專題12.23三角形全等幾何模型-共頂點等角模型（專項練習）模型一：共頂點雙垂線等角模型：模型二：共頂點等角模型：圖一圖二一、單選題1．如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，添加的一組條件不正確的是（）A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E2．如圖，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根據是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．如圖，△ABC中，已知∠B=∠C，點E，F，P分別是AB，AC，BC上的點，且BE=CP，BP=CF，若∠A=112°，則∠EPF的度數是（

）A．34° B．36° C．38° D．40°4．如圖，已知，則的度數為（

）A． B． C． D．5．如圖，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，則∠BFD的度數是（）A．60° B．90° C．45° D．120°6．如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，則∠3=（

）A．50 B．60 C．55 D．657．如圖，在△ABC中，AB=AC．點B，D，E在同一直線上，點D在△ABC內、點E在△ABC外，且AD=AE．若，則∠BEC的度數為()A．50° B．55° C．60° D．80°8．如圖，和均為等邊三角形，點，，在同一條直線上，連接，若，則的度數是（

）A． B． C． D．9．如圖，和都是等邊三角形，，，則的周長為（

）A．19 B．20 C．27 D．3010．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O為AC中點，若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D運動過程中，則OE的最小值是為（）A． B．0.25 C．1 D．211．如圖，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，則∠AEB=（

）A．52° B．90° C．128° D．38°12．如圖，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，點C、D、E、F共線．則下列結論，其中正確的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④13．如圖，AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，則（）A．BE+CF＞EFB．BE+CF=EFC．BE+CF＜EFD．BE+CF與EF的大小關系不能確定．二、填空題14．如圖所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一個適當的條件，使，則需要添加的條件是_________．15．如圖，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，連接MN，已知MN＝4，則BD＝_________．16．如圖所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，則∠DOC＝___．17．如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝21°，∠2＝30°，則∠3＝___．18．如圖，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝53°，則∠AEB＝____．19．如圖，在中，，分別以、為邊在內部作等腰三角形、，點恰好在邊上，使，，且，連接，，，的面積為，則的面積為__________．20．如圖所示，，，，，，則的度數是______．21．兩個大小不同的等腰直角三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接．一只蝸牛在爬行速度不變的情況下，從C爬到D所用的最短時間與它爬行線段__________所用的時間相同．（不要使用圖形中未標注的字母）22．如圖，在中，為線段上一動點(不與點重合)，連接作，且連接，當時，______________________度．23．如圖，，，，且，則____24．在和中，，，，AC分別交BD，OB于點E，F．則________．25．如圖，已知，，，、、在同一直線上，則的度數為__________.26．如圖，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，則∠AEB=________.27．已知：如圖，和為兩個共直角頂點的等腰直角三角形，連接、．圖中一定與線段相等的線段是__________．三、解答題28．如圖所示，，，，求證：．29．如圖，已知AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC．求證：∠B=∠E．30．如圖，，，，則，請將下列說理過程補充完整．解：，=______+______．即=______．在和中，31．如圖，在等腰三角形中，，，是邊的中點，點在線段上從向運動，同時點在線段上從點向運動，速度都是1個單位/秒，時間是（），連接、、.（1）請判斷形狀，并證明你的結論.（2）以、、、四點組成的四邊形面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個值：若變化，用含的式子表示.32．如圖，AB＝AE，∠1＝∠2，AC＝AD．求證：△ABC≌△AED．33．如圖所示，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD．求證：∠B=∠D．34．如圖（1）已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內任意一點將AP繞點A順時針旋轉到AQ，使∠QAP＝∠BAC，連接BQ、CP，則BQ＝CP，請證明；若將點P移到等腰ABC之外，原題中其它條件不變，上面的結論是否成立？請說明理由．35．如圖，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求證：△ABC≌△AED．參考答案1．A【分析】根據全等三角形的判定定理逐個判斷即可．解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本選項符合題意；B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本選項不符合題意；C．∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，∵∠B＝∠E，AB＝DE，∴△ABC≌△DEC（AAS），故本選項不符合題意；D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本選項不符合題意；故選：A．【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法——，，，．2．A解：∵∠1=∠2，∴∠ACD+∠2=∠ACD+∠1，即∠ACB=∠ECD．又∵BC=DC，AC=EC，∴△ABC≌△EDC（SAS）．故選A．【點撥】全等三角形的判定．3．A【分析】由三角形內角和定理可得∠B=∠C=34°，由△EBP≌△PCF可得∠EPB=∠PFC，再由三角形外角的性質便可解答；解：△BAC中，∠B=∠C，∠A=112°，則∠B=∠C=34°，△EBP和△PCF中：BE=CP，∠EBP=∠PCF，BP=CF，∴△EBP≌△PCF（SAS），∴∠EPB=∠PFC，∵∠BPF=∠EPB+∠EPF=∠C+∠PFC，∴∠EPF=∠C=34°，故選：A．【點撥】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質，三角形外角的性質；掌握全等三角形的判定定理和性質是解題關鍵．4．C【分析】首先根據已知條件證明，再利用等腰三角形求角度即可．解：∵，∴，∴，在與中，∵，∴（SAS），∴，，∴，故選：C．【點撥】本題主要考查三角形全等的證明，利用已知條件進行證明是解題的關鍵．5．B【分析】先證△BAE≌△CAD，得出∠B=∠C，再證∠CFB=∠BAC=90°即可．解：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，,∴△BAE≌△CAD，∴∠B=∠C，∵∠BGA=∠CGF，∴∠CFB=∠BAC=90°,∴∠BFD=90°,故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題關鍵是確定全等三角形并通過8字型導角求出度數．6．B【分析】先證△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠2，利用外角性質，∠3=∠1+∠ABD，即可求出．解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠1=∠CAE，如圖所示，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠1=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠2，∵∠1=24°，∠2=36°，，則∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2=60o．故選擇B．【點撥】本題考查求角的度數問題，關鍵是證△ABD≌△ACE，外角性質．7．A【分析】如圖，由可得，進而可根據SAS證明△ABD≌△ACE，于是得∠ABE=∠ACE，再根據三角形的內角和定理即得∠BEC=∠BAC，從而可得答案．解：∵，∴，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABE=∠ACE，∵∠AOB=∠COE，∴∠BEC=∠BAC=50°．故選：A．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質以及三角形的內角和定理，屬于常考題型，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．8．C【分析】和均為等邊三角形，可得CA=CB，CD=CE，可證∠ACD=∠BCE，從而可證△ACD≌△BCE，得出∠DAC=∠EBC即可．解：∵和均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴ACD≌△BCE（SAS），∴∠EBC=∠DAC=∠CAE=25°，故選：C．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．9．A【分析】由△ABC和△BED都是等邊三角形，得到DE=BD=BE=9，AB=BC=AC=10，∠EBD=∠ABC=60°，從而得到∠EBA=∠DBC，根據全等三角形判定方法可證△ABE≌△CBD，從而AE=CD，根據△ADE的周長=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE，可求△ADE的周長．解：∵△ABC和△BED都是等邊三角形，∴∠EBD=∠ABC=60°，DE=BD=BE=9，AB=BC=AC=10，∴∠EBA=∠EBD-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD，∴∠EBA=∠DBC，在△ABE和△CBD中，∵BE=BD，AB=BC，∠EBA=∠DBC，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD，∵△ADE的周長=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE=10+9=19，∴△ADE的周長=19．故選：A．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練運用等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質解決問題是本題的關鍵．10．A【分析】依題意設Q是AB的中點，連接DQ，先證得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根據點到直線的距離可知：當QD⊥BC時，QD最小，然后根據等腰直角三角形的性質求得QD⊥BC時的QD的值，即可求得線段OE的最小值.解：設Q是AB的中點，連接DQ，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC＝2，O為AC中點，∴∴AQ＝AO，在△AQD和△AOE中，，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD＝OE，∵點D在直線BC上運動，∴當QD⊥BC時，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∴∵QB＝AB＝1，∴∴線段OE的最小值是為；故選：A．【點撥】本題考查了三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是：作出輔助線構建全等三角形.11．C【分析】先證明△BDC≌△AEC，進而得到角的關系，再由∠EBD的度數進行轉化，最后利用三角形的內角和即可得到答案．解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BDC和△AEC中，∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△BDC≌△AEC（SAS），∴∠DBC＝∠EAC，∵∠EBD＝∠DBC＋∠EBC＝38°，∴∠EAC＋∠EBC＝38°，∴∠ABE＋∠EAB＝90°－38°＝52°，∴∠AEB＝180°－（∠ABE＋∠EAB）＝180°－52°＝128°，故答案為C．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，充分利用角的和差的轉化關系進行求解是解題的關鍵．12．A【分析】根據題意結合圖形證明△AFB≌△AEC；利用四點共圓及全等三角形的性質問題即可解決．解：如圖，∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB與△AEC中，，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四點共圓，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正確，④錯誤．故選A.．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質的應用問題；解題的關鍵是準確找出圖形中隱含的全等三角形，靈活運用四點共圓等幾何知識來分析、判斷、推理或證明．13．A解：試題分析：延長ED到G，使DG=ED，連接CG，FG，在△BED與△CGD中，∵，∴△BED≌△CGD（SAS），∴CG=BE，ED=DG，又∵DE⊥DF∴FD是EG的垂直平分線，∴FG=EF∵GC+CF＞FG∴BE+CF＞EF故選A．考點：1．全等三角形的判定與性質；2．三角形三邊關系．14．【分析】由證明結合可得到添加：，即可得到答案．解：添加：理由如下：故答案為：．【點撥】本題考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解題的關鍵．15．2【分析】延長BD到E，使DE=BD，連接AE，證明△ADE≌△CDB（SAS），可得AE=CB，∠EAD=∠BCD，再根據△ABM和△BCN是等腰直角三角形，證明△MBN≌△BAE，可得MN=BE，進而可得BD與MN的數量關系即可求解．解：如圖，延長BD到E，使DE=BD，連接AE，∵點D是AC的中點，∴AD=CD，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，∴BN=AE，又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，在△MBN和△BAE中，，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，∵BE=2BD，∴MN=2BD．又MN=4，∴BD=2，故答案為：2．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形，解決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質．16．120°【分析】先證明得到，再利用以及三角形的內角和定理、鄰補角的性質可得答案．解：在與中，故答案為：【點撥】本題考查的是三角形全等的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，鄰補角的性質，三角形的內角和定理，掌握以上知識是解題的關鍵．17．51°【分析】根據∠BAC=∠DAE通過角的計算即可得出∠1=∠CAE，結合AB=AC、AD=AE即可證出△BAD≌△CAE（SAS），進而即可得出∠ABD=∠2=30°．再根據外角的性質即可得出∠3的度數．解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠1=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠2=30°．∵∠3=∠1+∠ABD=21°+30°=51°．故答案為：51°．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質以及外角的性質，通過證明三角形全等找出∠ABD=∠2是解題的關鍵．18．【分析】先求出，再利用“”證明，進而得，從而得出，再利用三角形的內角和等于180°列式求出，然后再次利用三角形的內角和等于180°列式計算即可得解．解：∵，∴，即，在和中，∴，∴，∵，∴，在中，，在中，．故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．19．【分析】過點作于,根據已知條件證明，即可得，進而求得，根據已知的面積求得，進而求得，根據三角形全等的性質即可求得．解：如圖，過點作于，,,即,又,,,，，,,,,,．故答案為：10【點撥】本題考查了三角形全等的性質與判定，添加輔助線求得是解題的關鍵．20．58°【分析】根據角的和差可得∠1=∠EAC，然后利用SAS證明ΔBAD≌ΔCAE，得到∠ABD=∠2=30°，最后根據三角形外角的性質可得答案．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠1=∠EAC，在ΔBAD與ΔCAE中，，∴ΔBAD≌ΔCAE(SAS)，∴∠ABD=∠2=30°，∵，∴∠3=∠ABD+∠1=30°+28°=58°．故答案為：58°．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質以及三角形外角的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．21．【分析】根據全等三角形的判定及性質證明CD=BE即可得到結論．解：∵和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（SAS），∴．故答案為：BE．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．22．24【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可證△ABC是等邊三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，∴△DAE是等邊三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°，故答案為：24．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，證明△ABC是等邊三角形是解題的關鍵．23．140°【分析】先求出，再利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應角相等可得，從而求出，再利用三角形的內角和等于列式求出，然后再次利用三角形的內角和等于列式計算即可得解．解：，，即，在和中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），，在中，，在中，．故答案為：140°【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，難點在于整體思想的利用．24．【分析】利用SAS易證得，推出，根據三角形內角和定理即可求解．解：，，即．在和中，，，．，．故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是能得出：．25．##50度【分析】由已知條件可證明△ABD≌△ACE，可知∠ABD=∠ACE，在等腰△ADE中可求得∠ADE，利用外角的性質可求得∠BAD+∠ABD，在△ACE中利用三角形內角和可求得∠BEC．解：∵∠BAC=∠DAE=50°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，∵AD=AE，∠DAE=50°，∴∠ADE=∠AED=65°，∵∠BAD+∠ABD=∠ADE，∴∠CAE+∠ACE=∠ADE=65°，在△ACE中，∠BEC=180°-∠AEC-（∠CAE+∠ACE）=180°-65°-65°=50°，故答案為：50°．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性質（即全等三角形的對應角相等、對應邊相等）是解題的關鍵．26．128°【分析】先證明△BDC≌△AEC，進而得到角的關系，再由∠EBD的度數進行轉化，最后利用三角形的內角和即可得到答案．解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BDC和△AEC中，∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△BDC≌△AEC（SAS），∴∠DBC＝∠EAC，∵∠EBD＝∠DBC＋∠EBC＝38°，∴∠EAC＋∠EBC＝38°，∴∠ABE＋∠EAB＝90°－38°＝52°，∴∠AEB＝180°－（∠ABE＋∠EAB）＝180°－52°＝128°，故答案為128°．【點撥】本題目主要考查全等三角形的判定和性質，關鍵是充分利用角的和差的轉化關系進行求解．27．BE解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC－∠BAD=∠DAE－∠BAD，∴∠DAC=∠BAE，∵在△CAD和△BAE中，，∴△CAD≌△BAE，∴CD=BE.故答案為BE.【點撥】本題關鍵在于掌握三角形全等的判定方法.28．見分析【分析】根據三角形全等的判定，由已知先證∠ACB＝∠DCE，再根據SAS可證△ABC≌△DEC．解：∵，∴．∴，在與中，∴(SAS)．【點撥】本題考查了三角形全等的判定方法和性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．29．證明見分析．【分析】先證明再結合已知證明即可得到答案．解：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，∴∠BAC=∠EAD，在與中，，∴（SAS），∴∠B=∠E．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質定理，熟練掌握定理是解答此題的關鍵．30．∠CAE，∠DAC，∠DAE，AD，∠DAE，已知，SAS．【分析】根據等式的性質求出∠BAC=∠DAE，根據AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE推出△ABC≌△ADE即可．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．∵在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE(SAS)．故答案為：∠CAE，∠DAC，∠DAE，AD，∠DAE，(已知)，(SAS)．【點撥】本題考查了等式的性質和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．31．（1）為等腰直角三角形，見分析；（2）不變，9【分析】⑴連結AD,由SAS定理可證和全等，從而可證,DF=DE.所以為等腰直角三角形.⑵由割補法可知四邊形AEDF的面積不變，利用三角形的面積公式求出答案.解：（1）為等腰直角三角形，理由如下：連接，∵，，為中點