第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.1三角形中的邊角關(guān)系1.認(rèn)識(shí)三角形中邊的關(guān)系和角的關(guān)系.2.掌握三角形的有關(guān)概念，能初步解決三角形的有關(guān)問(wèn)題.3.學(xué)會(huì)運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高線(xiàn)解決實(shí)際問(wèn)題.1.三角形中的邊角關(guān)系.2.用三角形的邊角關(guān)系解決問(wèn)題.3.三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高線(xiàn)的應(yīng)用.1.兩點(diǎn)之間的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短.2.把線(xiàn)段分為兩條相等線(xiàn)段的點(diǎn)，叫作這條線(xiàn)段的中點(diǎn).3.在角的內(nèi)部，從角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線(xiàn)，叫作這個(gè)角的平分線(xiàn).知識(shí)點(diǎn)一三角形的有關(guān)概念1.定義：由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫作三角形.2.構(gòu)成：如圖所示，三角形ABC有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).（1）邊：組成三角形的線(xiàn)段叫作三角形的邊.（2）角：相鄰兩邊所組成的角叫作三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角.（3）頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn).3.表示：三角形用符號(hào)“△”表示，三角形ABC用符號(hào)表示為“△ABC”.頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC用a表示，頂點(diǎn)B所對(duì)的邊AC用b表示，頂點(diǎn)C所對(duì)的邊AB用c表示.【例1】如圖所示，圖中有幾個(gè)三角形？分別表示出來(lái)，并寫(xiě)出它們的邊和角.【解析】根據(jù)三角形的定義及構(gòu)成得出結(jié)論.【解】圖中有三個(gè)三角形，分別是△ABC，△ABD，△ADC.△ABC的三邊是AB，BC，AC，三個(gè)內(nèi)角分別是∠BAC，∠B，∠C；△ABD的三邊是AB，BD，AD，三個(gè)內(nèi)角分別是∠BAD，∠B，∠ADB；△ADC的三邊是AD，DC，AC，三個(gè)內(nèi)角分別是∠ADC，∠DAC，∠C.知識(shí)點(diǎn)二三角形的三邊關(guān)系1.三邊關(guān)系：三角形中任意兩邊的和大于第三邊，用字母表示：a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b.三角形中任意兩邊的差小于第三邊，用字母表示：c－b＜a，b－a＜c，c－a＜b.2.作用：（1）利用三角形的三邊關(guān)系，在已知兩邊的三角形中可以確定第三邊的取值范圍；（2）根據(jù)所給的三條線(xiàn)段長(zhǎng)度判斷這三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形.“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”是三邊關(guān)系得出的理論依據(jù).特別提示：三角形兩邊之和大于第三邊指的是三角形中任意兩邊之和都大于第三邊，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三個(gè)不等式同時(shí)成立.【例2】已知在△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么邊AC的長(zhǎng)可能是（）A.11 B.5 C.2 D.1【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得6－4＜AC＜6＋4，即2＜AC＜10，符合條件的只有5.【答案】B知識(shí)點(diǎn)三三角形的分類(lèi)1.按角分類(lèi)三角形直角三角形2.按邊的相等關(guān)系分類(lèi)三角形三邊都不相等的三角形特別提示：等邊三角形是特殊的等腰三角形，即等邊三角形是底邊和腰相等的等腰三角形.【例3－1】等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6cm和9cm，則腰長(zhǎng)為.【解析】?jī)煞N情況，一是腰長(zhǎng)為6cm時(shí)，底邊長(zhǎng)就是9cm，此時(shí)6＋6＞9，此三角形存在，所以腰長(zhǎng)可以是6cm；二是腰長(zhǎng)為9cm，此時(shí)9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰長(zhǎng)也可以是9cm.故腰長(zhǎng)為6cm或9cm.【解】9cm或6cm【例3－2】已知等腰三角形的周長(zhǎng)是24cm.（1）腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求腰長(zhǎng)；（2）若其中一邊長(zhǎng)為6cm，求其他兩邊長(zhǎng).【解析】（1）可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用周長(zhǎng)作為相等關(guān)系，列出方程，通過(guò)求方程的解從而求出答案；（2）因?yàn)轭}目中沒(méi)有說(shuō)明這條邊究竟是腰還是底邊，要分兩種情況考慮，并且計(jì)算結(jié)果還要注意檢查是否符合兩邊之和都大于第三邊.【解】（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm，則腰長(zhǎng)為2xcm.根據(jù)題意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8.故腰長(zhǎng)為2x＝2×4.8＝9.6（cm）.（2）當(dāng)長(zhǎng)為6cm的邊為腰時(shí)，底邊長(zhǎng)為24－6×2＝12（cm）.∵6＋6＝12，兩邊之和等于第三邊，∴6cm長(zhǎng)的邊為腰不能組成三角形，故腰長(zhǎng)不能為6cm.當(dāng)長(zhǎng)為6cm的邊為底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為（24－6）÷2＝9（cm）.∵6cm，9cm，9cm可以組成三角形，∴等腰三角形其他兩邊長(zhǎng)均為9cm.【迷津指點(diǎn)】注意分情況討論6cm為腰長(zhǎng)和6cm為底邊長(zhǎng)兩種情況，并且還要符合三角形三邊關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)四三角形內(nèi)角和定理1.定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.2.理解與延伸：因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定關(guān)系，如：（1）一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角；（2）一個(gè)三角形中最少有一個(gè)角不小于60°；（3）直角三角形兩銳角互余；（4）等邊三角形每個(gè)角都是60°等.3.作用：已知兩角求第三個(gè)角或已知三角關(guān)系求角的度數(shù).三角形內(nèi)角和定理是最重要的定理之一，是求角的度數(shù)問(wèn)題中最基礎(chǔ)的定理，應(yīng)用非常廣泛.【例4】填空：（1）在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，則∠B＝°；（2）若∠A＝80°，∠B＝∠C，則∠C＝°；（3）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，則∠B＝°，∠C＝°.【解析】（1）三角形內(nèi)角和為180°，已知兩角求第三個(gè)角；（2）可設(shè)∠C＝x°，那么x＋x＋80＝180，求出x＝50，所以∠C＝50°；（3）設(shè)每一份為x，得2x＋3x＋5x＝180，求得x＝18，所以∠B＝54°，∠C＝90°.【解】（1）80（2）50（3）5490【迷津指點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理是解決三角形角度問(wèn)題的常用定理，使用時(shí)要根據(jù)題意靈活運(yùn)用.知識(shí)點(diǎn)五三角形的高1.定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫作三角形的高.2.描述方法：高的描述方法有三種，這三種方法都能得出AD是BC邊上的高.如圖所示.（1）AD是△ABC的高；（2）AD⊥BC，垂足為D；（3）點(diǎn)D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.3.性質(zhì)特點(diǎn)（1）因?yàn)楦呤峭ㄟ^(guò)作垂線(xiàn)得出的，因而有高就一定有垂直和直角.用文字描述：因?yàn)锳D是BC邊上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.（2）三角形的三條高（所在直線(xiàn)）交于一點(diǎn).當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形是直角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形直角頂點(diǎn)上；當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形外部.如圖所示.特別提示：三角形的高是線(xiàn)段，不是直線(xiàn)，它的一個(gè)端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊或?qū)吽诘闹本€(xiàn)上.【例5】在△ABC中，作BC邊上的高，以下作法正確的是（） A BC D【解析】本題考查三角形高線(xiàn)的作法，難度中等.作BC邊上的高，需要從點(diǎn)A作BC邊的垂線(xiàn)，垂足在BC邊所在的直線(xiàn)上，垂足與點(diǎn)A之間的線(xiàn)段為BC邊的高，由圖知A選項(xiàng)正確.【答案】A知識(shí)點(diǎn)六三角形的角平分線(xiàn)1.定義：三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫作三角形的角平分線(xiàn).2.描述方法：角平分線(xiàn)的描述有三種，如圖.（1）直接描述：AD是△ABC的角平分線(xiàn)；（2）在△ABC中，∠1＝∠2，且點(diǎn)D在BC上；（3）AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D.3.性質(zhì)特點(diǎn)（1）由三角形角平分線(xiàn)的定義可知，有角平分線(xiàn)就有相等的角.用文字描述：因?yàn)锳D是△ABC的角平分線(xiàn)，所以∠1＝∠2（或∠1＝∠2＝12∠BAC，或∠BAC＝2∠1＝2∠2）（2）一個(gè)三角形有三條角平分線(xiàn)，三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，不論是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，這個(gè)交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.特別提示：三角形的角平分線(xiàn)也是一條線(xiàn)段，角的頂點(diǎn)是一個(gè)端點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在對(duì)邊上.【例6】下列說(shuō)法正確的是（）①平分三角形內(nèi)角的射線(xiàn)叫作三角形的角平分線(xiàn)；②三角形的角平分線(xiàn)都是線(xiàn)段，而高是直線(xiàn)；③每個(gè)三角形都有三條高和三條角平分線(xiàn)；④三角形的角平分線(xiàn)是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線(xiàn).A.③④B.③C.②③D.①④【解析】任何一個(gè)三角形都有三條高和三條角平分線(xiàn)，并且它們都是線(xiàn)段，不是射線(xiàn)或直線(xiàn)，因此只有③正確.【答案】B知識(shí)點(diǎn)七三角形的中線(xiàn)1.定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫作三角形的中線(xiàn).2.描述方法：三角形中線(xiàn)的描述方法有兩種方式，如圖.（1）直接描述：AD是BC邊上的中線(xiàn)；（2）間接描述：D是BC邊上的中點(diǎn).3.性質(zhì)特點(diǎn)（1）由三角形中線(xiàn)的定義可知，有中線(xiàn)就有相等的線(xiàn)段.用文字描述：因?yàn)锳D是BC邊上的中線(xiàn)，所以BD＝CD（或BD＝12BC，DC＝12BC（2）如圖所示，一個(gè)三角形有三條中線(xiàn)，每條邊上各有一條，三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn).不論是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，三角形的三條中線(xiàn)都交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫作三角形的重心.特別提示：三角形的中線(xiàn)也是線(xiàn)段，它是一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)，它的一個(gè)端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊中點(diǎn).【例7】如圖，△ABC三邊中線(xiàn)AD，BE，CF相交于點(diǎn)G，AG＝2GD.若S△ABC＝12，則圖中陰影部分面積是.【解析】如圖，各三角形面積分別記為①②③④⑤⑥.∵△ABC三邊的中線(xiàn)AD，BE，CF相交于點(diǎn)G，AG＝2GD，∴①＝②，③＝⑥，④＝⑤，①＋②＝2③，④＋⑤＝2⑥.∵S△ABC＝12，∴①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＝12，∴①＋②＋①＋②2＋④＋⑤＋④＋⑤2＝∴2②＋2②2＋2⑤＋2⑤2＝12，即3（②＋⑤）＝∴②＋⑤＝4.故圖中陰影部分面積是4.【解】4【例1】如圖，你能從圖中找出哪些三角形？將它們表示出來(lái)，并說(shuō)說(shuō)∠ADC是哪個(gè)三角形的內(nèi)角.【解析】圖中共有A，B，C，D，E五個(gè)頂點(diǎn)，按照含有A，B兩個(gè)頂點(diǎn)的三角形，含有A，D兩個(gè)頂點(diǎn)的三角形，含有A，E兩個(gè)頂點(diǎn)的三角形，這樣的順序進(jìn)行尋找，最后去掉重復(fù)的三角形就是圖中所有的三角形.【解】圖中的三角形有△ABC，△ABE，△ABD，△ADC，△ADE，△AEC.∠ADC是△ADE和△ADC的內(nèi)角.【迷津指點(diǎn)】在一個(gè)復(fù)雜的圖形中，準(zhǔn)確、快速、不重復(fù)、不遺漏地找出所有的三角形，一般是按照字母的順序依次組合的.【例2】下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長(zhǎng)度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（）A.1，2，6 B.2，2，4C.1，2，3 D.2，3，4【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形中任意兩邊的和大于第三邊.計(jì)算兩個(gè)較小的邊的和，看看是否大于第三邊即可.A.1＋2＜6，不能組成三角形；B.2＋2＝4，不能組成三角形；C.1＋2＝3，不能組成三角形；D.2＋3＞4，能組成三角形.【答案】D【迷津指點(diǎn)】此題主要考查三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理.【例3】已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為2x，3x，10，其中x為正整數(shù).若該三角形的周長(zhǎng)不超過(guò)30，求x的取值范圍，并寫(xiě)出這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).【解析】根據(jù)周長(zhǎng)不超過(guò)30，先確定x的取值范圍，再根據(jù)x為正整數(shù)，確定x的取值，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).【解】根據(jù)題意，得2x＋3x＋10≤30，解得x≤4.因?yàn)閤為正整數(shù)，所以x可取1，2，3，4.當(dāng)x＝1時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為2，3，10，構(gòu)不成三角形；當(dāng)x＝2時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為4，6，10，構(gòu)不成三角形；當(dāng)x＝3時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為6，9，10；當(dāng)x＝4時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為8，12，10.【迷津指點(diǎn)】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系和解一元一次不等式，注意三角形的任意兩邊之和都大于第三邊.【例4】如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，∠A與∠C的和等于∠B與∠D的和嗎？說(shuō)明理由.【解析】由三角形的內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得∠A＋∠C＝∠B＋∠D.【解】∠A＋∠C＝∠B＋∠D.理由如下：在△AOC中，∠A＋∠C＋∠AOC＝180°，∴∠A＋∠C＝180°－∠AOC.在△BOD中，∠B＋∠D＋∠BOD＝180°，∴∠B＋∠D＝180°－∠BOD.又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D.【迷津指點(diǎn)】在運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理時(shí)，要特別注意有條理地思考與表達(dá).本題先在△AOC中把∠A＋∠C表示出來(lái)，然后在△BOD中把∠B＋∠D表示出來(lái)，再通過(guò)對(duì)頂角相等把兩者聯(lián)系起來(lái).在這里對(duì)頂角起“橋梁”的作用，這也是推理中常用的方法.【例5】如圖，在△ABC中，AD為△ABC中BC邊上的中線(xiàn)，E為AD的中點(diǎn).若△ABC的面積為4，則△AEC的面積是.【解析】因?yàn)椤鰽BD和△ADC等底同高，所以它們的面積相等；同理可知△AEC和△ECD面積相等.又已知△ABC的面積，由此我們可求出△AEC的面積.如圖所示，