第七章數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)§7.6空間向量的概念與運(yùn)算202X/01/01匯報(bào)人：1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型目錄01內(nèi)容索引02課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題名稱定義空間向量在空間中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量長(zhǎng)度

而方向

的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相______或

的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相等相反平行重合同一個(gè)平面1.空間向量的有關(guān)概念2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使

.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在

的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p=

.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=

.{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.a=λb唯一xa+ybxa+yb+zc3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b=

.|a||b|cos〈a，b〉(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b_______________共線a=λb(b≠0，λ∈R)______________________垂直a·b=0(a≠0，b≠0)________________模|a|________________a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0

向量表示坐標(biāo)表示夾角余弦值cos〈a，b〉=_____________________

4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量.位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m=0(3)空間位置關(guān)系的向量表示

×√√×

√

3.若平面α外的直線l的方向向量為a=(1，0，-2)，平面α的法向量為m=(8，-1，4)，則A.l⊥α B.l∥αC.a∥m D.l與α斜交√根據(jù)題意，直線l的方向向量為a=(1，0，-2)，平面α的法向量為m=(8，-1，4)，易得a·m=1×8-2×4=0，又直線l在平面α外，則有l(wèi)∥α.4.已知空間向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，則實(shí)數(shù)λ=

.

-2

返回微點(diǎn)提醒探究核心題型02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

題型一√

空間向量的線性運(yùn)算

√

用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.思維升華

√

題型二√√空間向量基本定理及其應(yīng)用

思維升華三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面應(yīng)用共線(面)向量定理證明點(diǎn)共線(面)的方法比較

√

題型三√√空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

√

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.思維升華

√

題型四向量法證明平行、垂直

(2)平面PAB⊥平面PDC.

(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.思維升華

(2)平面AEA1⊥平面BCB1.

返回課時(shí)精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案1234567891011121314題號(hào)12345678答案CCABBBBDABD題號(hào)91013

14答案(-5，-2，6)C

BD對(duì)一對(duì)答案1234567891011121314(1)∵E，H分別是線段PA，AB的中點(diǎn)，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，則AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(xiàn)(0，1，1)，H(1，0，0).11.答案123456789101112131411.

答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

12.

√1234567891011121314知識(shí)過(guò)關(guān)答案

1234567891011121314答案2.已知a=(1，m，3)，b=(2，4，n)，且a∥b，則m+n等于A.4 B.6 C.8 D.10√1234567891011121314答案

3.設(shè)m為實(shí)數(shù)，若直線l垂直于平面α，且l的方向向量為(m，2，4)，平面α的法向量為(2，4，8)，則m的值為A.1 B.2 C.-20 D.-10√1234567891011121314答案

4.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若a，b，c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)m等于A.-1 B.2 C.3

D.5√1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√√1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案√√

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案(-5，-2，6)1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

∵E，H分別是線段PA，AB的中點(diǎn)，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.四、解答題11.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn).求證：

(1)PB∥平面EFH；1234567891011121314答案(2)PD⊥平面AHF.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

(2)在線段C1B1上是否存在點(diǎn)M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

12345678910