2021年福建省福州市中考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)模擬試卷（二）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項最符合題目要求.請在答題卡的指定位置填涂所選答案的字母）1．（4分）下列幾何體中，其主視圖、左視圖、俯視圖完全相同的是（）A． B． C． D．2．（4分）如圖，將等腰直角三角板放在兩條平行線上，若∠1＝25°，則∠2等于（）A．20° B．22.5° C．25° D．45°3．（4分）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．正六邊形 D．圓4．（4分）下列運算正確的是（）A．x2+x2＝x4 B．x2?x3＝x6 C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x65．（4分）已知A，B，C三點在數(shù)軸上從左向右排列，且AC＝3AB＝6，原點O為AC中點，則點B所表示的數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．16．（4分）某班同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的統(tǒng)計情況如表所示：人數(shù)/人419148時間/小時78910那么該班同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．107．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D為⊙O上的點．若∠CAB＝20°，則∠D的度數(shù)為（）A．70° B．100° C．110° D．140°8．（4分）若n邊形的每個內(nèi)角都與其外角相等，則n的值為（）A．3 B．4 C．6 D．89．（4分）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐．問人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)車x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D．3（x﹣2）＝2（x+9）10．（4分）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是同一函數(shù)圖象上的任意兩點，且，則該函數(shù)可以是（）A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝ D．y＝﹣x2+2x二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，請在答題卡的指定位置填寫答案）11．（4分）計算：﹣2+50＝．12．（4分）大小、形狀完全相同的5張卡片，背面分別寫著“我”“的”“中”“國”“夢”這5個字，從中隨機抽取一張，則這張卡片背面恰好寫著“中”字的概率是．13．（4分）祖沖之是我國古代著名數(shù)學(xué)家，小維同學(xué)在某搜索軟件中輸入“祖沖之”，搜索到相關(guān)結(jié)果約4020000個，將該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示，為．14．（4分）如圖，點A，B，C在⊙O上，四邊形ABCO是平行四邊形，若OA＝2，則四邊形ABCO的面積為．15．（4分）在△ABC中，∠B＝60°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，若AE＝BC，則∠A＝°．16．（4分）正方形ABCD的頂點A，C在直線y＝kx（k＜﹣1）上，頂點B，D在雙曲線y＝上，若正方形ABCD的面積為32，則k的值為．三、解答題（本大題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請在答題卡的指定位置填寫箐案）17．（8分）解不等式組：18．（8分）如圖，F(xiàn)，C是AD上兩點，且AF＝CD；點E，F(xiàn)，G在同一直線上，且F，G分別是AC，AB中點，BC＝EF．求證：△ABC≌△DEF．19．（8分）先化簡，再求值：，其中．20．（8分）如圖，已知矩形ABCD．（1）在線段AD上作點E，使得∠BEC＝90°（要求：只需作出滿足條件的一個點即可，尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求證：△ABE∽△DEC．21．（8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，點E在AC的延長線上，BC的延長線交DE于點F，∠DCF＝45°，EC＝EF．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝2，F(xiàn)E＝2，求的長．22．（10分）高鐵和航空業(yè)的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更顯著帶動了我國經(jīng)濟的發(fā)展．據(jù)統(tǒng)計，在2019年內(nèi)從A市到B市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為50萬人次．為了解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機抽取100人次作為樣本，得到如表（單位：人次）數(shù)據(jù)：滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分（滿意）1212022015分（一般）2362490分（不滿意）106344（1）在樣本中任取1個，求這個人恰好是青年人的概率；（2）如果甲要從A市前往B市，以滿意度的平均值作為決策依據(jù)，你會建議甲乘坐高鐵還是飛機？23．（10分）某校舉辦“詩詞大賽”，計劃購買甲、乙兩種獎品共30件．其中甲種獎品每件30元，乙種獎品每件20元．（1）如果購買甲、乙兩種獎品共花費800元，那么這兩種獎品分別購買了多少件？（2）如果購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍，如何購買甲、乙兩種獎品能使得總花費最少？24．（12分）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點E為邊AC上一點，以AE為斜邊，在△ABC外，作△ADE，使得∠ADE＝90°，且DE＝DA．現(xiàn)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BE．（1）如圖2，當(dāng)α＝15°且BE∥AD時，求BE的長；（2）連接CE，設(shè)CE的中點為點F，AE的中點為點H，連接DF，直線DF與線段BE交于點G，連接GH．①求證：DF⊥BE；②探索線段GH，GD，GE之間的數(shù)量關(guān)系．25．（14分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知點A（﹣1，0）．（1）若c＝a，求a，b滿足的關(guān)系式；（2）直線y＝2x+m與拋物線交于C，D兩點，拋物線的對稱軸為直線x＝1，且1≤tan∠OBC≤2．①求拋物線的解析式（各項系數(shù)用含a的式子表示）；②求線段CD長度的取值范圍．

2021年福建省福州市中考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)模擬試卷（二）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項最符合題目要求.請在答題卡的指定位置填涂所選答案的字母）1．（4分）下列幾何體中，其主視圖、左視圖、俯視圖完全相同的是（）A． B． C． D．【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．【解答】解：A．圓柱的主視圖和左視圖都是矩形，但俯視圖是一個圓形，不符合題意；B．圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓（帶圓心），不符合題意；C．三棱柱的主視圖和左視圖都是矩形，但俯視圖是一個三角形，不符合題意；D．球的三視圖都是大小相同的圓，符合題意．故選：D．2．（4分）如圖，將等腰直角三角板放在兩條平行線上，若∠1＝25°，則∠2等于（）A．20° B．22.5° C．25° D．45°【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠ABC＝∠2，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠1+∠2＝45°，進(jìn)而可求解∠2的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠2，∵∠1+∠ABC＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∵∠1＝25°，∴∠2＝20°，故選：A．3．（4分）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．正六邊形 D．圓【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不合題意；．故選：A．4．（4分）下列運算正確的是（）A．x2+x2＝x4 B．x2?x3＝x6 C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x6【分析】分別根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則以及積的乘方運算法則逐一判斷即可．【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故本選項不合題意；B、x2?x3＝x5，故本選項不合題意；C、x3÷x2＝x，故本選項符合題意；D、（2x2）3＝8x6，故本選項不合題意；故選：C．5．（4分）已知A，B，C三點在數(shù)軸上從左向右排列，且AC＝3AB＝6，原點O為AC中點，則點B所表示的數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】如圖，由原點O為AC中點，得AO＝CO，那么A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)．設(shè)A點表示的數(shù)為x，則C表示的數(shù)為﹣x，故AC＝﹣x﹣x＝6，求得x＝﹣3，從而解決此題．【解答】解：如圖．∵原點O為AC中點，∴AO＝CO．∴A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)．設(shè)A點表示的數(shù)為x，則C表示的數(shù)為﹣x．∵AC＝﹣x﹣x＝6，∴x＝﹣3．∵AC＝3AB＝6，∴AB＝2．∴B點表示的數(shù)為﹣3+2＝﹣1．故選：C．6．（4分）某班同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的統(tǒng)計情況如表所示：人數(shù)/人419148時間/小時78910那么該班同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可．【解答】解：由表知，數(shù)據(jù)8出現(xiàn)10次，次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，故選：B．7．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D為⊙O上的點．若∠CAB＝20°，則∠D的度數(shù)為（）A．70° B．100° C．110° D．140°【分析】求出∠B＝70°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC即可．【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝20°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝110°，故選：C．8．（4分）若n邊形的每個內(nèi)角都與其外角相等，則n的值為（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由題意得這個n邊形的每個外角等于90°，根據(jù)任意多邊形的外角和等于360°，從而解決此題．【解答】解：由題意得：這個n邊形的每個外角等于90°．∴這個n邊形的邊數(shù)為360°÷90°＝4．∴n＝4．故選：B．9．（4分）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐．問人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)車x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D．3（x﹣2）＝2（x+9）【分析】設(shè)車x輛，根據(jù)乘車人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)車x輛，根據(jù)題意得：3（x﹣2）＝2x+9．故選：B．10．（4分）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是同一函數(shù)圖象上的任意兩點，且，則該函數(shù)可以是（）A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝ D．y＝﹣x2+2x【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和函數(shù)的性質(zhì)，判斷的符號，從而得到結(jié)論．【解答】解：A．若P（x1，y1），Q（x2，y2）是函數(shù)y＝x+2圖象上的任意兩點，則y1＝x1+2，y2＝x2+2，∴＝＝﹣1＜0，故A不合題意；B．若P（x1，y1），Q（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣x+2圖象上的任意兩點，則y1＝﹣x1+2，y2＝﹣x2+2，∴＝＝1＞0，故B符合題意；C．若P（x1，y1），Q（x2，y2）是函數(shù)y＝圖象上的任意兩點，則y1＝，y2＝，∴＝（）×＝，當(dāng)P（x1，y1），Q（x2，y2）不在同一象限，則x1x2＜0，＜0，故C不合題意；D．若P（x1，y1），Q（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣x2+2x圖象上的任意兩點，當(dāng)P（x1，y1），Q（x2，y2）關(guān)于對稱軸直線x＝1對稱時，則y2﹣y1＝0，＝0，故D不合題意；故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，請在答題卡的指定位置填寫答案）11．（4分）計算：﹣2+50＝﹣1．【分析】先化簡零指數(shù)冪，然后再計算．【解答】解：原式＝﹣2+1＝﹣1，故答案為：﹣1．12．（4分）大小、形狀完全相同的5張卡片，背面分別寫著“我”“的”“中”“國”“夢”這5個字，從中隨機抽取一張，則這張卡片背面恰好寫著“中”字的概率是．【分析】由在我”“的”“中”“國”“夢”這5個字的卡片中只有1張寫有“中”字，利用概率公式計算可得．【解答】解：∵在我”“的”“中”“國”“夢”這5個字的卡片中只有1張寫有“中”字，∴這張卡片上面恰好寫著“中”字的概率是故答案為：．13．（4分）祖沖之是我國古代著名數(shù)學(xué)家，小維同學(xué)在某搜索軟件中輸入“祖沖之”，搜索到相關(guān)結(jié)果約4020000個，將該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示，為4.02×106．【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【解答】解：4020000＝4.02×106．故答案為4.02×106．14．（4分）如圖，點A，B，C在⊙O上，四邊形ABCO是平行四邊形，若OA＝2，則四邊形ABCO的面積為2．【分析】連接OB．證明△AOB，△OBC都是等邊三角形，可得結(jié)論．【解答】解：連接OB．∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OC＝AB，OA＝BC．∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴△AOB，△OBC都是等邊三角形，∴S平行四邊形ABCO＝2××22＝2．故答案為：2．15．（4分）在△ABC中，∠B＝60°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，若AE＝BC，則∠A＝40°．【分析】如圖，連接BE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，求得∠A＝∠ABE，由三角形外角的性質(zhì)得到∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．【解答】解：如圖，連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠A＝∠ABE，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠A，∵AE＝BC，∴BE＝BC，∴∠C＝∠BEC＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+60°＝180°，∴∠A＝40°，故答案為：40．16．（4分）正方形ABCD的頂點A，C在直線y＝kx（k＜﹣1）上，頂點B，D在雙曲線y＝上，若正方形ABCD的面積為32，則k的值為﹣2﹣．【分析】作DM⊥x軸于M，CN⊥x軸于N，設(shè)D（m，），根據(jù)正方形的性質(zhì)則C（，﹣m），根據(jù)勾股定理求得OD，由正方形ABCD的面積為32，得到S△COD＝OC?OD＝（m2+）＝8，求得m2的值，把C（，﹣m）代入直線y＝kx得k＝﹣，即可求得k的值．【解答】解：作DM⊥x軸于M，CN⊥x軸于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，且OC＝OD，∴∠DOM+∠CON＝90°，∵∠DOM+∠ODM＝90°，∴∠CON＝∠ODM，在△DOM和△OCN中，，∴△DOM≌△OCN（AAS），∴ON＝DM，CN＝OM，設(shè)D（m，），則C（，﹣m），∵C在直線y＝kx（k＜﹣1）上，∴﹣m＝k，∴k＝﹣，∵OD＝OC＝，∴S△COD＝OC?OD＝（m2+），∵正方形ABCD的面積為32，∴S△COD＝×32＝8，∴（m2+）＝8，解得m2＝8±4，∴k＝﹣（2±），∵k＜﹣1，∴k＝﹣2﹣，故答案為：﹣2﹣．三、解答題（本大題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請在答題卡的指定位置填寫箐案）17．（8分）解不等式組：【分析】首先解出兩個不等式的解集，再根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集．【解答】解：由①得：x＜2，由②得：x≥0，不等式組的解集為：0≤x＜2．18．（8分）如圖，F(xiàn)，C是AD上兩點，且AF＝CD；點E，F(xiàn)，G在同一直線上，且F，G分別是AC，AB中點，BC＝EF．求證：△ABC≌△DEF．【分析】根據(jù)SAS即可證明△ABC≌△DEF．【解答】解：∵AG＝GB，AF＝FC，∴EG∥BC，∴∠ACB＝∠DFE，∵AF＝CD，∴AC＝DF，∵BC＝EF，∴△ACB≌△DFE（SAS）．19．（8分）先化簡，再求值：，其中．【分析】先算括號內(nèi)的減法，把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：原式＝?＝?＝，當(dāng)x＝﹣1時，原式＝＝＝．20．（8分）如圖，已知矩形ABCD．（1）在線段AD上作點E，使得∠BEC＝90°（要求：只需作出滿足條件的一個點即可，尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求證：△ABE∽△DEC．【分析】（1）以BC為直徑作圓，交AD于點E，即可求解；（2）由余角的性質(zhì)可證∠ABE＝∠DEC，可得結(jié)論．【解答】（1）解：以BC為直徑作圓，交AD于點E，則點E為所求點．（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A+∠D＝90°，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC．21．（8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，點E在AC的延長線上，BC的延長線交DE于點F，∠DCF＝45°，EC＝EF．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝2，F(xiàn)E＝2，求的長．【分析】（1）連接OB，OD，首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知∠DAB＝∠DCF＝45°，得∠DOB＝2∠DAB＝90°，再證明EF∥OB，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)OD＝r，則OE＝OC+CE＝OC+FE＝r+2，在Rt△ODE中，由勾股定理得出r的方程，從而∠DOE＝60°，代入弧長公式即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OB，OD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCF+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCF＝45°，∴∠DOB＝2∠DAB＝90°，∵EC＝EF，OB＝OC，∴∠ECF＝∠EFC，∠OBC＝∠OCB，∵∠ECF＝∠OCB，∴∠EFC＝∠OBC，∴EF∥OB，∴∠EDO＝180°﹣∠BOD＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：設(shè)OD＝r，則OE＝OC+CE＝OC+FE＝r+2，在Rt△ODE中，由勾股定理得：r2+（2）2＝（r+2）2，解得：r＝2，∴OD＝2，OE＝4，∵cos∠DOE＝，∴∠DOE＝60°，∴的長為＝．22．（10分）高鐵和航空業(yè)的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更顯著帶動了我國經(jīng)濟的發(fā)展．據(jù)統(tǒng)計，在2019年內(nèi)從A市到B市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為50萬人次．為了解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機抽取100人次作為樣本，得到如表（單位：人次）數(shù)據(jù)：滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分（滿意）1212022015分（一般）2362490分（不滿意）106344（1）在樣本中任取1個，求這個人恰好是青年人的概率；（2）如果甲要從A市前往B市，以滿意度的平均值作為決策依據(jù)，你會建議甲乘坐高鐵還是飛機？【分析】（1）根據(jù)表中信息求得樣本中出行的青年人人次為20+1+4+9+4+4＝42，然后根據(jù)概率公式計算即可；（2）分別求得乘坐高鐵的乘客的滿意度平均值；乘坐飛機的乘客的滿意度平均值；進(jìn)行比較即可得到答案．【解答】解：（1）由表可得，樣本中出行的青年人人次為：20+1+4+9+4+4＝42，所以在樣本中任取1個，求這個人恰好是青年人的概率為＝0.42；（2）乘坐高鐵的乘客的滿意度平均值為＝；乘坐飛機的乘客的滿意度平均值為＝；∵，∴建議甲乘坐高鐵從A市到B市．23．（10分）某校舉辦“詩詞大賽”，計劃購買甲、乙兩種獎品共30件．其中甲種獎品每件30元，乙種獎品每件20元．（1）如果購買甲、乙兩種獎品共花費800元，那么這兩種獎品分別購買了多少件？（2）如果購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍，如何購買甲、乙兩種獎品能使得總花費最少？【分析】（1）根據(jù)題意，可以先設(shè)購買甲種獎品x件，購買乙種獎品y件，然后根據(jù)計劃購買甲、乙兩種獎品共30件，購買甲、乙兩種獎品共花費800元，即可列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以得到費用和購買甲種獎品數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍，可以得到購買甲種獎品數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到如何購買甲、乙兩種獎品能使得總花費最少．【解答】解：（1）設(shè)購買甲種獎品x件，購買乙種獎品y件，由題意可得，，解得，答：購買甲種獎品20件，購買乙種獎品10件；（2）設(shè)購買甲種獎品a件，則購買乙種獎品（30﹣a）件，所需費用為w元，由題意可得，w＝30a+20（30﹣a）＝10a+600，∵k＝10＞0，∴w隨a的增大而增大，∵購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍，∴30﹣a≤2a，解得a≥10，∴當(dāng)a＝10時，w取得最小值，此時w＝700，30﹣a＝20，答：購買甲種獎品10件、乙種獎品20件時能使得總花費最少．24．（12分）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點E為邊AC上一點，以AE為斜邊，在△ABC外，作△ADE，使得∠ADE＝90°，且DE＝DA．現(xiàn)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BE．（1）如圖2，當(dāng)α＝15°且BE∥AD時，求BE的長；（2）連接CE，設(shè)CE的中點為點F，AE的中點為點H，連接DF，直線DF與線段BE交于點G，連接GH．①求證：DF⊥BE；②探索線段GH，GD，GE之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過點A作AM⊥BE于M，由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求∠ABE＝30°，∠AEM＝45°，可求BM，ME的長，即可求解；（2）①由“SAS”可證△ABE≌△ACN，可得∠ABE＝∠ACN，由余角的性質(zhì)可證BE⊥NC，由三角形中位線定理可得DF∥NC，可得結(jié)論；②由等腰直角三角形的性質(zhì)可得DH＝HE，DH⊥AE，∠DEA＝45°，由“SAS”可證△DPH≌△EHG，可得DP＝GE，可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖2，過點A作AM⊥BE于M，∵∠ADE＝90°，DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA＝45°，∵BE∥AD，∴∠AEM＝∠DAE＝45°，∵AM⊥BE，∴∠EAM＝∠AEM＝45°，∴AM＝EM，∵α＝15°，∴∠DAB＝90°+15°+45°＝150°，∵AD∥BE，∴∠ABE+∠DAB＝180°，∴∠ABE＝30°，∴AM＝AB＝2＝ME，BM＝AM＝2，∴BE＝BM+ME＝2+2；（2）①證明：如圖3，延長ED至N，使DN＝DE，連接AN，連接NC交BE于點O，∵∠ADE＝90°，DN＝DE，∴AE＝AN，∴∠AEN＝∠ANE＝45°，∴∠NAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAN，又∵AN＝AE，AB＝AC，∴△ABE≌△ACN（SAS），∴∠ABE＝∠ACN，∵∠ABE+∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠ACB+∠ACN＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BE⊥NC，∵DN＝DE，點F是EC中點，∴DF∥NC，∴DF⊥BE；②解：GD﹣GE＝GH，理由如下：如圖4，連接DH，過點H作HP⊥HG，交DG于P，∵∠ADE＝90°，DN＝DE，點H是AE的中點，∴DH＝HE，DH⊥AE，∠DEA＝45°，∴∠DHE＝90°，∵