第07講拋物線及其性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 2題型二：拋物線的軌跡方程 2題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題 3題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問(wèn)題 3題型五：焦半徑問(wèn)題 4題型六：拋物線的幾何性質(zhì) 4題型七：拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì) 5題型八：拋物線的實(shí)際應(yīng)用 602重難創(chuàng)新練 703真題實(shí)戰(zhàn)練 11題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上．若點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．2．若點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．題型二：拋物線的軌跡方程4．點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段PB的中點(diǎn)E在y軸上，且AE垂直PB，則點(diǎn)P的軌跡方程為．5．在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．6．若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．（2024·高三·云南昆明·開學(xué)考試）已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.9．已知點(diǎn)，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，的外心在軸上的射影為，則的最小值為.10．已知，拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線C上任意一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為．11．已知拋物線，的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓C：上，則的最小值為.12．（2024·陜西渭南·二模）若點(diǎn)A在焦點(diǎn)為F的拋物線上，且，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.13．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為.題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問(wèn)題14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若面積是面積的兩倍，則＝（

）A．4 B． C．5 D．15．（2024·四川樂(lè)山·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，于H，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的面積之比為（

）A．6 B．8 C．12 D．1616．（2024·高三·貴州貴陽(yáng)·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，若，則(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（

）A． B．1 C．2 D．417．已知拋物線：，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．18．如圖，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).已知，，若△，△的面積分別為，，且，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．題型五：焦半徑問(wèn)題19．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且在第一象限，若直線的傾斜角為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．520．（2024·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）已知焦點(diǎn)為的拋物線上兩點(diǎn)滿足，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.21．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則.題型六：拋物線的幾何性質(zhì)22．（多選題）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 B．拋物線關(guān)于軸對(duì)稱C．拋物線的準(zhǔn)線方程為 D．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為823．（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的最小值為2B．拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱C．過(guò)點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條D．點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)F距離之和的最小值為424．（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為2B．拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱C．過(guò)點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條D．點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)F距離之和的最小值為4題型七：拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)25．（多選題）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．26．（多選題）已知直線經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上的射影分別為，，點(diǎn)，在軸上的射影分別為，，則（

）A．B．C．的最小值為7D．27．（多選題）設(shè)拋物線，為其焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程是B．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4C．若，則的最小值為3D．以線段為直徑的圓與軸相切28．（多選題）（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的方程為：B．拋物線的準(zhǔn)線方程為：C．當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切D．當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切29．（多選題）已知拋物線，直線過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為B．線段的長(zhǎng)度的最小值為4C．存在唯一直線，使得為線段的中點(diǎn)D．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切題型八：拋物線的實(shí)際應(yīng)用30．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某社會(huì)實(shí)踐小組在調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為21.6m，拱頂距水面10.9m，路面厚度約1m．若小組計(jì)劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，使其落在拋物線的焦點(diǎn)處，則繩子最合適的長(zhǎng)度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m31．（2024·山西晉城·一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長(zhǎng)度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長(zhǎng)度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為（

）A．米 B．米C．米 D．米32．假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為，渠深為，水面距為，則截面圖中水面寬的長(zhǎng)度約為（

）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m33．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）隨著科技的進(jìn)步，我國(guó)橋梁設(shè)計(jì)建設(shè)水平不斷提升，創(chuàng)造了多項(xiàng)世界第一，為經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展發(fā)揮了重要作用.下圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計(jì)劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為（

）（結(jié)果精確到0.01）A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.681．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：和圓，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，圓上的兩點(diǎn)滿足，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則到直線的最大距離為（

）A． B． C． D．2．（2024·高三·河南焦作·開學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線上，則C的焦點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（

）A．4 B． C．2 D．3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．104．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直y軸于點(diǎn)N，若，則的面積為（

）A．8 B． C． D．5．（2024·江西九江·二模）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為B．的面積為1C．不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為2D．存在點(diǎn)，使得為等邊三角形6．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，點(diǎn)在上且位于第一象限，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，若，則的方程為（

）A． B． C． D．8．（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)P，M，Q，N，若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F，且，則（

）A． B．1 C． D．29．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)雙曲線C的方程為，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)和C的虛軸端點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線平行．將C的兩條漸近線分別記為，右焦點(diǎn)記為F，若以O(shè)F為直徑的圓M交直線于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)B在上，且，則（

）A． B． C． D．10．（多選題）（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)的一條直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足分別為，則（

）A． B．C． D．的面積等于的面積11．（多選題）（2024·陜西·一模）已知曲線的方程為是以點(diǎn)為圓心?1為半徑的圓位于軸右側(cè)的部分，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．曲線過(guò)點(diǎn)C．若直線被所截得的線段的中點(diǎn)在上，則的值為D．若曲線在的上方，則12．（多選題）（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則C．為定值D．為鈍角三角形13．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)1,0與定直線軸的距離的差為定值，其中，點(diǎn)，分別為曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)恒在點(diǎn)的右側(cè)，則（

）A．若，則曲線的圖象為一條拋物線B．若，則曲線的方程為C．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，都有D．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，都有14．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離為，則.15．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為.16．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是直線l與x軸的交點(diǎn)，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，直線PF與MQ相交于點(diǎn)N，若，則△AMN的面積為．17．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)和，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的最小值為.18．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，也在斜率為1的直線上.(1)求拋物線和直線的方程；(2)若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程.19．（2024·浙江·二模）已知點(diǎn)為拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn)，另一交點(diǎn)為.(1)求；(2)若點(diǎn)在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長(zhǎng)．20．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為C上一點(diǎn)．(1)求直線的斜率；(2)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．21．（2024·江蘇南京·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若拋物線不經(jīng)過(guò)第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，，兩點(diǎn)（），過(guò)作軸的垂線交線段于點(diǎn).①當(dāng)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；②求點(diǎn)A到直線的距離的最大值.1．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)2．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形3．（多選題）（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（

）A．直線的斜率為 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．4．（多選題）（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．5．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．6．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)回憶版））已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么點(diǎn)到軸的距離為．7．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為．8．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A