第三章數學

大一輪復習進階篇不等式恒(能)成立問題202X/01/01匯報人：解決不等式恒(能)成立問題，常用的方法有：(1)參數全分離將原含參不等式等價變形成a≤f(x)這類形式，進而轉化為求f(x)的最值問題.當參變分離后的函數f(x)不復雜，容易求最值時，可采用此法.(2)參數半分離將原含參不等式等價變形成f(x)≤g(a，x)這類形式，畫圖分析參數a如何取值才能滿足該不等式，這種方法往往需要關注切線、端點等臨界狀態(tài).注：g(a，x)表示g(x)這個函數表達式中既有a也有x，a在不等式左右兩邊都可以.(3)參數不分離(隱零點、端點效應).(4)特殊的方法(同構等).進階101參數全分離例1不等式lnx－ax＋1≤0恒成立，求實數a的取值范圍.題型一參數全分離

分離參數法解決恒(能)成立問題的策略(1)分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.思維升華跟蹤訓練1

(2024·青島模擬)已知函數f(x)＝ax－ex，a>0.(1)若a＝1，求函數f(x)在x＝1處的切線方程；當a＝1時，f(x)＝x－ex，f(1)＝1－e，f'(x)＝1－ex，所以f'(1)＝1－e，所以f(x)在x＝1處的切線方程為y－(1－e)＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.(2)若x>0，f(x)≤a－x2恒成立，求實數a的取值范圍.

換元后參數分離當a＝－1時，f(x)＝xe－x－1，f'(x)＝e－x－xe－x，令f'(x)＝0，得x＝1，所以當x<1時，f'(x)>0；當x>1時，f'(x)<0.所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)，單調遞增區(qū)間為(－∞，1)，極大值點為x＝1，無極小值點.題型二(2)若a>0，且當x>0時，f(x)>－1恒成立，求實數a的取值范圍.

思維升華

當x>0時，h'(x)<0，故h(x)在(0，＋∞)上單調遞減，所以h(x)在x＝0處取得極大值，而h(0)＝0，所以g'(x)≤0，所以函數g(x)在(－1，＋∞)上為減函數，于是當－1<x<0時，g(x)>g(0)＝0；當x>0時，g(x)<g(0)＝0，所以當－1<x<0時，f'(x)>0，f(x)在(－1，0)上單調遞增；當x>0時，f'(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，故函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－1，0)，單調遞減區(qū)間為(0，＋∞).

課時精練02單擊此處添加章節(jié)副標題答案12

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2.1.(2025·蘭州模擬)已知函數f(x)＝ax－lnx，a∈R.(1)討論f(x)在區(qū)間[1，2]上的單調性；12答案12答案

12答案

(2)若當x∈(0，e]時，不等式f(x)≤3有解，求a的取值范圍.12答案12答案

12答案

12答案2.已知函數f(x)＝x3eax－1.(1)討論f(x)的單調性；12答案