幻燈片1：標題頁標題：24.4.1弧長和扇形面積——探索圓中部分圖形的度量副標題：掌握弧長與扇形面積公式，學會實際應用配套元素：背景圖：展示含有弧和扇形的實際場景，如扇形花壇、圓弧彎道等，突出弧長和扇形面積計算的必要性。署名：學科、年級、教師姓名幻燈片2：學習目標知識與技能目標：理解弧長的概念，掌握弧長公式的推導過程，能運用弧長公式計算弧長。理解扇形的概念，掌握扇形面積公式的推導過程，能運用扇形面積公式計算扇形面積。能結合弧長和扇形面積公式解決實際問題，提高計算能力和應用能力。過程與方法目標：通過觀察、分析、推導等活動，經歷弧長和扇形面積公式的探究過程，培養(yǎng)邏輯推理能力和抽象思維能力。在運用公式解決實際問題的過程中，體會從整體到部分、從特殊到一般的思想方法，提升分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀目標：在探究弧長和扇形面積公式的過程中，感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)對數(shù)學知識的探究興趣。通過運用公式解決實際問題，體驗成功的喜悅，增強學好數(shù)學的信心?；脽羝?：情境引入——生活中的弧與扇形展示實例：動態(tài)展示建筑中的扇形窗戶、游樂場的圓弧軌道、蛋糕的扇形切片等。提出問題：如何計算圓弧軌道的長度？如何計算扇形蛋糕的面積？提問引導：這些實例中都涉及到圓的一部分——弧和扇形，它們的長度和面積該如何計算呢？本節(jié)課我們就來學習弧長和扇形面積的計算?；脽羝?：探究一——弧長公式概念回顧：圓的周長公式為\(C=2\piR\)（其中\(zhòng)(R\)為圓的半徑）。弧長定義：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，弧的長度叫做弧長。公式推導：整個圓的圓心角是\(360^{\circ}\)，對應的弧長是圓的周長\(2\piR\)。圓心角為\(1^{\circ}\)的弧長是圓周長的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{2\piR}{360}=\frac{\piR}{180}\)。圓心角為\(n^{\circ}\)的弧長\(l\)是圓心角為\(1^{\circ}\)的弧長的\(n\)倍，因此\(l=\frac{n\piR}{180}\)。公式表述：弧長公式：\(l=\frac{n\piR}{180}\)（其中\(zhòng)(n\)為圓心角的度數(shù)，\(R\)為圓的半徑）。圖形演示：在圓形圖中標注出圓心角為\(n^{\circ}\)的弧，結合圖形說明公式中各量的含義?；脽羝?：弧長公式的應用示例例題1：已知一個圓的半徑為\(6cm\)，求圓心角為\(60^{\circ}\)所對的弧長。解題步驟：已知\(R=6cm\)，\(n=60^{\circ}\)。根據(jù)弧長公式\(l=\frac{n\piR}{180}\)，代入得\(l=\frac{60\times\pi\times6}{180}=\frac{360\pi}{180}=2\picm\)。所以圓心角為\(60^{\circ}\)所對的弧長為\(2\picm\)。變式練習：已知一段弧的長為\(4\picm\)，所在圓的半徑為\(12cm\)，求這段弧所對的圓心角的度數(shù)。解：由\(l=\frac{n\piR}{180}\)得\(4\pi=\frac{n\pi\times12}{180}\)，解得\(n=60^{\circ}\)?；脽羝?：探究二——扇形面積公式扇形定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。公式推導：整個圓的面積公式為\(S=\piR^{2}\)。圓心角為\(1^{\circ}\)的扇形面積是圓面積的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{\piR^{2}}{360}\)。圓心角為\(n^{\circ}\)的扇形面積\(S\)是圓心角為\(1^{\circ}\)的扇形面積的\(n\)倍，因此\(S=\frac{n\piR^{2}}{360}\)。另一種推導：因為\(l=\frac{n\piR}{180}\)，所以\(S=\frac{1}{2}lR\)（可類比三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\times?o?\timesé??\)，這里弧長\(l\)相當于底，半徑\(R\)相當于高）。公式表述：扇形面積公式：\(S=\frac{n\piR^{2}}{360}\)（其中\(zhòng)(n\)為圓心角的度數(shù)，\(R\)為圓的半徑）。\(S=\frac{1}{2}lR\)（其中\(zhòng)(l\)為扇形的弧長，\(R\)為圓的半徑）。圖形演示：在圓形圖中標注出扇形，結合圖形說明兩個公式中各量的含義及關系?；脽羝?：扇形面積公式的應用示例例題2：已知一個扇形的半徑為\(8cm\)，圓心角為\(90^{\circ}\)，求這個扇形的面積。解題步驟：方法一：已知\(R=8cm\)，\(n=90^{\circ}\)，根據(jù)\(S=\frac{n\piR^{2}}{360}\)，代入得\(S=\frac{90\times\pi\times8^{2}}{360}=\frac{90\times\pi\times64}{360}=16\picm^{2}\)。方法二：先求弧長\(l=\frac{90\times\pi\times8}{180}=4\picm\)，再根據(jù)\(S=\frac{1}{2}lR\)，得\(S=\frac{1}{2}\times4\pi\times8=16\picm^{2}\)。所以這個扇形的面積為\(16\picm^{2}\)。變式練習：已知一個扇形的弧長為\(6\picm\)，半徑為\(6cm\)，求這個扇形的面積。解：根據(jù)\(S=\frac{1}{2}lR\)，得\(S=\frac{1}{2}\times6\pi\times6=18\picm^{2}\)?；脽羝?：例題解析——弧長和扇形面積的綜合應用例題3：如圖，一個扇形工件的半徑為\(10cm\)，圓心角為\(120^{\circ}\)，求這個扇形工件的弧長和面積。解題步驟：求弧長：已知\(R=10cm\)，\(n=120^{\circ}\)，根據(jù)弧長公式\(l=\frac{n\piR}{180}=\frac{120\times\pi\times10}{180}=\frac{1200\pi}{180}=\frac{20\pi}{3}cm\)。求面積：方法一，根據(jù)\(S=\frac{n\piR^{2}}{360}=\frac{120\times\pi\times10^{2}}{360}=\frac{120\times\pi\times100}{360}=\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)；方法二，根據(jù)\(S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}\times\frac{20\pi}{3}\times10=\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)。所以這個扇形工件的弧長為\(\frac{20\pi}{3}cm\)，面積為\(\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)。關鍵思路：根據(jù)題目給出的半徑和圓心角，直接代入弧長和扇形面積公式進行計算，注意選擇合適的公式簡化計算。幻燈片9：課堂練習（分層完成）基礎題：半徑為\(R\)的圓中，圓心角為\(n^{\circ}\)的弧長公式是\(l=\)______。半徑為\(R\)的圓中，圓心角為\(n^{\circ}\)的扇形面積公式是\(S=\)或\(S=\)（用弧長\(l\)表示）。已知圓的半徑為\(5cm\)，圓心角為\(36^{\circ}\)所對的弧長是______cm。一個扇形的半徑為\(6cm\)，弧長為\(2\picm\)，則這個扇形的面積是______\(cm^{2}\)。提升題：如圖，在\(\odotO\)中，半徑\(OA=6cm\)，\(\angleAOB=120^{\circ}\)，求陰影部分（扇形\(OAB\)）的周長和面積。一個扇形的面積是\(15\picm^{2}\)，圓心角是\(60^{\circ}\)，求這個扇形的半徑和弧長。要求：學生獨立完成后，小組內交流答案和解題思路，選取代表展示解題過程，教師進行點評和講解。幻燈片10：易錯點提醒常見錯誤：應用弧長公式時，忘記將圓心角的度數(shù)代入公式，或混淆半徑和直徑的概念，誤用直徑進行計算。計算扇形面積時，記錯公式，如將\(S=\frac{n\piR^{2}}{360}\)寫成\(S=\frac{n\piR}{360}\)，或混淆兩個扇形面積公式的適用條件。在計算扇形周長時，只計算弧長，忽略了兩條半徑的長度。解決實際問題時，不能正確識別弧和扇形，無法準確提取半徑和圓心角等關鍵信息。避坑技巧：牢記弧長公式\(l=\frac{n\piR}{180}\)和扇形面積公式\(S=\frac{n\piR^{2}}{360}\)、\(S=\frac{1}{2}lR\)，明確公式中各字母的含義（\(n\)是圓心角度數(shù)，\(R\)是半徑）。計算扇形周長時，記住扇形周長=弧長+2×

半徑，不要遺漏半徑的長度。解決實際問題時，先根據(jù)題意畫出圖形，標注出半徑和圓心角，再選擇合適的公式進行計算。計算過程中注意單位的一致性，確保結果的準確性。幻燈片11：課堂小結核心收獲：弧長公式：\(l=\frac{n\piR}{180}\)（\(n\)為圓心角度數(shù)，\(R\)為半徑）。扇形定義：由圓心角的兩條半徑和所對弧圍成的圖形。扇形面積公式：\(S=\frac{n\piR^{2}}{360}\)或\(S=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)為弧長）。扇形周長：弧長與兩條半徑長度之和。方法提煉：解決弧長和扇形面積問題的關鍵是明確圓心角、半徑和弧長之間的關系，根據(jù)已知條件選擇合適的公式進行計算，計算扇形周長時不要忘記加上兩條半徑的長度。幻燈片12：作業(yè)布置必做題：教材PXX頁習題24.4第1、2、3題，要求運用弧長和扇形面積公式進行計算。選做題：如圖，一個半圓形的花壇，直徑為\(10m\)，求這個花壇的周長和面積（結果保留\(\pi\)）。實踐題：觀察生活中的弧和扇形物體，測量相關數(shù)據(jù)（半徑或直徑、圓心角），計算其弧長和面積?；脽羝?3：結束頁寄語：弧長和扇形面積公式是圓的重要度量工具，它們將圓的整體性質與部分特征緊密聯(lián)系起來。愿你能熟練掌握這些公式，在解決實際問題中靈活運用，感受數(shù)學的實用價值！致謝：感謝聆聽，下次課再見！2025-2026學年人教版數(shù)學九年級上冊授課教師：

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時間：

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24.4.1弧長和扇形面積第24章

圓aiTujmiaNg(1)通過復習圓的周長和面積公式，探索n°圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式.(2)會利用弧長和扇形面積的計算公式解決相關問題.1.正多邊形的性質：（1）正多邊形的各邊相等.（2）正多邊形的各角相等.2.正n邊形的一個內角的度數(shù)是_________；中心角是______；正多邊形的中心角與外角的大小關系是______.相等在田徑比賽400米跑中，運動員們的起跑位置相同嗎？為什么？起跑位置不同，因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.問題：怎樣求一段弧的長度呢？弧長公式知識點1（1）半徑為R的圓，周長是多少？（2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧？（3）1°圓心角所對的弧長是多少？R360°C=2πR360°140°圓心角所對的弧長是多少？n°ABO若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為

.

弧長公式：

例1

制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算如圖所示管道的展直長度L(結果取整數(shù))L≈2×700+1570=2970（mm）.

答：管道的展直長度為2970mm．因此所要求的展直長度為l

（mm）.

解：由弧長公式，可得

的長扇形的定義和面積公式知識點2

扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形.半徑半徑OBA圓心角弧OBA扇形1°圓心角所對的扇形面積是多少？n°的圓心角呢？1°思考：由扇形的定義可知，扇形面積就是圓面積的一部分.想一想，圓面積可以看作是多少度的圓周角所對的扇形面積？在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的扇形面積計算公式為S扇形＝S圓＝πR2扇形面積公式：扇形面積與圓心角和半徑有關

弧長與圓的周長有關,扇形的面積與圓的面積有關.因此,計算弧長時是；而計算扇形的面積時是.弧長公式與扇形面積公式的區(qū)別：

比較扇形面積(S)公式和弧長(l)公式，你能用弧長來表示扇形的面積嗎?探索弧長與扇形面積的關系SRn°lO

如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結果保留小數(shù)點后兩位）.弓形的面積=S扇OAB-S△OAB提示:例2OBAC解：如圖，連接OA,OB,作弦AB的垂直平分線，垂足為D,交AB于點C，連接AC.⌒∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC-DC=0.3m.∴OD=DC.又AD⊥DC,∴AD是線段OC的垂直平分線.∴AC=AO=OC.從而∠AOD=60°，∠AOB=120°.有水部分的面積S=S扇形OAB-S△OAB=OBACD隨堂演練基礎鞏固1.已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的弧長是

.2.75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在的圓半徑是

cm.3.一個扇形的弧長為20πcm，面積是240πcm2，則扇形的圓心角是

.4π6150°4.如圖是一段彎形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心線的兩條圓弧半徑都為1000mm,求圖中管道的展直長度.(π取3.142)解：答：圖中管道的展直長度約為6142mm.5.如圖，草坪上的自動噴水裝