§10.4事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.了解兩個事件相互獨立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率.課標(biāo)要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時精練目錄落實主干知識02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

P(A)P(B)

P(A)P(B|A)1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝

.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.(

)(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率.(

)(3)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨立.(

)(4)若事件A1與A2是對立事件，則對任意的事件B?Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).(

)×√√√

√

√

4.甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個白球，3個黑球，先從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱中任取一球，則從乙箱中取出白球的概率是

.

1.理清“相互獨立”和“事件互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個事件相互獨立不一定互斥.2.不要混淆P(B|A)與P(A|B)前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率.返回微點提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題命題點1事件相互獨立性的判斷例1

(2021·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立√題型一相互獨立事件

√

在概率與統(tǒng)計的問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)概率統(tǒng)計與數(shù)列綜合考查的問題，一般以壓軸題的形式出現(xiàn).主要有四種類型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型.微拓展概率問題中的遞推數(shù)列

√√√

求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積.(2)當(dāng)正面計算較復(fù)雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則A.兩人都中靶的概率為0.12B.兩人都不中靶的概率為0.42C.恰有一人中靶的概率為0.46D.至少有一人中靶的概率為0.74√

題型二√條件概率

命題點2條件概率性質(zhì)的應(yīng)用例4

(多選)下列結(jié)論中錯誤的是A.P(B|A)＝P(A|B)B.P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)C.P(AB)＝P(B|A)P(A)D.P(B|A)P(A)≥P(A)＋P(B)√√√

思維升華

√

√√√

例5

(1)某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹(jǐn)慎的”“一般的”“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05，0.15，0.30.若該保險公司的被保險人中“謹(jǐn)慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占50%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是A.0.155 B.0.175

C.0.016

D.0.096題型三√全概率公式的應(yīng)用

(2)設(shè)5支槍中有2支未校正，3支已校正.一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4.若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，則該槍未校正的概率為

.

0.8

利用全概率公式解題的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1，2，…，n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式計算.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(多選)湖南張家界是國家5A級景區(qū)，有許多好看的景點.李先生和張先生預(yù)選該景區(qū)的玻璃棧道和鳳凰古城游玩，他們第一天去玻璃棧道和鳳凰古城游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他們第一天去玻璃棧道，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.3；如果第一天去鳳凰古城，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.6.設(shè)A1＝“第一天去玻璃棧道”，A2＝“第二天去玻璃棧道”，B1＝“第一天去鳳凰古城”，B2＝“第二天去鳳凰古城”，則A.P(A2|A1)＝0.3 B.P(A2|B1)＝0.3C.P(A2)＝0.51 D.P(B2)＝0.49√√√由題干可知P(A2|A1)＝0.3，P(A2|B1)＝0.6，A正確，B錯誤；P(A1)＝0.3，P(B1)＝0.7，P(B2|A1)＝0.7，P(B2|B1)＝0.4，所以P(A2)＝P(A1A2)＋P(B1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.3×0.3＋0.7×0.6＝0.51，P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.3×0.7＋0.7×0.4＝0.49，C，D正確.返回課時精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案1234567891011121314題號12345678答案CBDBCAACABD題號91013

14答案0.940.24

0.36B

ABD對一對答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

12.

√1234567891011121314知識過關(guān)答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案2.某車隊派出兩輛車參加比賽，假設(shè)這兩輛車在比賽中不出現(xiàn)故障的概率均為p，則比賽結(jié)束時兩輛車不同時出現(xiàn)故障的概率為A.p2 B.2p－p2

C.1－p2 D.p－2p2√兩輛車不同時出現(xiàn)故障的概率為1－(1－p)2＝2p－p2.3.以事件A，B分別表示“某城市的甲、乙兩個區(qū)在一年內(nèi)出現(xiàn)停水”，若P(B)＝0.30，P(A|B)＝0.15，則兩個區(qū)一年內(nèi)都出現(xiàn)過停水的概率為A.0.6 B.0.65 C.0.45 D.0.045√1234567891011121314由題意可得P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.30×0.15＝0.045.答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案

6.設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車中途停車修理的概率為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為A.0.8 B.0.6

C.0.5

D.0.3√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314√答案√

1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案√√1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案三、填空題9.某公司研發(fā)6G項目時遇到一項技術(shù)難題，由甲、乙兩個部門分別獨立攻關(guān)，已知甲部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.8，乙部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.7，則該公司攻克這項技術(shù)難題的概率為

.

1234567891011121314答案0.94由題意，該公司攻克這項技術(shù)難題的概率為1－(1－0.8)×(1－0.7)＝0.94.10.已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為0.6.用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是

；得0分的概率是

.

1234567891011121314答案0.240.361234567891011121314答案

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率(先驗概率)進(jìn)行調(diào)整.①求選到的袋子為甲袋的概率；1234567891011121314答案

②將首次試驗摸出的白球放回原來的袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗時有如下兩種方案：方案一，從原來的袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結(jié)束的概率更大.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√能力拓展

1234567891011121314答案方法二設(shè)該校有100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：

1234567891011121314答案視力情況每天玩手機(jī)時間合計超過1h不超過1h近視103040不近視105060合計208010014.(多選)(2023·新高考全國Ⅱ)在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，