八年級數(shù)學(xué)乘法公式專項(xiàng)同步練習(xí)題集一、知識點(diǎn)梳理乘法公式是八年級代數(shù)的核心工具，主要包括平方差公式和完全平方公式，其本質(zhì)是多項(xiàng)式乘法的簡化形式，需重點(diǎn)掌握公式的結(jié)構(gòu)特征與變形應(yīng)用。（一）平方差公式1.公式形式：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)2.結(jié)構(gòu)特征：左邊：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中一項(xiàng)完全相同（\(a\)），另一項(xiàng)互為相反數(shù)（\(b\)與\(-b\)）；右邊：相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方（差的形式）。3.注意事項(xiàng)：公式中的\(a\)、\(b\)可以是數(shù)字、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式（如\((x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2\)）；符號處理：互為相反數(shù)的項(xiàng)要找準(zhǔn)（如\((-3m+n)(-3m-n)=(-3m)^2-n^2=9m^2-n^2\)）。（二）完全平方公式1.公式形式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)（和的平方）；\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)（差的平方）。2.結(jié)構(gòu)特征：左邊：二項(xiàng)式的平方（兩數(shù)和或差）；右邊：三項(xiàng)式，分別是兩數(shù)的平方和，加上（或減去）兩數(shù)乘積的2倍（“首平方，尾平方，2倍乘積在中央”）。3.注意事項(xiàng)：中間項(xiàng)的符號與左邊括號內(nèi)的符號一致（如\((a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2\)，中間項(xiàng)為負(fù)）；避免常見錯誤：\((a+b)^2\neqa^2+b^2\)（漏掉2倍乘積項(xiàng)）；\((a-b)^2\neqa^2-b^2\)（同理）。（三）常用變形公式1.\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)；2.\(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\)；3.\((a-b)^2=(a+b)^2-4ab\)；4.\(ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}\)（或由上述公式推導(dǎo)）。二、題型專項(xiàng)練習(xí)題型一：平方差公式的直接應(yīng)用例題：計(jì)算\((3x+2y)(3x-2y)\)解析：直接套用平方差公式，相同項(xiàng)為\(3x\)，相反項(xiàng)為\(2y\)，故結(jié)果為\((3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2\)。同步練習(xí)（基礎(chǔ)級）：1.\((5a-3b)(5a+3b)\)；2.\((-2m+n)(-2m-n)\)；3.\(\left(\frac{1}{2}x+3\right)\left(\frac{1}{2}x-3\right)\)。題型二：完全平方公式的直接應(yīng)用例題：計(jì)算\((2a-3b)^2\)解析：套用差的完全平方公式，首項(xiàng)\(2a\)，尾項(xiàng)\(3b\)，中間項(xiàng)為\(-2\cdot2a\cdot3b\)，故結(jié)果為\((2a)^2-2\cdot2a\cdot3b+(3b)^2=4a^2-12ab+9b^2\)。同步練習(xí)（基礎(chǔ)級）：1.\((\frac{1}{3}m-2n)^2\)；2.\((-a+2b)^2\)；3.\((3x+\frac{1}{2}y)^2\)。題型三：乘法公式的變形應(yīng)用例題：已知\(a+b=5\)，\(ab=3\)，求\(a^2+b^2\)和\((a-b)^2\)的值。解析：\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2\times3=25-6=19\)；\((a-b)^2=(a+b)^2-4ab=5^2-4\times3=25-12=13\)。同步練習(xí)（提高級）：1.已知\(x-y=3\)，\(x^2+y^2=17\)，求\(xy\)的值；2.已知\((a+b)^2=20\)，\((a-b)^2=8\)，求\(ab\)的值；3.已知\(a^2+b^2=10\)，\(ab=2\)，求\((a+b)^2\)和\((a-b)^2\)的值。題型四：乘法公式的綜合應(yīng)用例題：計(jì)算\((2x+3y)(2x-3y)-(x-2y)^2\)解析：先算平方差，再算完全平方，最后合并同類項(xiàng)：平方差部分：\((2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2\)；完全平方部分：\((x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2\)；合并：\(4x^2-9y^2-(x^2-4xy+4y^2)=4x^2-9y^2-x^2+4xy-4y^2=3x^2+4xy-13y^2\)。同步練習(xí)（綜合級）：1.\((3a-2b)(3a+2b)-(2a-b)^2\)；2.\((x+y+z)^2\)（提示：將\(x+y\)視為整體）；3.\((a-b+c)(a-b-c)\)（提示：將\(a-b\)視為整體，用平方差公式）。題型五：乘法公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例題：一個(gè)正方形的邊長增加3cm后，面積增加了39cm2，求原正方形的邊長。解析：設(shè)原邊長為\(x\)cm，新邊長為\((x+3)\)cm，面積差為：\((x+3)^2-x^2=x^2+6x+9-x^2=6x+9\)（cm2）。由題意得\(6x+9=39\)，解得\(x=5\)（cm）。答案：原正方形邊長為5cm。同步練習(xí)（實(shí)際應(yīng)用級）：1.長方形的長為\(a+2b\)，寬為\(a-2b\)，求其面積（用公式表示）；2.正方形邊長減少2cm后，面積減少了36cm2，求原正方形的邊長；3.長方形的長比寬多3cm，面積為28cm2，求該長方形的長和寬（設(shè)寬為\(x\)cm）。三、答案與解析題型一：平方差公式的直接應(yīng)用1.\((5a)^2-(3b)^2=25a^2-9b^2\)；2.\((-2m)^2-n^2=4m^2-n^2\)；3.\(\left(\frac{1}{2}x\right)^2-3^2=\frac{1}{4}x^2-9\)。題型二：完全平方公式的直接應(yīng)用1.\(\left(\frac{1}{3}m\right)^2-2\cdot\frac{1}{3}m\cdot2n+(2n)^2=\frac{1}{9}m^2-\frac{4}{3}mn+4n^2\)；2.\((2b-a)^2=(2b)^2-2\cdot2b\cdota+a^2=4b^2-4ab+a^2\)；3.\((3x)^2+2\cdot3x\cdot\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{2}y\right)^2=9x^2+3xy+\frac{1}{4}y^2\)。題型三：乘法公式的變形應(yīng)用1.\(xy=\frac{x^2+y^2-(x-y)^2}{2}=\frac{17-9}{2}=4\)；2.\(ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\frac{20-8}{4}=3\)；3.\((a+b)^2=a^2+b^2+2ab=10+4=14\)；\((a-b)^2=a^2+b^2-2ab=10-4=6\)。題型四：乘法公式的綜合應(yīng)用1.平方差部分：\(9a^2-4b^2\)；完全平方部分：\(4a^2-4ab+b^2\)；合并得\(9a^2-4b^2-4a^2+4ab-b^2=5a^2+4ab-5b^2\)；2.\((x+y)^2+2(x+y)z+z^2=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\)；3.\((a-b)^2-c^2=a^2-2ab+b^2-c^2\)（將\(a-b\)視為整體，用平方差公式）。題型五：乘法公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用1.面積\(=(a+2b)(a-2b)=a^2-4b^2\)；2.設(shè)原邊長為\(x\)cm，面積差為\(x^2-(x-2)^2=4x-4=36\)，解得\(x=10\)（cm）；3.設(shè)寬為\(x\)cm，長為\(x+3\)cm，面積\(x(x+3)=28\)，解得\(x=4\)（cm），長為7cm（舍去負(fù)解）。四、總結(jié)與提升乘法公式的掌握關(guān)鍵在于識別結(jié)構(gòu)（平方