蘇教版數(shù)學(xué)選修（2-2）2.2《直接證明與間接證明》聽評(píng)課記錄一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時(shí)間：上午第三節(jié)課

授課教師姓名：李明

學(xué)科/課程名稱：數(shù)學(xué)

班級(jí)/年級(jí)：高二（10）班

教學(xué)主題或章節(jié)：蘇教版數(shù)學(xué)選修（2-2）2.2《直接證明與間接證明》

聽課人姓名：王靜

聽課人職務(wù)：數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)

聽課目的：教學(xué)研究

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞“直接證明與間接證明”的核心概念展開，重點(diǎn)突出反證法的應(yīng)用。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括教材、PPT課件、幾何畫板軟件等。教材內(nèi)容與選修（2-2）的銜接自然，PPT設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔明了，重點(diǎn)突出；幾何畫板用于動(dòng)態(tài)演示反證法的邏輯過(guò)程，直觀性強(qiáng)。教具方面，教師準(zhǔn)備了空白黑板供學(xué)生板書練習(xí)，但未使用實(shí)物教具，符合本節(jié)課內(nèi)容特點(diǎn)。

2.教學(xué)過(guò)程

開始階段（導(dǎo)入新課的方式及效果）：教師以“如何證明一個(gè)命題的反面不成立”作為切入點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比“直接證明”和“間接證明”的案例，引發(fā)學(xué)生思考。導(dǎo)入設(shè)計(jì)巧妙，通過(guò)生活實(shí)例（如“反證法在生活中的應(yīng)用”）激發(fā)興趣，效果良好，約5分鐘內(nèi)完成。

展開階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）：教師采用“講授+討論”相結(jié)合的方式展開教學(xué)。首先，通過(guò)PPT系統(tǒng)講解直接證明的步驟，結(jié)合教材例題逐步分析；隨后小組討論，讓學(xué)生嘗試用反證法證明“一個(gè)三角形內(nèi)角和為180度”的否定命題。教師注重啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)（如“反證法的核心思想是什么？”）引導(dǎo)學(xué)生自主歸納。幾何畫板的應(yīng)用尤為突出，動(dòng)態(tài)演示反證法中的假設(shè)過(guò)程，幫助學(xué)生理解“假設(shè)結(jié)論不成立”的抽象概念。展開階段約占總課時(shí)40分鐘，學(xué)生參與度高。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納、布置作業(yè)）：教師帶領(lǐng)學(xué)生梳理本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)反證法的三個(gè)步驟，并對(duì)比直接證明的差異。通過(guò)“課堂小測(cè)”檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，最后布置作業(yè)：用反證法證明“無(wú)理數(shù)不是有理數(shù)”，并要求學(xué)生標(biāo)注每一步的邏輯依據(jù)。總結(jié)環(huán)節(jié)簡(jiǎn)潔高效，作業(yè)設(shè)計(jì)具有拓展性。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率高，教師每講解完一個(gè)概念都會(huì)提問(wèn)，學(xué)生回答率超過(guò)90%。討論環(huán)節(jié)中，教師采用“小組代表發(fā)言”模式，確保每個(gè)學(xué)生參與機(jī)會(huì)均等。互動(dòng)質(zhì)量上，教師能及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤邏輯（如“反證法不需要假設(shè)結(jié)論不成立”的誤區(qū)），并給予個(gè)性化指導(dǎo)。部分學(xué)生主動(dòng)提出疑問(wèn)，教師均耐心解答，課堂氛圍活躍。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高，對(duì)反證法的邏輯性表現(xiàn)出濃厚興趣。專注度方面，90%以上的學(xué)生全程跟隨教師思路，只有少數(shù)學(xué)生在討論環(huán)節(jié)出現(xiàn)走神。合作學(xué)習(xí)效果顯著，小組討論時(shí)學(xué)生分工明確，一人記錄、一人演示、一人講解，幾何畫板操作熟練。但存在個(gè)體差異，部分學(xué)生難以理解反證法的“逆向思維”，教師通過(guò)課后單獨(dú)輔導(dǎo)彌補(bǔ)。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能自覺遵守發(fā)言規(guī)則，小組討論時(shí)聲音控制在合理范圍。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入5分鐘、展開40分鐘、總結(jié)5分鐘、作業(yè)布置5分鐘，符合教學(xué)進(jìn)度。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，教師通過(guò)動(dòng)態(tài)提問(wèn)和多媒體切換保持學(xué)生注意力，但結(jié)尾部分略顯倉(cāng)促，建議增加1分鐘回顧。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用較為充分，PPT演示清晰，幾何畫板動(dòng)態(tài)化呈現(xiàn)反證法假設(shè)過(guò)程，極大降低了理解難度。技術(shù)工具與教學(xué)內(nèi)容高度契合，特別是“假設(shè)命題不成立”的動(dòng)態(tài)演示，比傳統(tǒng)板書更直觀。但技術(shù)使用存在小問(wèn)題：投影儀偶爾出現(xiàn)閃爍，影響部分學(xué)生觀看效果；教師對(duì)幾何畫板操作依賴性過(guò)高，未預(yù)留學(xué)生自主探索時(shí)間，建議增加5分鐘開放操作環(huán)節(jié)?？傮w而言，技術(shù)支持作用顯著，但需優(yōu)化細(xì)節(jié)。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞“理解直接證明與間接證明的概念，掌握反證法的步驟和應(yīng)用”展開。目標(biāo)設(shè)定符合高二學(xué)生的認(rèn)知水平，與選修（2-2）課程的要求高度一致。通過(guò)課堂觀察和課后小測(cè)，評(píng)估結(jié)果顯示：95%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確區(qū)分直接證明與間接證明，83%的學(xué)生能夠獨(dú)立運(yùn)用反證法解決簡(jiǎn)單命題問(wèn)題，基本達(dá)成預(yù)期目標(biāo)。少數(shù)學(xué)生（約12%）在反證法的邏輯推理環(huán)節(jié)仍存在模糊認(rèn)識(shí)，主要體現(xiàn)在對(duì)“假設(shè)結(jié)論不成立”的后續(xù)推導(dǎo)不夠嚴(yán)謹(jǐn)。目標(biāo)達(dá)成度的差異主要源于學(xué)生個(gè)體對(duì)抽象邏輯思維的接受速度不同，教師后續(xù)可通過(guò)分層作業(yè)和個(gè)別輔導(dǎo)進(jìn)行針對(duì)性強(qiáng)化。

2.知識(shí)掌握

知識(shí)點(diǎn)理解方面，學(xué)生普遍能夠通過(guò)教師講解和幾何畫板演示，直觀把握反證法的核心步驟（否定結(jié)論、假設(shè)成立、導(dǎo)出矛盾、得出原命題成立）。教材例題的解析幫助學(xué)生建立了“反證法=找矛盾”的思維模型，課堂提問(wèn)環(huán)節(jié)中，70%的學(xué)生能準(zhǔn)確復(fù)述反證法的三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。但知識(shí)記憶存在層次差異：基礎(chǔ)概念（如“間接證明的定義”）的回憶正確率接近100%，而復(fù)雜應(yīng)用（如反證法與數(shù)學(xué)歸納法的區(qū)分）的混淆率較高，反映出學(xué)生尚未完全內(nèi)化知識(shí)體系。技能掌握方面，小組討論中的幾何畫板操作展示了較好的實(shí)踐能力，但獨(dú)立應(yīng)用能力有待提升。課后作業(yè)反饋顯示，約20%的學(xué)生在證明過(guò)程中遺漏“導(dǎo)出矛盾”這一關(guān)鍵步驟，表明技能遷移尚未完全實(shí)現(xiàn)。教師可通過(guò)增加變式練習(xí)（如“用反證法證明勾股定理的逆定理”）來(lái)鞏固技能。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展方面表現(xiàn)出積極效果。情感維度上，通過(guò)小組合作和成功案例的展示，學(xué)生增強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，尤其反證法“逆向思維”的突破帶來(lái)成就感，部分原本畏難的學(xué)生主動(dòng)參與討論。課堂氛圍開放包容，教師對(duì)錯(cuò)誤觀點(diǎn)的包容（如“這個(gè)假設(shè)方向是對(duì)的，但推導(dǎo)錯(cuò)了”）緩解了學(xué)生的焦慮情緒。態(tài)度維度上，幾何畫板的應(yīng)用激發(fā)了學(xué)生對(duì)技術(shù)輔助數(shù)學(xué)研究的興趣，部分學(xué)生課后嘗試探索更多動(dòng)態(tài)演示方法。價(jià)值觀維度，教師通過(guò)“反證法在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用”案例（如“費(fèi)馬大定理的證明歷程”），隱性傳遞了“數(shù)學(xué)是探索真理的工具”的價(jià)值觀，學(xué)生普遍表示對(duì)數(shù)學(xué)的敬畏感增強(qiáng)。但仍有少數(shù)學(xué)生將反證法視為“繞彎子”的技巧，未能理解其哲學(xué)意義，需通過(guò)課外閱讀（如《數(shù)學(xué)史概論》）深化認(rèn)知?？傮w而言，課程有效促進(jìn)了學(xué)生的邏輯思維、合作精神和科學(xué)態(tài)度的發(fā)展。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課總體印象優(yōu)秀，是一堂符合新課標(biāo)理念、體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的示范課。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯性與創(chuàng)新性。教師能夠準(zhǔn)確把握“直接證明與間接證明”這一抽象內(nèi)容的重難點(diǎn)，通過(guò)“生活實(shí)例導(dǎo)入—技術(shù)輔助理解—合作實(shí)踐應(yīng)用”的遞進(jìn)式設(shè)計(jì)，有效降低了學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷。幾何畫板的應(yīng)用尤為出彩，將“假設(shè)結(jié)論不成立”這一逆向思維過(guò)程可視化，突破了傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)，體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的高度融合。此外，教師對(duì)課堂節(jié)奏的把控精準(zhǔn)，提問(wèn)時(shí)機(jī)恰當(dāng)，能夠通過(guò)追問(wèn)（如“為什么假設(shè)后要找矛盾？”）引導(dǎo)學(xué)生深入思考，而非簡(jiǎn)單重復(fù)知識(shí)點(diǎn)。小組討論環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)兼顧了知識(shí)建構(gòu)與社交互動(dòng)，學(xué)生通過(guò)互辯互促，對(duì)反證法的本質(zhì)理解更為深刻?？傮w而言，本節(jié)課在概念教學(xué)、技術(shù)應(yīng)用和素養(yǎng)培養(yǎng)方面均達(dá)到了較高水平。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下改進(jìn)措施：

（1）細(xì)化分層教學(xué)策略。當(dāng)前課堂對(duì)反證法的講解以統(tǒng)一模式為主，導(dǎo)致部分學(xué)生跟不上節(jié)奏，而部分學(xué)生則因缺乏挑戰(zhàn)性而早完成任務(wù)。建議：課前通過(guò)預(yù)習(xí)單（如“直接證明與反證法對(duì)比表”）識(shí)別學(xué)生基礎(chǔ)差異，課中設(shè)置“基礎(chǔ)題（如證明整數(shù)平方的奇偶性）+拓展題（如反證法與同一法對(duì)比）”的分層練習(xí)，課后作業(yè)也分為“必做+選做”部分，確保所有學(xué)生“吃得飽”“夠得著”。例如，對(duì)理解困難的學(xué)生，可提供“反證法思維導(dǎo)圖”作為支架。

（2）優(yōu)化技術(shù)使用的深度與廣度。當(dāng)前幾何畫板主要用于演示而非探究。建議：在“假設(shè)成立”環(huán)節(jié)，增加2分鐘學(xué)生自主操作時(shí)間，讓學(xué)生嘗試構(gòu)造反例（如證明“三角形兩邊之和大于第三邊”的反面命題不成立），培養(yǎng)批判性思維。同時(shí)，引入交互式在線平臺(tái)（如GeoGebraClassroom），支持學(xué)生課后繼續(xù)探索，教師可實(shí)時(shí)查看操作軌跡，實(shí)現(xiàn)個(gè)性化反饋。例如，布置“用動(dòng)態(tài)幾何軟件驗(yàn)證反證法中矛盾的產(chǎn)生”作為拓展任務(wù)。

（3）強(qiáng)化邏輯語(yǔ)言的規(guī)范性訓(xùn)練。部分學(xué)生在證明中表述模糊（如“得出矛盾了”而非“得出與已知條件矛盾”）。建議：增加“數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)”的專項(xiàng)練習(xí)，如提供“反證法證明模板”（包含“假設(shè)”“推導(dǎo)”“矛盾”“結(jié)論”等模塊），要求學(xué)生板書時(shí)必須使用標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語(yǔ)?？稍O(shè)計(jì)“邏輯糾錯(cuò)”環(huán)節(jié)，選取學(xué)生證明中的典型錯(cuò)誤進(jìn)行全班討論，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性。例如，在小組討論后增設(shè)“一分鐘口頭證明”環(huán)節(jié)，強(qiáng)制學(xué)生用規(guī)范語(yǔ)言復(fù)述關(guān)鍵步驟。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？建議教師：

1.加強(qiáng)跨學(xué)科融合，通過(guò)物理（如“反證法在證明光速不可超限”的應(yīng)用）或歷史（如“歐幾里得第五公設(shè)的證明嘗試”）案例豐富認(rèn)知維度。

2.建立學(xué)生“錯(cuò)誤檔案”，定期分析共性錯(cuò)誤，調(diào)整教學(xué)策略。例如，發(fā)現(xiàn)學(xué)生常在“假設(shè)”環(huán)節(jié)遺漏否定詞，可在后續(xù)課程中設(shè)置“術(shù)語(yǔ)辨析”專題。

3.參與高級(jí)研修，學(xué)習(xí)“概念圖像理論”在抽象數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，探索更多可視化教學(xué)工具（如Carnegie圖形推理軟件）。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)，重點(diǎn)觀察改進(jìn)措施的落實(shí)效果。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長(zhǎng)：

（1）組建“反證法教學(xué)研究小組”，由本節(jié)課教師與教研組長(zhǎng)輪流主持，每月開展1次專題研討，分析學(xué)生作業(yè)中的新問(wèn)題。例如，收集學(xué)生“反證法證明錯(cuò)誤集錦”，共同設(shè)計(jì)解決方案。

（2）提供專業(yè)資源包，包括反證法