小學(xué)分?jǐn)?shù)乘除專項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)梳理與練習(xí)題一、知識(shí)點(diǎn)梳理分?jǐn)?shù)乘除是小學(xué)分?jǐn)?shù)運(yùn)算的核心內(nèi)容，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、百分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)。以下從意義、法則、易錯(cuò)點(diǎn)三個(gè)維度梳理核心知識(shí)點(diǎn)：（一）分?jǐn)?shù)乘法1.意義整數(shù)×分?jǐn)?shù)：表示求“整數(shù)的幾分之幾”或“幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)的和”（如\(3\times\frac{1}{2}\)表示3的\(\frac{1}{2}\)，或3個(gè)\(\frac{1}{2}\)相加）。分?jǐn)?shù)×分?jǐn)?shù)：表示求“一個(gè)分?jǐn)?shù)的幾分之幾”（如\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\)表示\(\frac{1}{2}\)的\(\frac{1}{3}\)）。2.計(jì)算法則基本法則：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母（如\(\frac{a}\times\frac{c}7d711ln=\frac{a\timesc}{b\timesd}\)，\(b,d\neq0\)）。約分技巧：計(jì)算前先約分（分子與分母的公因數(shù)約去），可簡化運(yùn)算（如\(\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}=\frac{3\times1}{2\times5}=\frac{3}{10}\)，而非先算\(3×2=6\)、\(4×5=20\)再約分）。3.倒數(shù)的認(rèn)識(shí)定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)（如\(\frac{2}{3}\)和\(\frac{3}{2}\)互為倒數(shù)，不能說“\(\frac{2}{3}\)是倒數(shù)”）。求法：分?jǐn)?shù)：交換分子分母位置（如\(\frac{5}{6}\)的倒數(shù)是\(\frac{6}{5}\)）；整數(shù)：看作分母為1的分?jǐn)?shù)（如8的倒數(shù)是\(\frac{1}{8}\)）；帶分?jǐn)?shù)：先化為假分?jǐn)?shù)（如\(3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\)，倒數(shù)是\(\frac{2}{7}\)）；小數(shù)：先化為分?jǐn)?shù)（如0.25=\(\frac{1}{4}\)，倒數(shù)是4）。特殊數(shù)：0沒有倒數(shù)（0乘任何數(shù)都得0）；1的倒數(shù)是1（1×1=1）。（二）分?jǐn)?shù)除法1.意義與整數(shù)除法意義一致：已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)（如\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}\)表示已知積為\(\frac{2}{3}\)，一個(gè)因數(shù)為\(\frac{4}{5}\)，求另一個(gè)因數(shù)）。2.計(jì)算法則除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)（如\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{5}{6}\)）。易錯(cuò)點(diǎn)：0不能作除數(shù)（如\(\frac{1}{2}\div0\)無意義）；不要忘記“乘倒數(shù)”（如\(\frac{1}{4}\div2=\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)，而非\(\frac{1}{4}\times2\)）。（三）分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算1.運(yùn)算順序與整數(shù)混合運(yùn)算一致：先乘除，后加減；有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的（如\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\)=\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)=1）。2.簡便運(yùn)算整數(shù)乘法的運(yùn)算律（分配律、結(jié)合律、交換律）對(duì)分?jǐn)?shù)同樣適用：分配律：\(a\times(b+c)=a\timesb+a\timesc\)（如\(\frac{5}{6}\times\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\times\frac{1}{4}=\frac{5}{6}\times(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})=\frac{5}{6}\)）；結(jié)合律：\((a\timesb)\timesc=a\times(b\timesc)\)（如\(\frac{3}{7}\times\frac{5}{9}\times21=\frac{3}{7}\times21\times\frac{5}{9}=9\times\frac{5}{9}=5\)）；交換律：\(a\timesb=b\timesa\)（如\(\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{5}{4}\times\frac{2}{3}\)）。（四）實(shí)際應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘除的應(yīng)用題核心是判斷單位“1”：單位“1”的標(biāo)志：“占”“是”“比”“相當(dāng)于”后面的量（如“男生占全班的\(\frac{3}{5}\)”，單位“1”是“全班人數(shù)”）。解題規(guī)律：1.求單位“1”的幾分之幾（已知單位“1”）：用乘法（如全班40人，男生占\(\frac{3}{5}\)，男生人數(shù)=\(40\times\frac{3}{5}=24\)）；2.已知單位“1”的幾分之幾，求單位“1”：用除法或方程（如男生24人，占全班的\(\frac{3}{5}\)，全班人數(shù)=\(24\div\frac{3}{5}=40\)，或設(shè)全班為\(x\)，\(\frac{3}{5}x=24\)）；3.兩步應(yīng)用題：需明確每一步的單位“1”（如“甲班30人，是乙班的\(\frac{3}{4}\)，乙班是丙班的\(\frac{2}{3}\)，丙班多少人？”，先求乙班：\(30\div\frac{3}{4}=40\)，再求丙班：\(40\div\frac{2}{3}=60\)）。二、練習(xí)題以下練習(xí)題分基礎(chǔ)、提高、拓展三個(gè)層級(jí)，覆蓋不同難度，針對(duì)性鞏固知識(shí)點(diǎn)。（一）基礎(chǔ)題（鞏固計(jì)算與簡單應(yīng)用）1.直接計(jì)算：\(\frac{3}{5}\times\frac{2}{3}\)\(\frac{1}{4}\div\frac{2}{5}\)\(5\times\frac{3}{10}\)\(\frac{2}{7}\div4\)2.求倒數(shù)：\(\frac{5}{6}\)80.25\(3\frac{1}{2}\)3.應(yīng)用題：某班有40人，男生占\(\frac{3}{5}\)，男生有多少人？小明有12個(gè)蘋果，吃了\(\frac{1}{3}\)，還剩多少個(gè)？（二）提高題（混合運(yùn)算與稍復(fù)雜應(yīng)用）1.混合運(yùn)算：\((\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\times6\)\(\frac{3}{4}\div(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})\)\(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\div\frac{5}{6}\)2.簡便計(jì)算：\(\frac{5}{6}\times\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\times\frac{1}{4}\)\((\frac{3}{5}-\frac{1}{2})\times10\)\(\frac{3}{7}\times\frac{5}{9}\times21\)3.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批零件，第一天生產(chǎn)了總數(shù)的\(\frac{1}{5}\)，第二天生產(chǎn)了總數(shù)的\(\frac{1}{4}\)，兩天共生產(chǎn)90個(gè)，總數(shù)是多少？小紅有15本書，小剛的書是小紅的\(\frac{2}{3}\)，小強(qiáng)的書是小剛的\(\frac{3}{5}\)，小強(qiáng)有多少本書？（三）拓展題（方程與單位“1”轉(zhuǎn)換）1.方程題：某數(shù)的\(\frac{2}{3}\)比它的\(\frac{1}{2}\)多10，求這個(gè)數(shù)（用方程解）。2.單位“1”轉(zhuǎn)換：甲班有30人，是乙班的\(\frac{3}{4}\)，乙班是丙班的\(\frac{2}{3}\)，丙班有多少人？3.復(fù)雜應(yīng)用題：一批貨物，第一天運(yùn)走\(yùn)(\frac{1}{3}\)，第二天運(yùn)走剩下的\(\frac{1}{2}\)，還剩10噸，這批貨物總數(shù)是多少？三、答案與解析（一）基礎(chǔ)題答案1.計(jì)算：\(\frac{3}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{5}\)（分子分母約分后相乘）\(\frac{1}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{1}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{5}{8}\)（乘倒數(shù)）\(5\times\frac{3}{10}=\frac{3}{2}\)（整數(shù)與分母約分）\(\frac{2}{7}\div4=\frac{2}{7}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{14}\)（除以整數(shù)等于乘1/整數(shù)）2.倒數(shù)：\(\frac{6}{5}\)（交換分子分母）\(\frac{1}{8}\)（整數(shù)看作分母1）4（0.25=1/4，倒數(shù)是4）\(\frac{2}{7}\)（3又1/2=7/2，倒數(shù)是2/7）3.應(yīng)用題：男生人數(shù)：\(40\times\frac{3}{5}=24\)（人）（求單位“1”的幾分之幾，用乘法）剩余蘋果：\(12-12\times\frac{1}{3}=8\)（個(gè)）或\(12\times(1-\frac{1}{3})=8\)（個(gè)）（先算吃了的，再減；或直接算剩余的分率）（二）提高題答案1.混合運(yùn)算：\((\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\times6=\frac{1}{2}\times6+\frac{1}{3}\times6=3+2=5\)（分配律簡算）\(\frac{3}{4}\div(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{3}{4}\div\frac{1}{6}=\frac{3}{4}\times6=\frac{9}{2}\)（先算括號(hào)內(nèi)的差，再乘倒數(shù)）\(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\div\frac{5}{6}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{6}{5}=\frac{1}{5}\)（從左到右計(jì)算，乘倒數(shù)）2.簡便計(jì)算：\(\frac{5}{6}\times(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})=\frac{5}{6}\times1=\frac{5}{6}\)（提取公因數(shù)，分配律逆用）\(\frac{3}{5}\times10-\frac{1}{2}\times10=6-5=1\)（分配律展開）\(\frac{3}{7}\times21\times\frac{5}{9}=9\times\frac{5}{9}=5\)（結(jié)合律，先算3/7×21）3.應(yīng)用題：總數(shù)設(shè)為\(x\)，\(\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}x=90\)，\(\frac{9}{20}x=90\)，\(x=200\)（用方程解，單位“1”未知）小剛的書：\(15\times\frac{2}{3}=10\)（本），小強(qiáng)的書：\(10\times\frac{3}{5}=6\)（本），綜合算式：\(15\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}=6\)（本）（兩步乘法，依次求單位“1”的幾分之幾）（三）拓展題答案1.方程題：設(shè)某數(shù)為\(x\)，\(\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}x=10\)，\(\frac{4}{6}x-\frac{3}{6}x=10\)，\(\frac{1}{6}x=10\)，\(x=60\)（先通分，再解方程）2.單位“1”轉(zhuǎn)換：乙班人數(shù)：\(30\div\frac{3}{4}=40\)（人）（甲班是乙班的3/4，求乙班用除法）丙班人數(shù)：\(40\div\frac{2}{3}=60\)（人）（乙班是丙班的2/3，求丙班用除法）綜合算式：\(30\div\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}=60\)（人）3.復(fù)雜應(yīng)用題：設(shè)總數(shù)為\(x\)，第一天運(yùn)走\(yùn)(\frac{1}{3}x\)，剩下\(x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x\)，第二天運(yùn)走\(yùn)(\frac{2}{3}x\times\