初三數(shù)學圓專題復(fù)習資料匯編一、圓的基本概念與性質(zhì)（一）圓的定義1.描述性定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，定點稱為圓心（記為$O$），定長稱為半徑（記為$r$或$R$）。2.集合定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合，圓心是定點，半徑是定長。3.幾何表示：以點$O$為圓心的圓記作$\odotO$，半徑為$r$時可表示為$\odotO(r)$。（二）圓的相關(guān)概念弦：連接圓上任意兩點的線段（如$AB$）；直徑是過圓心的弦（最長弦，長度為$2r$）?；。簣A上任意兩點間的部分，分為優(yōu)弧（大于半圓，記為$\overset{\frown}{ACB}$）、劣?。ㄐ∮诎雸A，記為$\overset{\frown}{AB}$）、半圓（等于半圓，如$\overset{\frown}{ADB}$）。圓心角：頂點在圓心的角（如$\angleAOB$，對應(yīng)弧$\overset{\frown}{AB}$）。圓周角：頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角（如$\angleACB$，對應(yīng)弧$\overset{\frown}{AB}$）。等圓：半徑相等的圓；等?。和瑘A或等圓中能重合的弧（長度與度數(shù)均相等）。（三）圓的對稱性1.軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是對稱軸（無數(shù)條）。2.中心對稱性：圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心（旋轉(zhuǎn)任意角度都與自身重合）。二、圓的重要定理及其應(yīng)用（一）垂徑定理及其推論定理內(nèi)容：垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的兩條弧。幾何語言：若直徑$CD\perp$弦$AB$于點$E$，則$AE=BE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧（若弦為直徑，推論不成立）。典型例題：已知$\odotO$半徑為$5$，弦$AB$長為$8$，求圓心$O$到弦$AB$的距離。解：作$OE\perpAB$于$E$，則$AE=\frac{1}{2}AB=4$。在$Rt\triangleAOE$中，$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。（二）圓心角、弧、弦的關(guān)系定理定理內(nèi)容：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。推論：在同圓或等圓中，若兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則其余各組量均相等（“知一得二”）。幾何語言：若$\angleAOB=\angleCOD$，則$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$AB=CD$；反之亦然。（三）圓周角定理及其推論定理內(nèi)容：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。幾何語言：$\angleACB=\frac{1}{2}\angleAOB$（$\overset{\frown}{AB}$為公共?。Ｍ普?：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。推論2：直徑所對的圓周角是直角（$\angleACB=90^\circ$，$AB$為直徑）；$90^\circ$的圓周角所對的弦是直徑。推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則該三角形為直角三角形（逆定理，用于判斷直角三角形）。（四）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)性質(zhì)1：圓內(nèi)接四邊形的對角互補（$\angleA+\angleC=180^\circ$，$\angleB+\angleD=180^\circ$）。性質(zhì)2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角（$\angleDCE=\angleA$，$\angleDCE$為外角）。三、點、直線與圓的位置關(guān)系（一）點與圓的位置關(guān)系設(shè)點$P$到圓心$O$的距離為$d$，圓半徑為$r$：點$P$在圓外：$d>r$；點$P$在圓上：$d=r$；點$P$在圓內(nèi)：$d<r$。（二）直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓心$O$到直線$l$的距離為$d$，圓半徑為$r$：相離：$d>r$（無公共點）；相切：$d=r$（有且僅有一個公共點，稱為切點）；相交：$d<r$（有兩個公共點，稱為交點）。（三）切線的性質(zhì)與判定1.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑（若$l$是$\odotO$的切線，切點為$A$，則$OA\perpl$）。2.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（兩個條件缺一不可：①過半徑外端；②垂直于半徑）。3.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，且這點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（$PA=PB$，$\anglePOA=\anglePOB$，$P$為圓外點）。典型例題（切線判定）：已知$AB$是$\odotO$的直徑，點$C$在$\odotO$上，$CD\perpAB$于$D$，且$CD=CA$。求證：$CD$是$\odotO$的切線。證明：連接$OC$，則$OA=OC$（半徑相等），故$\angleOAC=\angleOCA$。因$CD=CA$，故$\angleCAD=\angleCDA$。又$CD\perpAB$，故$\angleCDA+\angleCAD=90^\circ$，代入得$\angleOCA+\angleCAD=90^\circ$，即$OC\perpCD$。因此，$CD$是$\odotO$的切線（切線判定定理）。四、圓的計算問題（一）弧長與扇形面積弧長公式：$l=\frac{n\pir}{180}$（$n$為圓心角度數(shù)，$r$為半徑）；扇形面積公式：$S_{扇形}=\frac{n\pir^2}{360}=\frac{1}{2}lr$（$l$為弧長）。推導(dǎo)說明：弧長是圓周長的$\frac{n}{360}$（$C=2\pir$），故$l=\frac{n}{360}\cdot2\pir=\frac{n\pir}{180}$；扇形面積是圓面積的$\frac{n}{360}$（$S=\pir^2$），故$S_{扇形}=\frac{n}{360}\cdot\pir^2$。聯(lián)立弧長公式可得$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$（類比三角形面積公式“$\frac{1}{2}\times底\times高$”）。（二）圓錐的側(cè)面積與全面積圓錐的基本概念：底面半徑$r$（底面圓半徑）、母線長$l$（頂點到底面圓周的距離）、高$h$（頂點到底面圓心的距離，$l^2=r^2+h^2$）。側(cè)面積公式：$S_{側(cè)}=\pirl$（圓錐側(cè)面展開圖為扇形，弧長等于底面圓周長$2\pir$，扇形半徑等于母線長$l$，故$S_{側(cè)}=\frac{1}{2}\cdot2\pir\cdotl=\pirl$）；全面積公式：$S_{全}=S_{側(cè)}+S_{底}=\pirl+\pir^2$（$S_{底}=\pir^2$為底面圓面積）。（三）陰影部分面積計算常用方法：1.割補法：將陰影部分分割為規(guī)則圖形（如扇形、三角形），或補成規(guī)則圖形（如矩形、圓）；2.差補法：用整體面積減去非陰影部分面積（如$S_{陰影}=S_{扇形}-S_{\triangle}$，$S_{陰影}=S_{\triangle}-S_{扇形}$）；3.轉(zhuǎn)化法：利用對稱性將陰影部分轉(zhuǎn)化為已知圖形（如對稱的扇形或三角形）。典型例題：如圖，$\odotO$半徑為$2$，$\angleAOB=90^\circ$，求陰影部分面積（陰影為扇形$AOB$減去$\triangleAOB$）。解：$S_{扇形AOB}=\frac{90\pi\cdot2^2}{360}=\pi$，$S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\cdotOA\cdotOB=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$，故$S_{陰影}=\pi-2$。五、圓的綜合應(yīng)用（一）與三角形的綜合外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點（外心），半徑為外心到頂點的距離（$R=\frac{AB}{2\sinC}$，$AB$為邊，$C$為對角）。內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是角平分線的交點（內(nèi)心），半徑為內(nèi)心到邊的距離（$r=\frac{S}{s}$，$S$為三角形面積，$s$為半周長）。典型例題：已知$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，求外接圓半徑。解：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$（勾股定理），外接圓直徑為$AB$（推論2），故半徑$R=\frac{AB}{2}=2.5$。（二）坐標系中的圓圓的標準方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$（圓心為$(a,b)$，半徑為$r$）；位置關(guān)系判斷：用距離公式計算點與圓心、直線與圓心的距離，再與半徑比較（見“點與圓”“直線與圓”的位置關(guān)系）。典型例題：已知圓的圓心為$(2,3)$，且過點$(5,7)$，求圓的標準方程。解：半徑$r=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=5$，故標準方程為$(x-2)^2+(y-3)^2=25$。六、易錯點與解題技巧（一）易錯點提醒1.垂徑定理推論中，“平分弦”的前提是“弦不是直徑”（直徑平分直徑，但不一定垂直）；2.切線判定定理中，“過半徑外端”與“垂直于半徑”兩個條件缺一不可；3.圓錐側(cè)面積公式中的$l$是母線長，而非底面半徑；4.圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角，而非鄰角（如$\angleDCE=\angleA$，而非$\angleB$）。（二）解題技巧1.證明切線：已知點在圓上：連半徑，證垂直（如連接切點與圓心，證明垂直于直線）；未知點在圓上：作垂直，證半徑（如作直線與圓心的垂線，證明距離等于半徑）。2.求弦長：垂徑定理構(gòu)造直角三角形（弦長的一半、半徑、圓心到弦的距離滿足勾股定理：$(\frac{AB}{2})^2+d^2=r^2$）。3.求陰影面積：優(yōu)先考慮“差補法”（整體減部分），如扇形減三角形、三角形減扇形。附錄：常用公式匯總類型公式圓的周長$C=2\pir$圓的面積$S=\pir^2$弧長$l=\frac{n\