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文檔簡介

學會和各種人愉快的相處1.2

矩陣運算一、

矩陣的乘法二、

矩陣的轉(zhuǎn)置返回三、

矩陣的逆一、矩陣的乘法

例1

某電子集團生產(chǎn)三種型號的彩電，第一季度各40萬臺,20萬臺,30萬臺,第二季度各30萬臺,10萬臺,50萬臺,每萬臺的利潤分別是400萬元,300萬元,500萬元,第一,二季度各類產(chǎn)品的利潤是多少?

解矩陣的乘法：=

cijC

.A……..第i行第

j列BA的第i行與B的第j列相乘相加得到C的第i

j個元素例3解注：A×B要滿足的條件?。。?！

A的列數(shù)一定要等于B的行數(shù)解例4例5解=(）例6解

且

AB=O

A=O

或

B=O但是

IA=A=AI(kI)A=kA=

A(kI)(矩陣乘法不適合消去律)例7線性方程組的矩陣形式例8：寫出線性方程組的矩陣形式解：矩陣乘法的運算規(guī)律：(AB)C=A(BC)k(AB)=(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA

定義（方陣的冪）注意例9

已知矩陣

，求

及．解：

二、矩陣的轉(zhuǎn)置定義（轉(zhuǎn)置）行和列交換位置例性質(zhì)：①(AT)T=A②(A+B)T=AT+BT

③(kA)T=kAT④(AB)T=BTAT

(A1A2……Ak)T=ATk

ATk-1……AT1

例8解

對稱矩陣：AT=A反對稱矩陣：例8證明：任意矩陣都可以表示為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和．

證

設A為一個矩陣，令

那么

類似地，

即B為對稱矩陣，C為反對稱矩陣．容易驗證

從而，A可以表示為對稱矩陣B與反對稱矩陣C之和．三、逆矩陣一、逆矩陣的概念與性質(zhì)數(shù)a≠0：aa-1=a-1a=1?:?矩陣A:A(?)=I定義設A為n階矩陣，若存在n階矩陣B，使得

AB=BA=I,

則稱A為可逆矩陣，B為A的逆矩陣，

記為A-1=B.若A可逆，則A-1存在，且AA-1=A-1A=I.定理

設A可逆，則它的逆是唯一的.證設有B和C滿足

AB=BA=I,AC=CA=I.注意若A,B均為方陣，且AB=I(或BA=I),則A可逆且B=A-1.單位陣I

:對角陣:

I-1

=I例8

證明矩陣

是不可逆矩陣．證

用反證法.設是A的逆矩陣,那么有

這個線性方程組無解，這是因為由第一個方程與第三個方程可以得到一個矛盾的方程０=３．

所以，矩陣是不可逆矩陣．利用矩陣的乘法及矩陣相等的概念可以得到線性方程組例

證明矩陣

是可逆矩陣，并且求．解

設有矩陣，使得

由此可以得到線性方程組這個線性方程組有唯一的解

．于是，，容易驗證

．

所以，A是可逆矩陣，且

例1

設方陣A滿足A2-A-2I=O,證明：

A和I-A都可逆，證性質(zhì)設A,B

均為n階可逆矩陣，數(shù)λ≠0，則證

3:4：1.A-1可逆，且(A-1)-1=A

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