分記為正，不足的記為負如下，

1，1，1，0.2，0.2，+0.6，+1，+1；

（3）符合要求的小麥一共有：89×3+89.8×2+90.6+91×2=719.2千克．18．某校初2021屆1到4班計劃每班購買數(shù)量相同的圖書布置班級讀書角，但是由于種種原因，實際購書量與計劃有出入，下表是實際購書情況：班級1班2班3班4班實際購數(shù)量（本）_____33_____21實際購數(shù)量與計劃購數(shù)量的差值（本）+12_____﹣8﹣9（1）完成表格；（2）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知4個班實際一共購書_____本？（3）書店給出兩種優(yōu)惠方案，方案甲：一次購買不少于15本，其中2本書免費；乙方案：如果一次性購書不少于20本，總價9折優(yōu)惠，假設(shè)每本書售價為30元，請你計算初2021屆4個班實際購書最少花費多少元？【答案】（1）42，+3，22；（2）118；（3）3120.【解析】解：（1）由于4班實際購入21本書，實際購入數(shù)量與計劃購入數(shù)量的差值＝﹣9，可得計劃購入數(shù)量＝30（本），所以一班實際購入30+12＝42本，二班實際購入數(shù)量與計劃購入數(shù)量的差值＝33﹣30＝3本，3班實際購入數(shù)量＝30﹣8＝22本．故答案依次為：42，+3，22（2）4個班一共購入數(shù)量＝42+33+22+21＝118本，另解：4個班一共購入數(shù)量＝30×4+12+3﹣8﹣9＝118故答案為：118（3）如果按甲方案購書，每次購入15本，則可以購入7次，且最后還剩13本書單獨購買，即總花費＝30×（15﹣2）×7+30×13＝3120（元）如果按乙方案購書，則共花費＝30×118×90%＝3186（元）故按甲方案購入書花費最少為3120元.故答案為：（1）42，+3，22；（2）118；（3）3120.19．某糧庫3天內(nèi)糧食進、出庫的噸數(shù)如下(“+”表示進庫，“﹣”表示出庫)：+26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20(1)經(jīng)過這3天，倉庫里的糧食是增加了還是減少了？(2)經(jīng)過這3天，倉庫管理員結(jié)算時發(fā)現(xiàn)庫里還存300噸糧，那么3天前倉庫里存糧多少噸？(3)如果進出的裝卸費都是每噸6元，那么這3天要付多少裝卸費？【答案】(1)庫里的糧食是