積分題目口訣及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.積分基本公式中，$\intx^ndx$（$n\neq-1$）等于？A.$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$B.$nx^{n-1}+C$C.$x^{n+1}+C$2.$\int\frac{1}{x}dx$等于？A.$\ln|x|+C$B.$-\frac{1}{x^2}+C$C.$\lnx+C$3.$\inte^xdx$等于？A.$e^x+C$B.$xe^x+C$C.$\frac{e^x}{x}+C$4.積分$\int\sinxdx$等于？A.$\cosx+C$B.$-\cosx+C$C.$\sin^2x+C$5.若$F^\prime(x)=f(x)$，則$\intf(x)dx$是？A.$F(x)$B.$F(x)+C$C.$F^\prime(x)+C$6.$\int\cosxdx$等于？A.$\sinx+C$B.$-\sinx+C$C.$\cos^2x+C$7.積分$\inta^xdx$（$a>0,a\neq1$）等于？A.$\frac{a^x}{\lna}+C$B.$a^x\lna+C$C.$\frac{a^x}{x}+C$8.$\intkdx$（$k$為常數(shù)）等于？A.$kx+C$B.$k+C$C.$\frac{k}{x}+C$9.積分$\int\sec^2xdx$等于？A.$\tanx+C$B.$-\tanx+C$C.$\cotx+C$10.$\int\csc^2xdx$等于？A.$\cotx+C$B.$-\cotx+C$C.$\tanx+C$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列屬于基本積分公式的有（）A.$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctanx+C$B.$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsinx+C$C.$\int\secx\tanxdx=\secx+C$D.$\int\cscx\cotxdx=-\cscx+C$2.積分運(yùn)算性質(zhì)正確的有（）A.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$B.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為常數(shù)）C.$\intf^\prime(x)dx=f(x)$D.$\intf(x)g(x)dx=\intf(x)dx\cdot\intg(x)dx$3.下列積分結(jié)果正確的有（）A.$\int2xdx=x^2+C$B.$\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$C.$\int\tanxdx=-\ln|\cosx|+C$D.$\int\cotxdx=\ln|\sinx|+C$4.以下關(guān)于積分說(shuō)法正確的是（）A.不定積分結(jié)果有無(wú)窮多個(gè)B.定積分是一個(gè)數(shù)值C.原函數(shù)與不定積分相差一個(gè)常數(shù)D.積分與求導(dǎo)是互逆運(yùn)算5.下列哪些函數(shù)積分可直接用基本公式（）A.$y=x^3$B.$y=e^{-x}$C.$y=\sin2x$D.$y=\frac{1}{x^3}$6.積分$\int\frac{1}{x^2-1}dx$可通過(guò)（）方法求解A.部分分式分解B.換元法C.分部積分法D.湊微分法7.下列積分屬于同一類型的有（）A.$\int\frac{1}{x^2+4}dx$B.$\int\frac{1}{x^2-4}dx$C.$\int\frac{1}{4-x^2}dx$D.$\int\frac{1}{x^2+2x+5}dx$8.以下積分計(jì)算中可能用到分部積分法的有（）A.$\intx\sinxdx$B.$\inte^x\cosxdx$C.$\int\lnxdx$D.$\int\frac{\lnx}{x}dx$9.積分運(yùn)算中常用的技巧有（）A.湊微分B.換元C.分部積分D.利用奇偶函數(shù)性質(zhì)10.對(duì)于積分$\int\sqrt{1-x^2}dx$可采用（）求解A.三角換元B.分部積分C.利用幾何意義D.湊微分三、判斷題（每題2分，共10題）1.$\intf^\prime(x)dx=f(x)$（）2.若$F(x)$是$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)，則$F(x)+1$也是$f(x)$的原函數(shù)（）3.積分$\int\frac{1}{x^2+1}dx=\ln(x^2+1)+C$（）4.定積分$\int_{a}^f(x)dx$與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)（）5.若$f(x)$為奇函數(shù)，且在對(duì)稱區(qū)間$[-a,a]$上可積，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$（）6.積分$\int\cos^2xdx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin2x+C$（）7.不定積分的結(jié)果一定含有常數(shù)$C$（）8.積分$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arccosx+C$（）9.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$（）10.用分部積分法計(jì)算$\intxe^xdx$時(shí)，設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$更合適（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述積分與求導(dǎo)的關(guān)系答案：積分與求導(dǎo)是互逆運(yùn)算。若$F^\prime(x)=f(x)$，則$\intf(x)dx=F(x)+C$；對(duì)$\intf(x)dx$求導(dǎo)結(jié)果為$f(x)$。2.不定積分和定積分的區(qū)別是什么答案：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果帶有任意常數(shù)$C$；而定積分是一個(gè)確定的數(shù)值，它通過(guò)牛頓-萊布尼茨公式，用原函數(shù)在積分區(qū)間端點(diǎn)值相減得到。3.說(shuō)明湊微分法的基本思路答案：湊微分法是把被積函數(shù)中的一部分湊成某個(gè)函數(shù)的微分形式。如$\intf(g(x))g^\prime(x)dx$，將$g^\prime(x)dx$湊成$dg(x)$，令$u=g(x)$，化為$\intf(u)du$求解。4.分部積分法的公式是什么，如何選擇$u$和$dv$答案：分部積分法公式為$\intudv=uv-\intvdu$。選擇$u$和$dv$原則是：$u$求導(dǎo)后變簡(jiǎn)單，$dv$易積分。如$\intx\lnxdx$，選$u=\lnx$，$dv=xdx$。五、討論題（每題5分，共4題）1.在積分計(jì)算中，如何根據(jù)被積函數(shù)特點(diǎn)選擇合適的方法答案：若被積函數(shù)是基本函數(shù)類型，直接用基本積分公式；有復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)考慮湊微分或換元法；乘積形式如多項(xiàng)式與三角函數(shù)等考慮分部積分法；分式函數(shù)可先嘗試部分分式分解。根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活選擇。2.積分在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用答案：在物理中可求物體運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功；在幾何中求平面圖形面積、立體體積；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域計(jì)算成本、收益等累積量。通過(guò)積分可解決很多與累積、總量相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。3.探討積分中常數(shù)$C$的意義答案：常數(shù)$C$體現(xiàn)了原函數(shù)的不唯一性。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)相同的函數(shù)可以相差一個(gè)常數(shù)，所以不定積分結(jié)果加上$C$表示所有原函數(shù)的集合。定積分計(jì)算時(shí)雖不體現(xiàn)$C$，但它基于不定積分理論。4.舉例說(shuō)明換元法在積分中的作用答案：例如$\int2xe^{x^2}dx$，令$u=x^2$，則$du=2xdx$，原積分化為$\inte^udu=e^u+C=e^{x^2}+C$。換元法能將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易求的積分形式。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.A3.A4.B