第2課時含30°角的直角三角形的性質教學目標課題13.3.2第2課時含30°角的直角三角形的性質授課人素養(yǎng)目標1.掌握含30°角的直角三角形的邊角性質.2.經歷探究含30°角的直角三角形性質的過程，提升推理能力.3.合理應用含30°角的直角三角形的性質，強化應用意識.教學重點含30°角的直角三角形的性質的發(fā)現(xiàn)與應用．教學難點含30°角的直角三角形的性質與其他知識的綜合應用.教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境，導入新課設計意圖由熟悉的三角板引入課題.【情境引入】我們經常使用的三角板，其中一塊含有30°的銳角．量一量30°角所對的直角邊的長度，再量一量這塊三角板斜邊的長度，它們有什么關系？大膽猜一猜.【教學建議】讓學生測量后自由回答.活動二：觀察猜想，探究求證設計意圖結合等邊三角形的知識推出含30°角的直角三角形的性質.探究點含30°角的直角三角形的性質如圖，將兩個含30°角的全等的三角尺擺放在一起．你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB\之間的數(shù)量關系嗎？問題1兩個三角尺構成的圖案，恰好是一個三角形嗎？是的．∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以點B，C，D在一條直線上．所以兩個三角尺構成的圖案恰好是一個三角形.問題2△ABD是不是等邊三角形？說明理由.是．因為兩個三角形尺全等，所以AB＝AD.因為∠BAC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等邊三角形.問題3你能說說BC與AB的長度關系嗎？BC＝eq\f(1,2)AB.理由：因為BC＝CD，所以BC＝eq\f(1,2)BD.因為△ABD是等邊三角形，所以BD＝AB.所以BC＝eq\f(1,2)AB.你還能用其他方法證明上面的結論嗎？已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.求證：BC＝eq\f(1,2)AB.證明：如圖，在AB邊上截取BE＝BC，連接CE.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.又BE＝BC，∴△BCE是等邊三角形.∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.又∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.∴AE＝CE＝BC＝BE.∴BC＝eq\f(1,2)AB.【教學建議】給學生強調，使用含30°角的直角三角形的性質時，其前提是在直角三角形中，不要忽視.這個結論的逆命題也是成立的，即直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么它所對的角等于30°(教學中不必補充，對于學有余力的學生，可做適當介紹)..教學步驟師生活動歸納：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【對應訓練】1．教材P81練習．2.如圖,∠AOB＝30°,點C在射線OB上，若OC＝6，則點C到OA的距離等于3.活動三：實際應用，加深理解設計意圖例1與對應訓練1是在實際場景中運用含30°角的直角三角形的性質，注意體會直角三角形中角與邊的聯(lián)系.設計意圖利用例2與對應訓練2補充應用場景，注意體會含30°角的直角三角形的性質的其他應用形式.例1(教材P81例5)如圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多長？解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD.∴BC＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m).又AD＝eq\f(1,2)AB，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×3.7＝1.85(m).答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.例2如圖，燈塔C在海島A的北偏東75°方向，某天上午8點，一條船從海島A出發(fā)，以15nmile/h的速度由西向東航行，上午10時整到達B處，此時測得燈塔C在B處的北偏東60°方向.(1)求B處到燈塔C的距離；(2)已知在以燈塔C為中心，周圍16nmile的范圍內均有暗礁，若該船繼續(xù)由西向東航行，是否有觸礁的危險？請你說明理由.解：(1)根據(jù)題意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(nmile)，∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30nmile.答：B處到燈塔C的距離為30nmile.(2)會有觸礁的危險．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于點D.∵∠CBD＝30°，BC＝30nmile，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝15nmile.∵15<16，∴該船繼續(xù)由西向東航行會有觸礁的危險.【對應訓練】1.如圖是屋架設計圖的一部分，其中∠A＝30°，點D是斜梁AB的中點，BC，DE垂直于橫梁AC，DE＝2m，求AB的長.解：∵DE⊥AE，∠A＝30°，∴AD＝2DE.∵D是AB的中點，∴AB＝2AD＝4DE＝8m.2.一張展開后桌面平行于地面的折疊型方桌如圖甲，從正面看如圖乙，已知AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝40cm，現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度∠AOB剛好為120°，求桌面到地面的距離.【教學建議】通過例1與對應訓練1給學生說明，在運用含30°角的直角三角形的性質時，斜邊與直角邊可以互相推出.【教學建議】通過例2與對應訓練2給學生說明，有時直角三角形沒有直接給出，需先作垂線構造直角三角形，再運用含30°角的直角三角形的性質．其中，根據(jù)點到直線的距離作垂線段是一種常見的考查形式.教學步驟師生活動解：如圖乙，過點D作DE⊥AB于點E.∵AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝40cm，∴AD＝AO＋DO＝50＋40＝90(cm).∵AO＝BO，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝eq\f(180°－120°,2)＝30°.∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×90＝45(cm).又桌面與地面平行，∴可知桌面到地面的距離是45cm.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊與斜邊有什么關系？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P83習題13.3第15題.2.《》主體本部分相應課時訓練．板書設計第2課時含30°角的直角三角形的性質含30°角的直角三角形的性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．教學反思在探究30°角所對的直角邊與斜邊的關系時，學生說理的方法比較多樣化，在教學中對于這種現(xiàn)象，要盡可能地對學生進行肯定.解題大招一尋找隱含的30°角解題在運用含30°角的直角三角形的性質時，有時30°角題目中并沒有直接給出，這時需仔細觀察圖形，找出隱藏的30°角．如，碰到等邊三角形，則考慮60°角的余角為30°，或60°角平分后得到30°角；碰到底角為15°的等腰三角形，則考慮利用三角形外角的性質得到30°的角．例1如圖，在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，DE⊥BC于點E，AB＝4.求CE的長．分析：根據(jù)等邊三角形的性質得到CD的長，又由DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，則可進一步求得CE的長．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，AC＝AB＝4.∵D是AC的中點，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝2.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°－∠C＝30°.∴CE＝eq\f(1,2)CD＝1.例2如圖，在等邊三角形ABC中，M是BC的中點，MN⊥AB，垂足為N，連接AM，求證：AM＝2MN.分析：利用等邊三角形的性質及△ABC“三線合一”的性質推知∠BAM＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性質可得出結論．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又M為BC的中點，∴∠BAM＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°.∵MN⊥AB，∴AM＝2MN.例3如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB邊的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，且BD＝13cm，求AC的長．解：∵AB邊的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，∴AD＝BD＝13cm.∴∠DAE＝∠B＝15°.∴∠ADC＝∠DAE＋∠B＝30°.又∠ACB＝90°，∴AC＝eq\f(1,2)AD＝6.5cm.例4如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一點，且∠BAP＝90°，CP＝6cm.求BP的長．分析：先根據(jù)等腰三角形的性質及等角對等邊求得AP＝CP，再利用含30°角的直角三角形的性質求得BP的長即可．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠BAC＝120°，∠BAP＝90°，∴∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝30°.∴∠C＝∠PAC.∴AP＝CP＝6cm.∵∠BAP＝90°，∠B＝30°，∴BP＝2AP＝12cm.解題大招二先構造直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性質解題類型1作輔助線形成斜邊例5如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點E，交AB于點D，AE＝8cm，求BC的長．分析：連接BE，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得BE＝AE＝8cm，從而可得∠ABE＝15°，然后利用三角形外角的性質可得∠CEB＝30°，最后在Rt△CEB中利用含30°角的直角三角形的性質進行計算．解：如圖，連接BE.∵DE是AB的垂直平分線，∴BE＝AE＝8cm.∴∠ABE＝∠A＝15°.∴∠CEB＝∠A＋∠ABE＝30°.∵∠C＝90°，∴BC＝eq\f(1,2)BE＝4cm.類型2作輔助線形成直角邊例6如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝18，點D在BC上，AD＝AC，若BD＝5，求CD的長．分析：解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E，則∠AEB＝90°.∵∠B＝60°，∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.∴BE＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝18，∴BE＝9.∵BD＝5，∴DE＝BE－BD＝9－5＝4.∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CD＝2DE＝8.培優(yōu)點利用含30°角的直角三角形的性質解決動點問題例如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，點D從點A出發(fā)沿AC以1cm/s的速度向點C運動，同時點E從點C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度向點B運動，運動的時間為ts，解決以下問題：(1)當t為何值時，△DEC為等邊三角形？(2)當t為何值時，△DEC為直角三角形？分析：(1)根據(jù)等邊三角形的判定條件列方程求出t的值；(2)分兩種情況討論：①∠DEC為直角，②∠EDC為直角，在兩種情況下分別利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半列方程求出t的值．解：(1)根據(jù)題意可得AD＝tcm，CD＝(6－t)cm，CE＝2tcm.∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°－∠B＝60°，∴當CD＝CE時，△