專題17全等三角形模型之奔馳模型

對于奔馳模型我們主要是可以通過一些幾何變化，把其中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，以達(dá)到聚合條件，推出我

們想要的結(jié)論的目的。對于幾何變化，目前學(xué)過的主要有：軸對稱，平移，旋轉(zhuǎn)，位似等。對于“奔馳模型''

我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)行變換。對于旋轉(zhuǎn)處理，我們主要分為：旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)相似。今天的這主要

講“奔馳模型”之旋轉(zhuǎn)全等類型。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本木倒

置要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題H的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型I

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)）............2

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)）7

模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型）...........................................................................................13

習(xí)題練模型

例題講模型

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)）

模型解讀

此模型通常會和旋轉(zhuǎn)一起來考查，還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因為旋轉(zhuǎn)的特

征是:共頂點等線段。等邊三角形，二邊相等，每一個頂點出發(fā)都有兩個相等線段，都符合共頂點等線段。

等邊三角形三個頂點都可以作為旋轉(zhuǎn)中心（如上圖的旋轉(zhuǎn)）。

條件：如圖，已知正三角形內(nèi)有一點P,滿足夕川+尸出=/<2（?？紨?shù)據(jù)：BP=3,A尸=4,CP=5）,

結(jié)論：ZAPB=\50%（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形力依‘，連接尸'C。

;三角形A8C和三角形4T5'都為等邊三角形；：.AB=AC,AP=AP'=PP',NBAC=/PAP'=/PP'A=60°；

：.^BAC-ZPAC=ZPAP-ZPAC,：.ZBAP=ZPrAC,^ABP^ACP\sAS>-*^P=CP\NAPB=NAP'C；

,:PA2+PB2=PC2,???PP2+PC2=PC2,???4PP'C=90°,

，NAP'C=NPP'C+NPP'A=150。；N4PB=150。。

模型運用

注意：多線段共端點常考旋轉(zhuǎn)。

例1.（23-24八年級下?廣東深圳?期中）如圖，點尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且94=2,尸3=1.5,PC=2.5,

則“人9的度數(shù)為。.

A

【答案】150

【分析】將一PC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。后得到的△3E4.首先證明△產(chǎn)推出=

NEBP=ZABC=W,所以VBP0為等邊三角形，得NBQP=60。，可得PE=PB=1.5,NEPB=6O°,

AE=PC=2.5,24=2,即可得到VAPE?為直角三角形，則NAPE=90。，所以ZAP8=900+60c=150°；由此

即可解決問題.

【詳解】解：如圖，將-BPC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。后得到的△8".

/./BC^EBA,PB=EB，NEBP=ZABC=60°,

??.△P8E為等邊三角形，:,PE=PB=15,NEP8=60。，

VAE=PC=2.5,PA=2,「?尸戶+A尸=A爐，；?V”E為直角三角形,

AZAPE=90°,/.ZAP^=9(r+60o=15(r；故答案為：150.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是勾股

定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考常考題型.

例2.（2022?湖南?中考真題）如圖，點。是等邊三角形人8c內(nèi)一點，。4=2,OB=1,OC=&則MOB

與ABOC的面積之和為（）

3G

D.73

?「BE=2，AE=7,:.BE=AD=2,:.DE=AE-AD=7-2=5,:.CD=5.故答案為：5.

例4.（2024?安徽一模）如圖，尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且幺=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在MBC

外作連接PQ,則以下結(jié)論中不正確的是（）

A.NPBQ=1）。B.NPQC=90。C.ZAPC=120°D.ZAPS=150°

【答案】C

【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出N/WC=60。，根據(jù)得出NCBQ=/ABP,PB=QB=4,

PA=QC=3,ZBPA=ZBQC,求出/尸8匕60。，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ

是等邊三角形，MCQ是直角三角形即可判斷D；求出NAP01500-NQPC,和PC豐2QC,可得/QP?30。，

即可判斷C.

【詳解】解：???△ABC是等邊三角形，???NA8C=60。，

AZCBQ=ZABP,PB=QB=4,PA=QC=3,/B以二NBQC,

AZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC^ZABP=ZABC=60°,所以A王確，不符合題意；

22222222

PQ=PB=4,PQ+QC=4+3=25fPC2=5=25,：.PQ+QC=PC,

???NPQC=90。，所以B正確，不符合題意：

,：PB=QB=4,NPBQ=60。,I.ABP。是等邊三角形，.??NRPQ=60。，

Z.ZAPB=ZB（）C=ZB（）P+ZP（2C=60o+90°=150°,所以D正確，不符合題意；

ZZPC=360°-150°-600-ZQPC=150°-ZQPC,VPC=5,QC=PA=3y：.PC^2QC,

???/PQC=90。，???/。產(chǎn)230。，??,NAPGH20。.所以C不正確，符合題意.故選：C.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決

本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識.

例5.（24-25九年級上?廣東廣州?開學(xué)考試）如圖，。是正V4BC內(nèi)一點，。4=3,08=4,。。=5,將線

段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BO,下列結(jié)論，①△伙/4可以由/OC繞點8逆時針旋

轉(zhuǎn)60。得到；②點。與。的距離為5：③4408=150。；④四邊形八QBOC面積=6+46：⑤

S3oc+S0O8=6+（百，其中正確的結(jié)論是（）

A.①④⑤B.（D@④C.①③④⑤D.①③⑤

【答案】C

【分析】根據(jù)正三角形性質(zhì)，得A8=3C=AC,ZABC=60°：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得NO80=6O%BO=BO,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，燈判斷②，通過證明△&/A也即可判斷①；根據(jù)勾股定理逆定理，得

400=90。，結(jié)合等邊三角形AOB。，可判斷③；根據(jù)等腰三角形三線合?和勾股定理的性質(zhì)，可計算

得-。如，從而判斷④；繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AMC，根據(jù)等腰三角形、勾股定理及其逆定理

的性質(zhì)計算，可判斷⑤，即可得到答案.

【詳解】解：連接OO',如下圖：???正VA8CAB=I3C=AC,NA4c=60。

???線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BO',

???NO8O=60。，BO=BCX：.AOB0f為等邊三角形；.OO'=OB=4,即②錯誤；

/LOBO=ZABO+ZABO=60°.ZABC=45。+NO4C=60°:?ZABO=NOBC

AB=BC

△80/和^BOC中<NABO'=NOBC/.WUgXBOC

BO'=BO

???。4=。。=5,△BO'A可以由43OC繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到，即①正確：

???00=03=4,OA=3：,0^=00,2+0^，Z4OO'=90。

*/△OBO'為等邊三角形/.N83=60°:.ZAOB=/AOO+ZB0C=150°,即③正確；

??ZAO(y=90°S=-AOxOO,=-x3x4=6過點8做BN_LOO',交廣點N

AAA

?/△OB。為等邊三角形J/BNO=30°???ON=；OB=2Z.=[OB?-ON?=26

:.Sqg，=g°°'x8N=gx4x2G=4x/5??.四邊形AQBOC面積=Sjm+S3江=6+4^，即④正確：

ViEVABC???VAO8繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到dMC,如下圖：

VZOAM=60°,AO=AM=3,MC=OB=4,S^AOfl=S^AMC，△AQW為等邊三角形.二QM=AO=AM=3

13

過點A做4G_LOW,交OM于點G,如下圖：???△AOM為等邊三角形???NO!G=30。AOG=-OM=-

22

?/7T72~d3G.c1“、CA”13G,9G

??Ad=\J()A—OCi=------??S=—ACJx=—x-------x3=-------

22224

???WC=4,OM=3,OC=5：,OC2=MC2+OM2ZOMC=90°

6

,,%MC=20MxMC=-x3x4=6:?S&AMC+S.AOC=S&AOM+S&、忙=+

?.?LOB+L女=LMC+LOC=￥+6,即⑤正確：故選：C.

【點睛】本題考查了等邊三角形、旋轉(zhuǎn)、全等三角形、勾股定理逆定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋

轉(zhuǎn)、等邊三角形、等腰三角形三紜合一、勾股定理及其逆定理的性質(zhì)，從而完成求解.

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)）

模型解讀

條件:如圖，已知等腰直角三角形A8C內(nèi)有一點P,滿足燈展+（X/5P4『二「。？，

結(jié)論：N'CP8=I35。。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

BCBC

模型證明

證明：以4P為邊向左側(cè)作等腰直角三角形4P。'，連接P'C。

???三角形A8C和三角形4尸尸都為等腰宜角三角形；

：.AB=AC,AP=AP\ZBAC=ZPAP,=90°,PP=&PA,/AP'P=450；

/.ZBAC-ZMC=Z/MP,-ZB4C,：.ZR\B=ZPrAC,^ABP^ACP（SAS>*^P=CP\NAPB=NAP'C；

VPB2+(V2PA)2=PC2，APC2+PP2=PC\：,/PP，C=90。,

：.￡APrC=ZPP'C+ZPP'A=135°；NAP8=135°。

模型運用

例I.（23-24九年級上?湖北孝感?階段練習(xí)）如圖，等腰直角△4C8,AC=BC,點尸在A4CA內(nèi)，PC=2,

幺=3,NB4，=N4C/則尸B的長為（）

A.VT7B.y/\3C.5夜D.5

【答案】A

【分析】先利用等腰直角△4CB,AC=BC,得到NC4B=45。，再證明NAPD=45。，接著把ACBP繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)90。得到VC4E,連接在:，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CE=PC=2,AE=BP,ZPCE=90°,則“『判

斷ZXC尸石為等腰直角三角形，從而PE=gPC=26,ZCPE=45%然后計算NAPE=90。，從而利用勾股

定理計算出人石即可.

［詳解】解：:等腰直角AACB,AC=BC,：.ZCAB=45°,

???^PAD=ZACP,/.ZAPD=ZACP+ZPAC=ZPAD+APAC=ADAC=45°,

如下圖，把QP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到NCAE,連接PE,

:.CE=PC=2,AE=BP,APCE=90°,.二△CPE為等腰宜角三角形,

APE=42PC=2y/2fZCPE=45°?ZAPE=180°-ZAPD-Z.CPE=180°-45°-45°=90°.

:.PB=AE=dPE?=J（2何+32=如,故選：A-

【點睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離

相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

例2.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測）如圖，在正方形A6C。外取一點X,連接。玄，AE,CE,過點。作。

的垂線交AE于點P,若DE=DP=6,PC=2百則下列結(jié)論：①△APDgZXCE。；@AE1CE；③點C

到直線。石的距離為2百；④S正方形AQ=26其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）

C.3個D.4個

【答案】C

【分析】利用正方形性質(zhì)即可證明①，利用全等三角形性質(zhì)即可推出②，過點。作C/_LOE的延長線于點尸，

利用勾股定理求出莊，CE,再利用解直角三角形即可.判斷③，利用勾股定理得到CO,進(jìn)而得到正方形面

積，即可判斷④.

【詳解】解：?四邊形ABCD為正方形，/.AD=CD,ZADC=900=ZADP+ZPDC,

DEIDP,；"EDP=哪=/CDE+/PDC,..ZADP=ZCDE,

DE=DP=O，二△APD^ACED(SAS),故①正確;

vZEDP=90°,DE=DP=y/2,:.NDEP=NDPE=45°,

???AAPDg△CEO「./DEC=/DPA=1800-ZDPE=135°,

;.ZAEC=NDEC—NDEP-EtCE,故②正確；

過點。作C/_LOE的延長線「點F,如圖所示，

Ft

B

C

?；NEDP=90°,DE=DP=y/2>PE=dDE2+DP2=2，

vZ4EC=90°.PC=2亞，:.CE=yJPC2-PE2=4?

?/NDEP=4DPE=45°,:.ZFEC=180°-ZAEC-NDEP=45°，

vZF=90°,...NFCE=450=NFE：C,.?.b=CEcos45o=2jL故③錯誤；

,:CF=2貶,:聲=2叵，:.DF=EF+DE=3?，/.CD=ylcF2+DF2=x/26?

■?^^?CD=CD2=26,故④正確；綜上所述，正確的有3個，故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方

形而積，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用.

例3.（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，RIAABC+,ZACB=90°,AC=443,BC=6.點P為JBC

內(nèi)一點，且滿足產(chǎn)川+PC?=AC2.當(dāng)P8的長度最小時，則△ACPf勺面積是.

【答案】6。

【分析】取AC中點。，連接OP,BO,由Re+PC2=Ac2即可得到乙鏟仁二好，再由研280-OP,可

得當(dāng)點尸在線段80上時，砂有最小值，然后利用宜角三角形的性質(zhì)可得PO=AO=CO=；4C=2G,即

可推出N8OC=60。，則△COP是等邊三角形，求得ACO尸的面積.根據(jù)OA=OC可得.

【詳解】解：如圖，取AC的中點0,連接。尸，B0,

BC

VP42+/V=4C2,??.NAPC=90。，???點產(chǎn)在以AC為直徑的圓上運動，

在△8PO中，BP>BO-OP,，當(dāng)點P在線段BO上時，有最小值,

???點。是4c的中點，ZAPC=90°,APO=AO=CO=-AC=2>/3,

2

AtanZBOC=—=x/3,ZB6C=60°,，aCOP是等邊三角形，

???5八08=￥℃2=q'12=36，,：OA=OC,：.5協(xié)3=2528產(chǎn)姆，故答案為：?

【點睛】本題主要考查了正切的定義與特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關(guān)系，直

角三角形斜邊上的中線，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠綜合應(yīng)用各種性質(zhì)解題.

例4.（2024.河北??？家荒＃┤鐖D1,在正方形A8CO內(nèi)有一點P,尸4=逐，P8=&，PC=l,求/BPC

【分析問題】根據(jù)己知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是

將建PC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到了上4（如圖2）,然后連結(jié)PP.

【解決問題】請你通過計算求出圖2中/BPC的度數(shù)；

【比類問題】如圖3,若在正六選形4BC。所內(nèi)有一點P,且尸4=2而，尸8=4,PC=2.

（1）N4PC的度數(shù)為；（2）直接寫出正六邊形A8CDE/的邊長為

【答案】(1)135°：(2)120°：2"

l

【分析】解決問題：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=及，N08尸=90。，NBPA=NBPC,AP=PC=i，然

后證明PA1=PT+PP?得到=90°,則ZBPC=NBPA=ZAPfP+NBPP=135。；

（1）仿照【分析】中的思路，將繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到了48戶A,連接PP'.如圖所示，根

據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：APBCAPBA,從而得出為等腰三角形，

PB=PB=4,PC=PA=2,4BPC=/BPA,,由尸=120。，得到N8PP=30°,可以求得。尸'=4e，

由勾股定理的逆定理就可以求出ZAPP=90。，從而得出結(jié)論;

(2)延長AP，作8GJLA嚴(yán)于點G,在Rt△戶8G中，產(chǎn)2=4,N8〃G=60。，就可以得出產(chǎn)G=2,BG=2石八

則AG=9G+PA=2+2=4,在RtZXABG中，根據(jù)勾股定理得A4=J/AG?+女丁=2行.

【詳解】解決問題：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8P=8P=Ji，NPBP=90。,NBPA=NBPC,AP'=PC=\,

???ZBPP=NBPP=45。,PPWBP;BP2=2,：尸片=(6『=5,PT=『=],p/=2?=4，

??PA2=P'A2+PH,ZAP7>=90。,/.4BPC=4BPA=ZA產(chǎn)產(chǎn)+4BPP=135°；

(1)仿照【分析】中的思路，將△BPC繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)120。：得到了△8/M，連接PP'.如圖5,

FEPE

GB

ALPBC^P'BA,:.PB=PB=4,PC=PA=2,/BPC=/BPA,，△3”為等腰三角形,

■:/PB產(chǎn)=120°,,NBPP=30°,作BGLP產(chǎn)于G,；.NPGB=90。,PP=2PG.

?：PB=PB=4,N8尸尸=30°,:.BG=2,:?FG=2有：.PF=4日

在公4夕產(chǎn)中，VPA=2Vl3，PP'=4x/J，產(chǎn)A=2,/.PA2=52.PP,2=48,P4=4，

APA2=P^2+P1A2是直角三角形，AZA/yP=90°.

AZBPC=ZB/yA=30°+90°=120°.故答案為：120°

(2)延長4產(chǎn)，作8G_LAP'于點G,如圖6,

在Rl△產(chǎn)或；中，產(chǎn)8=4,Z.BPG=180O-ZAPB=60°,AZ/y￡^=30°,

??.PG=2,8G=2百，AG二產(chǎn)G+PA=2+2=4,

在RtZXABG中，根據(jù)勾股定理得A8=JAG2+6G2=2幣.故答案為：2百

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型）

模型解讀

模型1）條件：如圖1,點。在等邊三角形A4c外，若C尸+AP2=8尸，結(jié)論：ZCPA=30°.

模型2）條件：如圖2,點尸在等腰直角三角形4BC外，若CP?+（&AP『=8p2,結(jié)論：NAPC=45。。

雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”,構(gòu)造出全等三角形,實現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理，非常有

意思。連完輔助線往往會產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。

模型證明

模型1）證明：以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP,連接DC。

???三角形A8C和三角形AOP都為等邊三角形；：.AB=AC,AP=AD=DP,ZBAC=ZPAD=ZAPD=60°；

：.ZBAC+ZR\C=ZPAD+ZPAC,：,ZBAP=ZCAD,/.^BAP^CAD(SAS>:?BP=CD；

'：CP1+AP2=BP2,；?PC2+DP：=CD2,:.ZDPC=90°,ZCPA=ZDPC-ZAPD=30\

模型2)證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形/PP,W.ZPAD=90P,連接尸'C。

???三角形ABC和三角形AP。都為等腰直角三角形；

：,AB=AC,AP=AL),乙BAC=乙FAD=9(T,DP=yfiPA,/APD=4T；

，N8AC+N%C=N%Q+NHC,：.ZR\B=ZDAC,：,>ABP—ACD(5^5),:?BP=CD；

,/。產(chǎn)+(&AP)2=BP2,JCP2+DP2=CD2,???/DPC=9b,：,ZAPC=ZDPC-ZAPD=45\

模型運用

例I.（2024九年級上?重慶?專題練習(xí)）如圖，?是等邊三角形A8C外一點，幺=3,PB=4,PC=5,求4A4

的度數(shù).

【答案】30°

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可知，BA=BC,ZAC3=60。；將繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得△BCD,

連PD,首先證明△PC。為等邊三角形，可確定尸D=PC=5,由勾股定理的逆定理可證明△尸8。為直角三

角形，且NPBD=9O°,然后計算因4的度數(shù)即可.

【詳解】解：???VABC為等邊三角形，:,BA=BC,ZACB=60。，

可將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得△BCD,連PD,如下圖，

ABD=AP=4,CD=PC=5,NP8=6O°,力BC="AC,，△PCD為等邊三角形，:.PD=PC=5,

在△PH）中，PD=5,BD=3,PB=4,：.PD1=PB2+PA2,??△PHO為直角三角形，且NPBD=90。,

，ZPBC+ZCBD=APBC+ZPAC=360°-ZPBD=27（T,

乙BPA=3600-SPBC+Z/V\C）-ZAC6=360°-270°-60°=30°.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、四邊形內(nèi)角和等知

識，正確作出輔助線，構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題關(guān)鍵.

例2.（2023?廣西賀州?二模）如圖，點。為等邊三角形A8C外一點，連接E4,PC,若PA=7,尸8=9,

ZAPB=30°,則PC的長是.

B

【答案】x/130

［分析】把PB繞點、B順時針旋轉(zhuǎn)60°，連接PQ,AQ,可證ABQ是等邊三角形，利用SAS證明/BC^QBA,

得出尸C=QA,在Rt△八PQ中，利用勾股定理求出AQ,即可求解.

【詳解】解：把依繞點,順時針旋轉(zhuǎn)60。，連接P。，AQ,如圖所示：

則P8=Q8,NP8Q=600,??.△P8Q是等邊三角形，.??NQP8=60°,PQ=PB,

VYABC是等邊三角形，Z.AB=CB,ZABC=60°,/PBC=NQBA=60°+NPBA,

.LPBC%Q8A（SAS）,APC=QA,VZQPB=60°,：.ZAPQ=90°,

又AP=7,PB=PQ=9,/,PC=AQ=ylAP2+PQ2=>/72+92=7130.故答案為：V130.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合，三角形全

等的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例3.（23-24八年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,

A.庖B.向C.>/43D.x/59

【答案】D

【詳解】作AD，_LAD,AD，=AD,連接CP,DD\如圖：

D

/ZBAC+ZCAD=ZDAD/+ZCAD,即NBAD=/CAD',

BA=CA

在ABAD與ACAD，中，JZB4O=NC4。'，AABAD^ACAD*（SAS）,

AD=AD'

.-.BD=CD\NDAD，=90。由勾股定理得DD，=〃理+人工=5&，ZD,DA+ZADC=90°

由勾股定理得CD.JDCN+Q。？=132+50=病，故選D.

例4.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）【問題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個問題：“如圖I,

在四邊形ABC。中，Af3=AC,ZAAC=60。，ZADC=3O。，4）=4,BD=5,求CD的長.“經(jīng)過小組合作

交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.將△3CO繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。到“AE,連接DE.則△瓦必是等

邊三角形，所以。E=BD=5,導(dǎo)角可得ND4E=9O°,所以。＞=AE=〃）爐-=3?

（1）請補全圖形；

（探究應(yīng)用】（2）如圖2,在VA/3C中，/W=AC,NBAC=120。./）為N/\BC外一點，.且zlADB=50°,—=—

BD3

求/4DC的度數(shù)；

【拓展延伸】（3）如圖3,在V/1BC中，AB=AC,ZBAC=120°,4。/8C于D,M為A0上一點，連接BM,

N為BM上一點、，若AN=6,BN=6N&W-NC8N=30。，連接C7V,請直接寫出線段CN的長.

【答案】（1）見解析；（2）ZADC=1IO°；（3）3

【分析】本題主要考查了三角形的綜合，靈活運用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)是

本題解題的關(guān)鍵.（1）題意補全圖形即可;（2）將△ABD繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)得到“。巴連接ED.作A尸_LED

于F,根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求得任=亙，推出￡D=3D=C￡,據(jù)此求解即可；

DE3

（3）延長AN構(gòu)造等邊三角形，然后利用兩組三角形相似求出A8,最后利用勾股定理求解.

【詳解】解：（1）補全圖形，如圖，

(2)將△A8O繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AACE,連接EO，作AFJ,瓦)于R

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AD=AE，NCAE=/BAD,BD=CE,NCE4=N8D4=50。，

VAB=AC,Zft4C=120°,/.ZDAE=ZDAC+ZEAC=ZDAC+ZBAD=\2(T,

zSWF-^AEF-30°,/.Z.CED-50°-30°-20°,AI)=2AF

由勾股定理得，DF=y/3AF,DE=?MAF,**?——=—=--,

DE20AF3

?.?吆二立，.ED=BD=CE,AZEDC=ZECD=80°,AZAZX?=30°+80°=110°；

BD3

（3）延長交4c\'F,延長AN到E,使NE=5N,連接跖，如圖,

NBAN-/CBN=30°,/./BAN=ZCBN+30°,/.ZBNE=/BAN+ZABN=NCBN+ZAI3N+30°=60°,

?.NF.=RN.「ABEN是等邊三角形,/.ZE=60°.

ZANB=180°-/BNE=120°=ZE4C,:.^ABNSNBA,

ABBNANABBEAE

一=—=——，ZBAE=ZAFB,:./\ANFSABEA,-----==

BFABAFAFANFN

(夜+百).忘26+3&

:4=空更.BF=FN+BN=AB'=BN?BF=5+遙，

BE63

過/作PG_L3C于尸，過N作M7_L4c于〃,Z4CT=30°,

FG=-FC=-(AB-AF\=^^-AB,CG="_eAB,BG=BC-CG=&AB-避正.=立’立4",

22、,6222

,,八NHBNBH33-瓜n3亞+3石

'：NH〃GF、:?ABNHS^BFG,=-=-=—^7,:.NH=7AB,BH=—―AB,

GFBFBG5+J61()+2f7#10+2卡

二CH=BC-BHJS：第AB,，CM=CH、NH』,:.CN=3.故答案為：3.

習(xí)題練模型

I.(2024九年級?重慶?期中)如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點使得NAPC:NAPB:/8PC=7:8:9,那么以

AP,BP,b的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為.

【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用圖形的旋轉(zhuǎn)添加輔助線是解答本題的關(guān)

鍵.將尸繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△8C。，連結(jié)PQ,可證得“BQ是等邊三角形，從而得到

?BPQ?BQP60?,BP=PQ,所以△PQC就是以a，BP,CP的長度為邊長的三角形，進(jìn)一步求出

△PQC的內(nèi)角度數(shù)，即得答案.

【詳解】將ABAP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△BCQ,連結(jié)PQ,

則BQ=BP,NPBQ=600.4P=CQ,.NPBQ是等邊三角形，

\?BPQ2BQP60?,BP=PQ,?.△PQC就是以AP,BP，C尸的長度為邊長的三角形，

?;ZAPC:ZAPB:NBPC=7:8:9,\2Ape工窗360=105?.

24

?o

?APB或窗360=120?,?BPC—?360=135?,

\2CPQ135?60?75?,?PQC?BQC?BQP?APB60?60?,

\2PCQ180?2CPQ?PQC45?,

二?以AP,BP,CP的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為

ZCPQ:ZPC(2:ZP(2C=75o:45o:60o=5:3:4.故答案為：5:3:4.

A

2.（23-24九年級下?吉林?階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件

相對集中，以達(dá)到解決問題的目的.

圖①圖②圖③

【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，在等邊三角形A8C內(nèi)部有一點P,PA=2,PB=6PC=1,求N3PC的度數(shù).

解：如圖①，將線段外繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)6（下得到線段8尸，連接AP',PP.

?.?BP=BP,NPW=60°,「.△PBP是等邊三角形，.?./8PP=6O。，PF=PB=6

???/8。是等邊三角形，..480=6（尸，BC=BA,

??.ZABC-ZABP=/PBP-ZABP,即/尸8C=N產(chǎn)84.請你補充完整解答過程.

【應(yīng)用問題】如圖②，在正方形48CD內(nèi)有一點P,若PA="i，PB=4,PC=3,則4PC=_°.

【拓展問題】如圖③，在正方形/BC。中，對角線4C,4。相交于點。，在直線A。上方（包括直線A。）

有一點尸，PA=4,PD=2,連接P。，則線段夕。的最大值為

【答案】發(fā)現(xiàn)問題：150。，應(yīng)用問題：135,拓展問題：3人

【分析】發(fā)現(xiàn)問題：由SAS可判定由全等三角形的性質(zhì)得AP=CP=1,NBPA=NBPC,

由勾股定理的逆定理得/XAPP是直角三角形，即可求解；

應(yīng)用問題：將8?逆時針旋轉(zhuǎn)90。，連接AP'、P。，由勾股定理得尸產(chǎn)=后8。=4&，同理可證八4產(chǎn)乃是

直角三角形，即可求解：拓展問題：將OP順時針旋轉(zhuǎn)90。得OP',連接。P、PP',同理可證△AOP^OO產(chǎn)，

由全等三角形的性質(zhì)得AP=。戶=4,PP<PD+DP即可求解.

【詳解】發(fā)現(xiàn)問題：證明；補充如下；如圖,

BA=BC

在AAB產(chǎn)和KBP中NP'BA=NPBC,△A87yg△C8P(SAS).AP,=CP=\,ZBPA=ZBPC,

BP'=BP

?,?/+(百『=22,「.Ap2+?p2=A尸，是直角三角形，.?.NA戶尸=90。，

/.NBPA=/BPP+ZAPP=150°,/.Z.BPC=150°：

應(yīng)用問題：解：如圖，將8尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。，連接AP'、PP,

.?.ZABP+ZA^=90°,BP=BP=4,，NBPP=45。,PP=JiBP=46，

???四邊形ABC。是正方形，ZABC=90°,AB=CB,ZABP+ZCBP=90°,:.ZABP=NCBP,

BA=BC

在AA3戶和&CBP中NFBA-ZPBC,；.&ABgKBP(SAS).;.AF=CP=3,ZB產(chǎn)A=2BPC,

BP'=BP

?,?32+(4X/2)-=(>/41)~,..AP,2+PP,2=AP2，.?△小月是直角三角形，

/.ZAP1P=90°./.ABPA=ZBPP+ZAPP=135°,ZBPC=1350；故答案：135：

拓展問題：解：如圖，將OP順時針旋轉(zhuǎn)90。得OP,連接OP、PP,

??NDOP+NDOP=90。，OP=OP,,PP=&OP，

?..四邊形ABC。是正方形，:.OA=ODtACJ.BD,..Z4QP+NOOP=900,:.ZAOP=/DOP，

OA=OD

在4Aop和△DO產(chǎn)中J/A。尸=NDOP',..△AO咋XX)戶(SAS),.\AP=DP,=4,

OP=OP'

VPP<PD+DP1/.<6,：.yfi0PW6,OP<3x/2，/?OP的最大值為3拉，故答案：3日

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定及

性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等，能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(23-24九年級.上.山西呂梁?期末)閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣?個問題：如圖1,在正三角形ABC

內(nèi)有一點P，且幺=3,PB=4,PC=5,求—AP4的度數(shù).

張明同學(xué)是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造八仃'。，連接戶戶，得到兩個特殊的三角形,

從而將問題解決.

⑴請你計算圖1中/APA的度數(shù)：(2)參考張明同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題：如圖3,在正方形48co

內(nèi)有一點P，且PA=2夜，PB=1,尸。=JT7,求/AP4的度數(shù).

【答案】(1)150°(2)1350

【分析】(1)將“PB逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知求證“PP為等邊

三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出NP尸'C=90。，即可求出/力PC=NAP8=150。；

(2)將△A/N繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△APP’是等腰直角三角形，求證//1QP，=45。，用

勾股定理逆定理求出/尸'。8=90。，最后求出NAP8=NP'P8+NAPP'=135。即可.

【詳解】(1)(1)如圖2,把八4內(nèi)繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACP,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA="4=3,PC=PB=4,NB4P=60。，ZAPB=^PC,

???AAPP'是等邊三角形，:.PP=PA=3,NA尸尸=60。，

VPP,2+P,C2=324-42=25，PC：=5?=25，:?PP°+FC?=PC?，AZPP,C=90°,

???ZAPC=ZAPP+ZPrC=60°-90°=150°；Z.ZAPB=ZArC=150°；

(2)如圖3,把ZW汨繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△"＞產(chǎn)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA=PA=2&，PD=PB=1,/曰。二90°,

，4/1尸尸’是等腰直角三角形，，尸尸=&幺=4，NAPP=45。，

VPP，2+P'D2=42+\2=\7,PD2=(Vi7)2=17,；?PP?+p》=PD?,，NPP7)=90。,

ZA0￡>=ZA。尸+N尸產(chǎn)。=45。+90。=135。，/.ZAPB=ZAPfD=\35°.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的運用，全等

三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵.

4.（23-24九年級上?重慶沙坪壩?期末）（1）已知如圖1,在VABC中，AB=BC,N/WC=90。，點。在V/WC

內(nèi)部，點E在VA4C外部，滿足且BD=BE.求證：&AB哈&CBE.

（2）已知如圖2,在等邊VA6c內(nèi)有一點P,滿足24=5,尸8=4,PC=3,求-4PC的度數(shù).

【答案】（1）詳見解析；（2）150。

【分析】（1）先證NABD二NCBE,根據(jù)SAS可證△ABDg/XCBE；

（2）把線段PC以點C為中心順時針旋轉(zhuǎn)60。到線段CQ處，連結(jié)AQ.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得APCQ是等邊三角

形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證△BCPgAACQ（SAS）,得BP=AQ=4,NBPLNAQC,根據(jù)勾股定理逆定理

可得ZAQP=90°,進(jìn)一步推出ZBPC=ZAQC=ZAQP+ZPQC=90°+60°.

【詳解】（1）證明:VZABC=90°,BD±BE

/.ZABC=ZDBE=90°BPZABD+ZDBC=ZDBC+ZCBEAZABD=ZCBE.

XVAB=CB,BD=BE/.AABD^ACBE（SAS）.

（2）如圖，把線段PC以點C為中心順時針旋轉(zhuǎn)60。到線段CQ處，連結(jié)AQ.

由旋轉(zhuǎn)知識可得：ZPCQ=60°,CP=CQ=3,???△PCQ是等邊三角形，???CP=CQ=PQ=3.

又1?△ABC是等邊三角形，AZACB=60°=ZPCQ,BC=AC,

/.ZBCP+ZPCA=ZPCA+ZACQ,即NBCP=NACQ.

CP=CQ

在ABCP與AACQ中，N8CP=N4CQAABCP^AACQ(SAS).\BP=AQ=4,ZBPC=ZAQC.

BC=AC

又,,,PA=5,JPB~+PC?=42+32=25=PA2.JZAQP=90°

又「△PCQ是等邊三角形，/.ZPQC=60°.\ZBPC=ZAQC=ZAQP+ZPQC=900+60°=150°AZBPC=I5O0.

【點睛】考核知識點：等邊三角形，全等三角形，旋轉(zhuǎn)，勾股定理.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和全等三角形判定和性質(zhì)

求出邊和角的關(guān)系是關(guān)鍵.

5.（2023?四川綿陽?一模）如圖，四邊形A8CD是正方形,點P為平面內(nèi)一點,

（1）若點P在正方形內(nèi)，如圖1,PA=1、PB=丘,PD=2,求NAP8的度數(shù)；

（2）若點尸在正方形外，如果==如圖2,且44號=45。，求凡）的長.（用以。表示）

【答案】（1）135。（2）尸?；ハ?/p>

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解決本題

的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).⑴把△AP￡＞繞點人順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△AF8,連接竹，人。與48重合，PA

旋轉(zhuǎn)到質(zhì)的位置，證△八尸廣為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理逆定理求出證

出"抨'=90。，即可得出結(jié)果.（2）把△”￡＞繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到“反，連接"，A。與人B重合，

A4旋轉(zhuǎn)到”的位置，證AAPF為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出所，

即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：把△APQ繞點人順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△AF8，連接PEA。與A3重:合，陽旋轉(zhuǎn)到AF的

位置，如圖1,

F

??.”二人尸=1,N尸人尸=90°,PD="B=2,???△.為等腰直角二.角形，