20222023學年小學四年級思維拓展舉一反三精編講義專題26容斥原理知識精講知識精講專題簡析：容斥問題涉及到一個重要原理——包含與排除原理，也叫容斥原理。即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復計數，應從它們的和中排除重復部分。容斥原理：對n個事物，如果采用不同的分類標準，按性質a分類與性質b分類（如圖），那么具有性質a或性質b的事物的個數=Na＋Nb－Nab。典例分析典例分析【典例分析01】一個班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數學作業(yè)？請舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數學作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數學作業(yè)都完成的人數。分析完成語文作業(yè)的有37人，完成數學作業(yè)的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人數。這是因為語文、數學作業(yè)都完成的人數在統(tǒng)計做完語文作業(yè)的人數時算過一次，在統(tǒng)計做完數學作業(yè)的人數時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數作業(yè)都完成的有：79－48=31人?！镜淅治?2】某班有36個同學在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人。問多少個同學兩題都答得不對？分析與解答：已知答對第一題的有25人，兩題都答對的有15人，可以求出只答對第一題的有25－15=10人。又已知答對第二題的有23人，用只答對第一題的人數，加上答對第二題的人數就得到至少有一題答對的人數：10＋23=33人。所以，兩題都答得不對的有36－33=3人。【典例分析03】某班有56人，參加語文競賽的有28人，參加數學競賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么同時參加語文、數學兩科競賽的有多少人？分析與解答：要求兩科競賽同時參加的人數，應先求出至少參加一科競賽的人數：56－25=31人，再求兩科競賽同時參加的人數：28＋27－31=24人?！镜淅治?4】在1到100的自然數中，既不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？分析與解答：從1到100的自然數中，減去5或6的倍數的個數。從1到100的自然數中，5的倍數有100÷5=20個，6的倍數有16個（100÷6=16……4），其中既是5的倍數又是6的倍數（即5和6的公倍數）的數有3個（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍數的個數是16＋20－3=33個，既不是5的倍數又不是6的倍數的數的個數是：100－33=67個?！镜淅治?5】光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？分析與解答：由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數，22幅是一、二、三、四、五年級參展作品的總數。24＋22=46幅，這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數，從其中去掉五、六兩個年級共參展的10幅作品，即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數，再除以2，即可求出其他年級參展作品的總數。（24＋22－10）÷2=18幅。真題百分練真題百分練1．（2分）（2022秋?徽縣期末）三年級同學參加跳繩比賽（如圖），參加這兩個項目的一共有多少人？下面解答正確的是（）A．25+42 B．25+42+6 C．25+42﹣62．（2分）（2022秋?吉首市期末）同學們去動物園參觀，每人至少參觀了大象館和猴子館中的一個館，參觀大象館的有10人，參觀猴子館的有15人，兩個館都參觀的有6人。一共有（）人去動物園參觀。A．25 B．19 C．313．（2分）（2022秋?匯川區(qū)期末）某次比賽中三（1）班獲得“閱讀之星”稱號的有22人，獲得“速算小能手”稱號的有35人，兩種稱號都獲得的有15人，全班每人至少獲得了一種稱號。三（1）班一共有（）人。A．57 B．62 C．424．（2分）（2022春?天心區(qū)期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”一亮相，好評不斷。某班共45人，其中30人喜愛冰墩墩，25人喜愛雪容融，1人對這兩個吉祥物都不喜愛，則既喜歡冰墩墩又喜歡雪容融的有（）人。A．25 B．44 C．9 D．115．（2分）某班有50名同學，在一次測驗中答對第一題的有25人，答對第二題的有20人，兩題都答對的有10人，則有（）名同學兩題都不對．A．10 B．15 C．20二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）（2022秋?勃利縣期末）三年級同學參加跳繩和拍球比賽，參加跳繩比賽的有18人，參加拍球比賽的有12人，兩項比賽都參加的有2人，參加跳繩和拍球比賽的一共有人。7．（2分）（2022秋?曾都區(qū)期末）同學們去動物園游玩，參觀大象館的有38人，參觀熊貓館的有45人，兩個館都參觀的有15人，參觀大象館和熊貓館的一共有人。8．（2分）（2022秋?金鄉(xiāng)縣期末）三年級參加兩個競賽組的人數如圖，參加繪畫組有人，兩個組都參加的有人。三年級一共有人參加了這兩個組的競賽。9．（2分）（2022春?東昌府區(qū)期末）光明小學舉行文藝匯演，跳舞的有19人，唱歌的有23人，兩項都參加的有8人。參加這兩項演出的一共有人。10．（2分）（2022春?市中區(qū)期末）向陽小學舉行文藝匯演，跳舞的有16人，唱歌的有24人，兩項都參加的有9人。參加演出的一共有人。11．（2分）（2022春?山亭區(qū)期末）實驗小學四一班有54人，喜歡體育項目的有42人，喜歡文藝項目的有33人，每人至少喜歡一種項目，兩種項目都喜歡的有人。12．（2分）（2022春?寧津縣期末）四年級二班有45名同學，其中26人參加了英語小組，18人參加了書法小組，有10人兩個小組都參加了．有人兩個小組都沒參加．13．（2分）（2022春?陵城區(qū)期末）兒童節(jié)文藝匯演中，跳舞的有14人，合唱的有30人，參加這兩項演出的一共有35人。兩項都參加的有人。三．應用題（共15小題，滿分74分）14．（4分）（2022秋?蘭陵縣期末）在55名運動員中，參加短跑比賽的有36人，參加跳繩比賽的有38人。這兩項比賽都參加的有多少人？15．（5分）（2022春?嶧城區(qū)期末）六一兒童節(jié)文藝會演中，四年級（1）班有36人參加演出，其中跳舞表演的有14人，合唱表演的有28人。兩項演出都參加的有多少人？16．（5分）（2022春?市北區(qū)期末）四年級有36名同學進行剪紙和篆刻的才藝展示，展示剪紙的有26名，展示篆刻的有18名。兩種都展示的有多少名同學？17．（5分）（2019春?德州期末）四（1）班有40名學生，喜歡誦讀古詩詞的有28名，喜歡讀數學故事的有25名，且每人至少喜歡其中的一種．既喜歡誦讀古詩詞又喜歡讀數學故事的有多少人？18．（5分）（2020春?嶧城區(qū)期末）四（3）班學生都訂了報紙，其中訂《中國少年報》的有38人，訂《少年智力開發(fā)報》的有35人．已知四（3）班共有52名學生，則兩種報紙都訂了的學生有多少人？19．（5分）（2020春?嶧城區(qū)期末）正當人民開開心心迎接2020年春節(jié)到來時，一場突如其來的新冠病毒席卷了整個神州大地．新冠病毒來勢洶洶，它的傳染性極強，可以人傳人．為了預防新冠病毒新學期開始同學們在家線上學習，線上做作業(yè)．一次作業(yè)四年級一班語文作業(yè)全對的有31人，數學作業(yè)全對的有34人，兩種作業(yè)都對的是30人，每人至少全對一種作業(yè)．四年級一班共有學生多少人？20．（5分）（2022春?濱城區(qū)期末）四年級一班有50人，喜歡吃蘋果的有25人，喜歡吃橘子的有22人，兩種水果都喜歡吃的有13人。兩種水果都不喜歡吃的有多少人？21．（5分）（2022秋?丹江口市期末）三（1）班有學生45人，喜歡打乒乓球的有28人，喜歡踢足球的有36人，既喜歡打乒乓球又喜歡踢足球的有多少人？22．（5分）（2022春?壽光市期末）四年級一班共有26個同學參加了兒童節(jié)的舞蹈和合唱表演。其中有12人參加了舞蹈隊，有20人參加了合唱隊。請根據以上信息，把圖中各部分的人數填在括號里。23．（5分）（2021春?寧津縣期末）四年級1班語文作業(yè)全對的有37人，數學作業(yè)全對的有42人，兩科作業(yè)都對的有31人，每人至少全對一科作業(yè)。四年級1班共有多少學生？24．（5分）（2014秋?余姚市校級期中）某班有50名同學，在一次測驗中答對第一題的有25人，答對第二題的有20人，兩題都答對的有10人，則有幾名同學兩題都不對？25．（5分）（2022秋?泰安期末）四年級二班有45人，會下象棋的有21人，會下圍棋的有17人，兩種棋都不會的有10人．兩種棋都會的有多少人？26．（5分）三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一樣．既帶礦泉水又帶水果的有多少人？27．（5分）