20222023學(xué)年小學(xué)六年級思維拓展舉一反三精編講義專題22最佳對策問題知識精講知識精講熟悉“田忌與齊王賽馬”的故事，這個故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚長避短”的策略，取得了勝利。生活中的許多事物都蘊含著數(shù)學(xué)道理，人們在競賽和爭斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利，這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會取得最終的勝利。解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。典例分析典例分析【典例分析01】兩個人做一個移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴，直到移盡為止。挨到誰移走最后一根火柴就算誰輸。如果開始時有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根時才能在游戲中保證獲勝。先移火柴的人要取勝，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。設(shè)先移的人為甲，后移的人為乙。甲要取勝只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次類推，甲取的與乙取的之和為8根火柴）。由此繼續(xù)推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保證獲勝。所以，先移火柴的人要保證獲勝，第一次應(yīng)移走7根火柴?！镜淅治?2】有1987粒棋子。甲、乙兩人分別輪流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者?，F(xiàn)在兩人通過抽簽決定誰先取。你認(rèn)為先取的能勝，還是后取的能勝？怎樣取法才能取勝？從結(jié)局開始，倒推上去。不妨設(shè)甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，則甲不能一次拿完，乙勝。因此甲想取勝，只要在某一時刻留下5粒棋子就行了。不妨設(shè)甲先取，則甲能取勝。甲第一次取2粒，以后無論乙拿幾粒，甲只要使自己的粒數(shù)與乙拿的粒數(shù)之和正好等于5，這樣，每一輪后，剩下的棋子粒數(shù)總是5的倍數(shù)，最后總能留下5粒棋子，因此，甲先取必勝?！镜淅治?3】在黑板上寫有999個數(shù)：2，3，4，……，1000。甲、乙兩人輪流擦去黑板上的一個數(shù)（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則甲勝，否則乙勝。誰必勝？必勝的策略是什么？甲先擦去1000，剩下的998個數(shù)，分為499個數(shù)對：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）。可見每一對數(shù)中的兩個數(shù)互質(zhì)。如果乙擦去某一對中的一個，甲則接著擦去這對中的另一個，這樣乙、甲輪流去擦，總是一對數(shù)、一對數(shù)地擦，最后剩下的一對數(shù)必互質(zhì)。所以，甲必勝?！镜淅治?4】甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數(shù)的約數(shù)，最后不能寫的人為失敗者。如果甲第一個寫，誰一定獲勝？寫出一種獲勝的方法。這里關(guān)鍵是第一次寫什么數(shù)，總共只有10個數(shù)，可通過歸納試驗。甲不能寫1，否則乙寫6，乙可獲勝；甲不能寫3，5，7，否則乙寫8，乙可獲勝；甲不能寫4，9，10，否則乙寫6，乙可獲勝。因此，甲先寫6或8，才有可能獲勝。甲可以獲勝。如甲寫6，去掉6的約數(shù)1，2，3，6，乙只能寫4，5，7，8，9，10這六個數(shù)中的一個，將這六個數(shù)分成（4，5），（7，9），（8，10）三組，當(dāng)乙寫某組中的一個數(shù)，甲就寫另一個數(shù)，甲就能獲勝?！镜淅治?5】有一個3×3的棋盤以及9張大小為一個方格的卡片如圖所示，9張卡片分別寫有：1，3，4，5，6，7，8，9，10這幾個數(shù)。小兵和小強兩人做游戲，輪流取一張卡片放在9格中的一格，小兵計算上、下兩行6個數(shù)的和；小強計算左、右兩列6個數(shù)的和，和數(shù)大的一方取勝。小兵一定能取勝嗎？由于4個角的數(shù)是兩人共有的，因而和數(shù)的大小只與放在A，B，C，D這4個格中的數(shù)有關(guān)。小兵要獲勝，必須采取如下策略，盡可能把大數(shù)填入A或C格，盡可能將小數(shù)填入B格或D格。由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵應(yīng)先將1放在B格，如小強把10放進D格，小兵再把9放進A格，這時不論小強怎么做，C格中一定是大于或等于3的數(shù)，因而小兵獲勝。如小強把3放進A格，小兵只需將9放到C格，小兵也一定獲勝。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）在搶“32”的游戲中，規(guī)則是第一個人先說1或1、2，第二個人要接著往下說一個或兩個數(shù)，然后又輪到第一個人，再接著往下說一個或兩個數(shù)，這樣兩人反復(fù)輪流，每人每次說一個或兩個數(shù)，但不可以連續(xù)說三個數(shù)，誰先搶到“32”誰就勝，那么取適當(dāng)?shù)牟呗院笃浜蠊牵ǎ〢．先報數(shù)者勝 B．后報數(shù)者勝 C．兩者都有可能 D．很難預(yù)料2．（2分）一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有4把鑰匙4把鎖，但不知哪把鑰匙開哪把鎖，問最多試（）次能將所有的鎖都找到相對應(yīng)的鑰匙．A．4 B．6 C．163．（2分）兩個人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)則是：每人每次只能放一枚，硬幣不許重疊，誰放完最后一枚硬幣而使對方再無處可放，誰就獲勝．那么先放著在（）處就必勝．A．周長上 B．直徑上 C．半徑上 D．圓心上4．（2分）一種電腦小游戲，玩1局要5分鐘，可以單人玩，也可以雙人玩。明明和爸爸、媽媽一起玩，每人玩兩局，至少需要（）分鐘。A．10 B．15 C．205．（2分）一把鑰匙只能打開一把鎖，現(xiàn)在有6把鑰匙．但不知哪把鑰匙開哪把鎖．最多要（）次才能打開所有的鎖．A．25 B．21 C．5二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）有240人去春游，想準(zhǔn)備一些飲料，商店“優(yōu)惠告示”寫著本店飲料，6只空瓶可換一瓶飲料，240人至少買瓶飲料，就能保證每人都喝一瓶．7．（2分）兩人輪流報數(shù)，每次只能報1或2，把兩人報的所有數(shù)加起來，誰報數(shù)后和是20，誰就獲勝。如果讓你先報數(shù)，為了確保獲勝，你第一次應(yīng)該報；接下來應(yīng)該報前面數(shù)與的差。8．（2分）兩個人做移火柴棍游戲．比賽規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至5根火柴，但不可以不取，直到移完為止，誰最后移走火柴就算誰贏．如果開始有55根火柴，首先移火柴的人在第一次移走根時才能在游戲中保證獲勝．9．（2分）桌上有8根木棒，現(xiàn)小明和小剛玩一個游戲，每個人只能抽取1或2根木棒，最后抽完的人勝利，小明先抽，為了讓自己一定取得勝利，則小明第一次先抽取根。10．（2分）甲、乙二人做報數(shù)游戲，規(guī)定：A，按順序從1開始報數(shù)，每次最少報一個數(shù)，最多報兩個數(shù)；B，后一人接著前一個人的數(shù)往后報；C，誰先報出25誰贏；D，甲先乙后，甲乙都很聰明，結(jié)果是．11．（2分）小軍和小紅做游戲，桌上放著14枚棋子，兩人輪流取走1枚或2枚，誰拿到最后一枚誰就獲勝．如果小軍先取枚有必勝的策略．12．（2分）有26個不同國家的集郵愛好者，想通過互相通信的方法交換各國最新發(fā)行的紀(jì)念郵票，為了使這26人每人都擁有這26個國家的一套最新紀(jì)念郵票，他們至少要通封信。13．（2分）兩人做一種游戲：輪流報數(shù)，報出的數(shù)只能是1，2，3，4，5，6，7，8．把兩人報出的數(shù)連加起來，誰報數(shù)后，加起來的數(shù)是123，誰就獲勝，讓你先報，就一定會贏，那么你第一個數(shù)報．三．應(yīng)用題（共15小題，滿分74分）14．（4分）水果店有蘋果90千克，如果大小分開賣，大蘋果每千克4元，小蘋果每千克的售價是大蘋果的，如果混合著賣每千克元．如果你是店主，你打算怎么賣？15．（5分）小猿和車甫正在玩一個卡片游戲。桌上一共有21張卡片，上面分別寫著1～21，并且按順序排成了一行。從小猿開始，每人輪流拿走3張卡片，要求拿走的3張卡片上的數(shù)必須是連續(xù)的3個數(shù)，誰先無法按照規(guī)則拿走卡片或無卡片可以拿誰輸。請你幫小猿想一個必勝的方法。（卡片不能旋轉(zhuǎn)）16．（5分）前面有一條河，假設(shè)人只能騎牛過河，共有A、B、C、D頭牛，A牛過河要2分鐘，B牛過河要3分鐘，C牛過河要4分鐘，D牛過河要7分鐘，每次只能趕兩頭牛過河，人要把4頭牛都趕到對岸去，最少要幾分鐘？17．（5分）在一堆棋子（22枚）中，兩個人輪流取，一次可以取2枚或3枚棋子，不能不取，或多取，取到最后一枚棋子的為勝利者．第一個取的人應(yīng)采取怎樣的策略，才能保證自己勝利？18．（5分）兩人輪流報數(shù)，每次只能報1或3，把兩人報的數(shù)加起來．（1）誰報數(shù)后和是33，誰就獲勝．想一想：為了確保獲勝，你應(yīng)該先報還是后報？應(yīng)該怎樣報？（2）誰報數(shù)后和是44，誰就獲勝，如果讓你先報，你能保證一定獲勝嗎？為什么？19．（5分）有一個3×3的棋盤方格和9張大小與一個小方格相同的卡片，在每一張卡片上寫著1～9中的一個數(shù)。甲、乙兩人做游戲，輪流選取一張卡片放到9格中的一格，對甲計算上、下兩行6個數(shù)字的和，對乙計算左、右兩列（豎行）6個數(shù)字的和，和數(shù)大者為勝。試說明若甲先選卡片放，則甲有必勝的策略。20．（5分）有12枚棋子，甲、乙兩人輪流取，規(guī)定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者為勝者．如果甲先取，那么誰有必勝策略？如果取走最后一枚棋子者為敗者，并且仍然是甲先取，那么誰有必勝策略？21．（5分）羊羊運動會上，綿羊家族和山羊家族各派3名乒乓球選手進行比賽，共打三場，3場2勝即為贏．如果你是綿羊家族的領(lǐng)隊，你將怎么安排本隊的3名選手與對方對陣，才有可能贏得比賽？22．（5分）有四個人夜間過一座獨木橋，他們只有一只手電筒．而這座獨木橋一次最多允許兩人同時通過，而過橋的時候必須持有手電筒，所以就得有人把手電筒帶來帶去．兩人同行時以較慢者的速度為準(zhǔn)，四人過橋時間分別是1分、2分、5分和10分．他們四人過完橋最少需要分鐘．23．（5分）有分別裝7根和10根的兩盒火柴，甲、乙兩人輪流在某一盒中任取，但不能同時在兩盒中都取，也不能不取，規(guī)定取到最后火柴者為勝．問甲先取時是否有必勝的策略？（請你寫出取勝的策略）24．（5分）甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他們輪流向如圖的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，誰的棋子中有3枚連成一條線（橫、豎、斜均可），誰就獲勝．如果甲首先占據(jù)了中間位置，乙要想不敗，第1枚棋子應(yīng)該放在哪里？25．（5分）一場數(shù)學(xué)游戲在小聰和小明間展開：黑板上寫著自然數(shù)2，3，4，…，2007，2008，一名裁判現(xiàn)在隨意擦去其中的一個數(shù)，然后由小聰和小明輪流擦去其中的一個數(shù)（即小明先擦去一個數(shù)，小聰再擦去一個數(shù)，如此下去），若到最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則判小聰勝；否則判小明勝．問：小聰和小明誰有必勝策略？說明理由．（5分）120名小六學(xué)生選舉學(xué)生代表，每人可投一票，候選人只有甲、乙兩人．在已點選的100票中，甲得45票，