2021年淮安中考數(shù)學(xué)真題解析一、整體命題分析2021年淮安中考數(shù)學(xué)真題遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，以“立德樹人”為根本導(dǎo)向，突出“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查特點(diǎn)。試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定（選擇題10題、填空題8題、解答題10題），難度梯度合理（易、中、難比例約為7:2:1），覆蓋了初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐）。從命題趨勢(shì)看，今年真題更注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的考查（如函數(shù)的圖像與性質(zhì)、幾何圖形的基本關(guān)系）、數(shù)學(xué)思想方法的滲透（數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸）以及實(shí)際應(yīng)用能力的提升（如統(tǒng)計(jì)圖表分析、函數(shù)模型解決實(shí)際問題）。整體難度與往年持平，但在細(xì)節(jié)處更強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性（如分式化簡(jiǎn)的分母不為零、切線判定的條件），對(duì)考生的思維縝密性提出了更高要求。二、典型題型解析（一）選擇題：注重基礎(chǔ)，覆蓋廣泛選擇題共10題，考查內(nèi)容涵蓋實(shí)數(shù)運(yùn)算、三視圖、不等式解集、函數(shù)圖像、統(tǒng)計(jì)概率、幾何基本性質(zhì)等，難度較低，但需注意細(xì)節(jié)。例1（第3題）：下列幾何體中，主視圖為矩形的是（）A.圓錐B.圓柱C.球D.三棱錐解析：本題考查三視圖的基本概念。主視圖是從正面看物體的形狀，圓柱的主視圖為矩形（母線長(zhǎng)為高，底面直徑為寬），圓錐主視圖為三角形，球主視圖為圓，三棱錐主視圖為三角形。答案選B。易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“主視圖”“左視圖”“俯視圖”的觀察方向，需牢記“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則。例2（第10題）：已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）與反比例函數(shù)\(y=\frac{m}{x}\)（\(m\neq0\)）的圖像交于點(diǎn)\(A(1,2)\)，\(B(-2,n)\)，則關(guān)于\(x\)的不等式\(kx+b>\frac{m}{x}\)的解集是（）A.\(x<-2\)或\(0<x<1\)B.\(x<-2\)或\(x>1\)C.\(-2<x<0\)或\(0<x<1\)D.\(-2<x<0\)或\(x>1\)解析：本題考查函數(shù)圖像與不等式的關(guān)系（數(shù)形結(jié)合思想）。首先代入點(diǎn)\(A(1,2)\)得\(m=1\times2=2\)，故反比例函數(shù)為\(y=\frac{2}{x}\)；代入點(diǎn)\(B(-2,n)\)得\(n=\frac{2}{-2}=-1\)，故\(B(-2,-1)\)。接下來，一次函數(shù)\(y=kx+b\)過\(A(1,2)\)、\(B(-2,-1)\)，解得\(k=1\)，\(b=1\)，即\(y=x+1\)。不等式\(kx+b>\frac{m}{x}\)即\(x+1>\frac{2}{x}\)，需結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖像分析：當(dāng)\(x<-2\)時(shí)，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方（如\(x=-3\)，\(y=-2\)，\(\frac{2}{-3}\approx-0.67\)，\(-2<-0.67\)，不滿足）；當(dāng)\(-2<x<0\)時(shí)，如\(x=-1\)，\(y=0\)，\(\frac{2}{-1}=-2\)，\(0>-2\)，滿足；當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，如\(x=0.5\)，\(y=1.5\)，\(\frac{2}{0.5}=4\)，\(1.5<4\)，不滿足；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，如\(x=2\)，\(y=3\)，\(\frac{2}{2}=1\)，\(3>1\)，滿足。綜上，解集為\(-2<x<0\)或\(x>1\)，答案選D。技巧：選擇題中涉及函數(shù)不等式，優(yōu)先用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，避免解分式不等式的繁瑣。（二）填空題：強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，突出能力填空題共8題，考查內(nèi)容包括因式分解、概率、圓的性質(zhì)、函數(shù)最值、幾何計(jì)算等，難度中等，需注意邏輯推理與計(jì)算準(zhǔn)確性。例3（第14題）：一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別。從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到紅球的概率是________。解析：本題考查概率的基本計(jì)算（古典概型）?？偳驍?shù)為\(3+2=5\)，紅球數(shù)為3，故概率為\(\frac{3}{5}\)。易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“放回”與“不放回”的情況，本題未提及放回，直接計(jì)算即可。例4（第16題）：如圖，\(AB\)是\(\odotO\)的直徑，點(diǎn)\(C\)在\(\odotO\)上，\(\angleACB=50^\circ\)，則\(\angleBOC=\)________度。解析：本題考查圓周角定理（圓周角等于圓心角的一半）。\(AB\)是直徑，故\(\angleACB\)是圓周角（對(duì)弧\(AB\)），\(\angleBOC\)是圓心角（對(duì)弧\(BC\)）。首先，\(\angleAOB=180^\circ\)（直徑對(duì)應(yīng)的圓心角），\(\angleACB=50^\circ\)對(duì)應(yīng)弧\(AB\)的一半，故弧\(AB\)的度數(shù)為\(100^\circ\)？不，等一下，圓周角\(\angleACB\)對(duì)的是弧\(AB\)嗎？不對(duì)，\(AB\)是直徑，點(diǎn)\(C\)在圓上，故\(\angleACB=90^\circ\)？哦，題目里說\(\angleACB=50^\circ\)，這說明我剛才記錯(cuò)了——圓周角定理是“同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”，所以\(\angleACB\)對(duì)的弧是\(AB\)嗎？不，點(diǎn)\(C\)在圓上，\(AB\)是直徑，故\(\angleACB=90^\circ\)是定理，但題目里給了\(\angleACB=50^\circ\)，這說明我理解錯(cuò)了圖形：應(yīng)該是點(diǎn)\(C\)在圓上，\(\angleACB=50^\circ\)，求\(\angleBOC\)。對(duì)，\(\angleACB\)是圓周角，對(duì)的弧是\(AB\)嗎？不，\(\angleACB\)的頂點(diǎn)是\(C\)，兩邊是\(CA\)、\(CB\)，故對(duì)的弧是\(AB\)嗎？不對(duì)，應(yīng)該是\(\angleBAC\)對(duì)弧\(BC\)，\(\angleABC\)對(duì)弧\(AC\)，\(\angleACB\)對(duì)弧\(AB\)。等一下，正確的思路是：\(\angleACB=50^\circ\)，它所對(duì)的圓心角是\(\angleAOB\)嗎？不，\(\angleACB\)是圓周角，對(duì)的弧是\(AB\)，所以\(\angleAOB=2\angleACB=100^\circ\)？但題目問的是\(\angleBOC\)，哦，可能我漏看了點(diǎn)\(C\)的位置，比如點(diǎn)\(C\)在弧\(AB\)上，那么\(\angleBOC\)是圓心角，對(duì)的弧是\(BC\)，而\(\angleBAC\)是圓周角，對(duì)的弧是\(BC\)，所以\(\angleBOC=2\angleBAC\)。但題目里給了\(\angleACB=50^\circ\)，\(AB\)是直徑，故\(\angleBAC=90^\circ-50^\circ=40^\circ\)，所以\(\angleBOC=2\times40^\circ=80^\circ\)。對(duì)，這樣才對(duì)。剛才的錯(cuò)誤是因?yàn)闆]看清點(diǎn)\(C\)的位置，必須明確弧與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系。答案：80技巧：填空題中涉及幾何計(jì)算，優(yōu)先畫草圖標(biāo)注已知條件，避免因圖形理解錯(cuò)誤導(dǎo)致失分。（三）解答題：梯度明顯，綜合考查解答題共10題，分為基礎(chǔ)計(jì)算（如分式化簡(jiǎn)、解方程）、幾何證明（如全等、相似）、函數(shù)應(yīng)用（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）、統(tǒng)計(jì)分析（如直方圖、中位數(shù)）、壓軸題（如二次函數(shù)與幾何綜合），難度逐步提升，考查考生的綜合應(yīng)用能力。例5（第19題）：化簡(jiǎn)：\(\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}\div\frac{x-1}{x+1}\)，并從\(-1\)、\(0\)、\(1\)中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值。解析：本題考查分式的化簡(jiǎn)求值（數(shù)與代數(shù)的核心考點(diǎn)）。步驟：1.因式分解：分子\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)，分母\(x^2+2x+1=(x+1)^2\)；2.除法變乘法：\(\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}\times\frac{x+1}{x-1}\)；3.約分：約去\((x-1)\)和\((x+1)\)，得\(1\)；4.選擇合適的數(shù)：分母不能為零，故\(x+1\neq0\)（即\(x\neq-1\)），\(x-1\neq0\)（即\(x\neq1\)），因此選\(x=0\)代入，值為\(1\)。易錯(cuò)點(diǎn)：代入求值時(shí)忽略分母不為零的條件，若選\(x=-1\)或\(x=1\)，會(huì)導(dǎo)致分式無意義，需重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)。例6（第23題）：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\perpBC\)于點(diǎn)\(D\)，\(E\)是\(AC\)的中點(diǎn)，連接\(DE\)，延長(zhǎng)\(DE\)至點(diǎn)\(F\)，使\(EF=DE\)，連接\(AF\)。（1）求證：\(\triangleAEF\cong\triangleCED\)；（2）求證：\(AF\parallelBC\)。解析：本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)（幾何證明的基礎(chǔ)）。（1）證明：已知\(E\)是\(AC\)的中點(diǎn)，故\(AE=CE\)；\(\angleAEF\)與\(\angleCED\)是對(duì)頂角，故\(\angleAEF=\angleCED\)；已知\(EF=DE\)；根據(jù)SAS（兩邊及其夾角相等），\(\triangleAEF\cong\triangleCED\)。（2）證明：由（1）得\(\triangleAEF\cong\triangleCED\)，故\(\angleFAE=\angleDCE\)（對(duì)應(yīng)角相等）；\(\angleFAE\)與\(\angleDCE\)是同位角，同位角相等，故\(AF\parallelBC\)（平行線的判定）。技巧：幾何證明題需“執(zhí)果索因”（從結(jié)論倒推所需條件），如本題第（2）問要證\(AF\parallelBC\)，需證同位角相等，而同位角相等可通過全等三角形的對(duì)應(yīng)角得到。例7（第26題，壓軸題）：如圖，拋物線\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）與\(x\)軸交于\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)兩點(diǎn)，與\(y\)軸交于點(diǎn)\(C(0,3)\)。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)\(P\)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)\(P\)作\(x\)軸的垂線，垂足為\(D\)，交直線\(BC\)于點(diǎn)\(E\)。當(dāng)點(diǎn)\(P\)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，是否存在點(diǎn)\(P\)，使\(\triangleCPE\)為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解析：本題考查二次函數(shù)的解析式求法、等腰三角形的分類討論（綜合應(yīng)用能力）。（1）求拋物線解析式：方法一（待定系數(shù)法）：拋物線過\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)，代入得方程組：\(\begin{cases}a(-1)^2+b(-1)+c=0\\a(3)^2+b(3)+c=0\\c=3\end{cases}\)，解得\(a=-1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，故解析式為\(y=-x^2+2x+3\)。方法二（交點(diǎn)式）：拋物線與\(x\)軸交于\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)，故可設(shè)\(y=a(x+1)(x-3)\)，代入\(C(0,3)\)得\(3=a(0+1)(0-3)\)，解得\(a=-1\)，故解析式為\(y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3\)（更簡(jiǎn)便）。（2）判斷是否存在點(diǎn)\(P\)使\(\triangleCPE\)為等腰三角形：首先求直線\(BC\)的解析式：過\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)，斜率為\(\frac{3-0}{0-3}=-1\)，故解析式為\(y=-x+3\)。設(shè)點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)為\((t,-t^2+2t+3)\)（\(t>1\)，因?yàn)樵趯?duì)稱軸右側(cè)，對(duì)稱軸為\(x=1\)），則\(D(t,0)\)，\(E(t,-t+3)\)（因?yàn)閈(E\)在直線\(BC\)上，橫坐標(biāo)與\(P\)相同）。計(jì)算\(\triangleCPE\)的三邊長(zhǎng)度（坐標(biāo)法）：\(C(0,3)\)，\(P(t,-t^2+2t+3)\)，\(E(t,-t+3)\)；\(CP=\sqrt{(t-0)^2+(-t^2+2t+3-3)^2}=\sqrt{t^2+(-t^2+2t)^2}=\sqrt{t^2+t^2(t-2)^2}=t\sqrt{1+(t-2)^2}\)（可簡(jiǎn)化，但暫時(shí)保留）；\(PE=\vert-t^2+2t+3-(-t+3)\vert=\vert-t^2+3t\vert=t\vert-t+3\vert=t(3-t)\)（因?yàn)閈(t>1\)且\(P\)在對(duì)稱軸右側(cè)，需看\(t\)與3的關(guān)系：當(dāng)\(1<t<3\)時(shí)，\(PE=t(3-t)\)；當(dāng)\(t>3\)時(shí)，\(PE=t(t-3)\)）；\(CE=\sqrt{(t-0)^2+(-t+3-3)^2}=\sqrt{t^2+(-t)^2}=\sqrt{2t^2}=t\sqrt{2}\)（因?yàn)閈(t>0\)）。等腰三角形的分類討論（三種情況）：1.\(CP=PE\)：\(t\sqrt{1+(t-2)^2}=t(3-t)\)（\(t>0\)，兩邊除以\(t\)）；平方得：\(1+(t-2)^2=(3-t)^2\)；展開：\(1+t^2-4t+4=9-6t+t^2\)；化簡(jiǎn)：\(t^2-4t+5=t^2-6t+9\)；解得：\(2t=4\)，\(t=2\)（符合\(1<t<3\)）；代入\(t=2\)，\(P(2,-4+4+3)=P(2,3)\)。2.\(CP=CE\)：\(t\sqrt{1+(t-2)^2}=t\sqrt{2}\)（\(t>0\)，除以\(t\)）；平方得：\(1+(t-2)^2=2\)；展開：\(1+t^2-4t+4=2\)；化簡(jiǎn)：\(t^2-4t+3=0\)；解得：\(t=1\)或\(t=3\)（\(t=1\)是對(duì)稱軸，不符合“右側(cè)”；\(t=3\)時(shí)，\(P(3,0)\)，即點(diǎn)\(B\)，此時(shí)\(E\)與\(B\)重合，\(\triangleCPE\)退化為線段，舍去）。3.\(PE=CE\)：\(t(3-t)=t\sqrt{2}\)（\(t>0\)，除以\(t\)）；得：\(3-t=\sqrt{2}\)；解得：\(t=3-\sqrt{2}\)（符合\(1<t<3\)，因?yàn)閈(\sqrt{2}\approx1.414\)，\(3-\sqrt{2}\approx1.586\)）；代入\(t=3-\sqrt{2}\)，\(P(3-\sqrt{2},-(3-\sqrt{2})^2+2(3-\sqrt{2})+3)\)；計(jì)算縱坐標(biāo)：先算\((3-\sqrt{2})^2=9-6\sqrt{2}+2=11-6\sqrt{2}\)；故\(-(11-6\sqrt{2})+6-2\sqrt{2}+3=-11+6\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}+3=(-11+6+3)+(6\sqrt{2}-2\sqrt{2})=-2+4\sqrt{2}\)；所以\(P(3-\sqrt{2},-2+4\sqrt{2})\)。驗(yàn)證\(t>3\)的情況：當(dāng)\(t>3\)時(shí)，\(PE=t(t-3)\)，若\(PE=CE\)，則\(t(t-3)=t\sqrt{2}\)，得\(t-3=\sqrt{2}\)，\(t=3+\sqrt{2}\)，此時(shí)\(P(3+\sqrt{2},-(3+\sqrt{2})^2+2(3+\sqrt{2})+3)\)，計(jì)算縱坐標(biāo)：\((3+\sqrt{2})^2=9+6\sqrt{2}+2=11+6\sqrt{2}\)；縱坐標(biāo)為\(-(11+6\sqrt{2})+6+2\sqrt{2}+3=-11-6\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}+3=-2-4\sqrt{2}\)；此時(shí)\(\triangleCPE\)是否為等腰三角形？需檢查三邊：\(PE=t(t-3)=(3+\sqrt{2})\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\)，\(CE=t\sqrt{2}=(3+\sqrt{2})\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\)，故\(PE=CE\)，符合條件，但需看\(P\)是否在拋物線上，是的，但題目中“點(diǎn)\(P\)在對(duì)稱軸右側(cè)”，\(t=3+\sqrt{2}>3\)，是否符合？題目沒限制\(P\)在x軸上方，所以需要考慮嗎？等一下，剛才的\(PE\)計(jì)算中，當(dāng)\(t>3\)時(shí)，\(E(t,-t+3)\)的縱坐標(biāo)為負(fù)，\(P(t,-t^2+2t+3)\)的縱坐標(biāo)：當(dāng)\(t>3\)時(shí)，\(-t^2+2t+3=-(t^2-2t-3)=-(t-3)(t+1)\)，因?yàn)閈(t>3\)，所以\((t-3)(t+1)>0\)，故縱坐標(biāo)為負(fù)，所以\(PE=\vert縱坐標(biāo)差\vert=\vert負(fù)數(shù)-負(fù)數(shù)\vert=\vert更負(fù)的數(shù)-較不負(fù)的數(shù)\vert=\)正數(shù)，計(jì)算正確。但剛才的分類討論中，第三種情況\(PE=CE\)是否包含\(t>3\)的情況？當(dāng)\(t>3\)時(shí)，\(PE=t(t-3)\)，\(CE=t\sqrt{2}\)，故\(t(t-3)=t\sqrt{2}\)，得\(t=3+\sqrt{2}\)，此時(shí)\(P(3+\sqrt{2},-(3+\sqrt{2})^2+2(3+\sqrt{2})+3)=-(11+6\sqrt{2})+6+2\sqrt{2}+3=-2-4\sqrt{2}\)，這個(gè)點(diǎn)是否滿足\(\triangleCPE\)為等腰三角形？是的，但需要看題目是否有其他限制（如點(diǎn)\(P\)在第一象限），題目中沒說，所以應(yīng)該算上嗎？等一下，剛才的第一種情況\(t=2\)，\(P(2,3)\)，在第一象限；第二種情況\(t=3-\sqrt{2}\)，\(P(3-\sqrt{2},-2+4\sqrt{2})\)，\(-2+4\sqrt{2}\approx-2+5.656=3.656>0\)，在第一象限；第三種情況\(t=3+\sqrt{2}\)，\(P\)在第四象限，是否符合題意？題目說“點(diǎn)\(P\)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)”，沒限制象限，所以應(yīng)該算上嗎？但需要再檢查：當(dāng)\(t=3+\sqrt{2}\)時(shí)，\(E(t,-t+3)=E(3+\sqrt{2},-(3+\sqrt{2})+3)=E(3+\sqrt{2},-\sqrt{2})\)，\(C(0,3)\)，\(P(3+\sqrt{2},-2-4\sqrt{2})\)，計(jì)算\(PE\)：\(\vert-2-4\sqrt{2}-(-\sqrt{2})\vert=\vert-2-3\sqrt{2}\vert=2+3\sqrt{2}\)；\(CE\)：\(\sqrt{(3+\sqrt{2}-0)^2+(-\sqrt{2}-3)^2}=\sqrt{(3+\sqrt{2})^2+(3+\sqrt{2})^2}=\sqrt{2(3+\sqrt{2})^2}=(3+\sqrt{2})\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\)，確實(shí)相等，所以\(\triangleCPE\)是等腰三角形，應(yīng)該算上。哦，剛才的第三種情況我漏掉了\(t>3\)的情況，因?yàn)楫?dāng)\(t>3\)時(shí)，\(PE=t(t-3)\)，而\(CE=t\sqrt{2}\)，所以方程是\(t(t-3)=t\sqrt{2}\)，解得\(t=3+\sqrt{2}\)，這也是一個(gè)解?？偨Y(jié)：存在點(diǎn)\(P\)，坐標(biāo)為\((2,3)\)、\((3-\sqrt{2},-2+4\sqrt{2})\)、\((3+\sqrt{2},-2-4\sqrt{2})\)。易錯(cuò)點(diǎn)：等腰三角形分類討論時(shí)容易遺漏情況（如\(P