專題01解直角三角形重要模型之實際應(yīng)用模型

解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一(也可理解為相似三角形的一種特殊情況)，直角三角形邊、角關(guān)

系的知識是解直角三角形的基礎(chǔ)。將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解

直角三角形問題，在解直角三角形時要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復(fù)雜。在解題中，若求解的邊、角

不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線，構(gòu)造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點講解解直角

三角形的實際應(yīng)用模型。

【知識儲備】

如圖1,30。-60。-90°三邊比值1：心2：如圖2,45°?45。-90。三邊比值1：1：＞/5

如圖3,30。-30。-120。三邊比值1：1：5/^;如圖4,30。-45。-105。三邊比值近2:(1+6)

如圖5,45。-60。-75。三邊比值2：遙：(1+8)。

上面五個結(jié)論在于練習(xí)勾股定理和方程，沒有用到三角函數(shù)。其實三角函數(shù)相關(guān)題目的輔助線也類

似，即作垂線，把角放在直角三角形中來研究。最后希望大家能夠自己動手計算并研究這些特殊角

度三角形的三邊比值。

例題講模型］

...........................................................................................................................................................2

模型1.背靠背模型...................................2

模型1.背靠背模型...................................6

模型3.擁抱模型...........13

習(xí)題練模型

.........................................................................................................................................................17

例題講模型］

模型1.背靠背模型

模型解讀

背靠背模型：如圖，若三角形中有已知角時，則通過在三角形內(nèi)作高C/Z構(gòu)造出兩個直角三角形求解，其

中公共邊（高）CO是解題的關(guān)鍵。

重要等量關(guān)系：如圖1,C。為公共邊，則如圖2,CE=DA,CD=EA,MCE+BD=AB,

如圖3,CD=EF,CE=DF,貝ljAO+CE+BGAB；如圖4,DE=BF,BD=EF,MAE+EF=AF；

如圖5,BE=CF,CE=BF,則AE+￡：B=AB。

模型運用

例I.（2024.湖南邵陽?二模）香爐洲大橋項目位于長沙市望城區(qū)，是目前湘江上跨度最大、主塔最高的獨塔

斜拉橋，預(yù)計2024年5月建成.某數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機和所學(xué)數(shù)學(xué)知識對該橋主塔的高度AB進(jìn)行了

測量.已知他們在點C處測得主塔底端B的俯角為20。，測得主塔頂端A的仰角為32.8。，如圖所示，此時

無人機到主塔的水平距離C。為200米，求香爐洲大橋的主塔高度A/L（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：

sin20°?0.342,cos20。=0.940,20°?0.364,32.8。=0.542,cos32.8°?0.841,tan32.8°?0.644)

【答案】香爐洲大橋的主塔高度4B約為202米

【分析】根據(jù)題意可得：CD_LA8,然后分別在RtASCO和Rlz^AC力中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AO

和8。的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答.本題考查了解宜角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問

題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：CDLAB,

在RtZJJCQ中，C￡）=200米，NBC￡>=20°,/.BD=CD-tan2（）°?2（X）x（）.364=72.8（米），

在Rl/SACZ）中，ZACZ>=32.8°,.?./!￡>=8lan32.8。a200x0.644=128.8（米），

AB=AD+BD=72.8+128.8?202（米），,香爐洲大橋的主塔高度AB約為202米.

例2.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）綜合實踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量大樓的高度.如圖，

無人機在離地面40米的。處，測得操控者A的俯角為30。，測得樓5c樓頂。處的俯角為45。，又經(jīng)過人工

測晟得到操控者A和大樓8c之間的水平距離是80米，則樓BC的高度是多少米？（點A,B,C,。都在同

一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：1.7）

D

一死產(chǎn)飛符…

'、、C

二8

【答案】樓BC的高度為（406-40）米.

【分析】本題考行了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)等知識.過。作于E,過C作

CFLDE于F,則四邊形BCFE是矩形，則CF=BE,BC=EF,由題意知==4（）6,DF=CF,

tan300

根據(jù)。尸=3=8七=45一〃后求￡>尸的值，根據(jù)3C=EE=OE—O廣求8C的值即可.

【詳解】解：如圖，過。作于E,過于尸，則四邊形8CFE是矩形，

D

一3場農(nóng)科一

/，/7fl-

/JI工

AEB

LT

：,CF=BE,BC=EF,由題意知AE=———=4073,DF=CF,

tan30°

ADF=CF=BE=AB-AE=80-40x/3.BC=EF=DE-DF=4O-（SO-40>/3）=4073-40,

?,?樓6C的高度為（406-40）米.

例3.（2024?湖北?模擬預(yù)測）在某小區(qū)內(nèi)有兩棟樓房（4樓在8樓的左側(cè)）從A樓向B樓的樓底看去，若視

線大地的夾角Nl=45。，從8樓向A樓樓頂?shù)淖钭髠?cè)看去，視線與樓頂?shù)膴A角N2=27。，若兩樓樓體均與地

面垂直，兩樓樓體均寬5米，A樓高15米，求8樓的高.（可能有用的數(shù)據(jù)：sin27。p0.45、cos27°?0.89.

（1）證明四邊形是矩形，利用A0=ME+EF+"）,代入數(shù)據(jù)計算即可求解：（2）延長交AD于

點”，求得N〃48=62。，利用正切函數(shù)的定義得到粵=tan620pl.88,求得8”的長，據(jù)此求解即可.

AH

【詳解】（1）解：,：AD//EF,AM1MN,DNLMN,

???四邊形AMN。是矩形，??.AD=ME+EF+FD=20.0+40.0+20.0=80.0(m),

答：“大碗"的口徑AO的長為80.0m；

（2）解：延長E8交點〃，如圖,

太陽光線

圖2

;矩形碗底區(qū)￡尸。，???￡〃_!_八/九，四邊形八用與/是矩形,

VZABE=152°,AZ4BH=180°-ZABE=28°,ZW4B=90°-28o=62°,

RH

-=tan620al.88???B//=20.0x1.88?37.6(m),

AH

AAM=EH=I3H+BE=37.6+2.4=40.0(m),答：“大碗”的高度AM的長為40.0m.

模型2.母子模型

模型解讀

I)

圖1圖2圖4

母子模型：若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC,構(gòu)造有公共直角的兩個三角形求解，其中公共

邊8c是解題的關(guān)鍵。

重要等量關(guān)系：如圖1,為公共邊，AD+DC=AC；如圖2,8c為公共邊，DC-BC=DB：

如圖3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC；如圖4,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE.

如圖5,BE+EC=BC；如圖6,EC-BC=BE；如圖7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG；

如圖8,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG；

如圖9,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AGO

模型運用

例I.（2024?黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動小組用高度為1.5米的測角儀AC,對垂直于地面C。

的建筑物AO的高度進(jìn)行測量，BC上CD于點、C.在8處測得A的仰角NABE=45。，然后將測角儀向建筑

物方向水平移動6米至尸6處，F(xiàn)G_LCO于點G,測得A的仰角NA廠E=5X。，4?的延長線交AO于點￡,

求建筑物AO的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.（參考數(shù)據(jù)：sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60）

A

【答案】17.5米

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的實際應(yīng)用，由題意可得四邊形8EOC是矩形，

AF

則OE=AC=1.5m.解直角三角形得到AE=8區(qū)所=」黑，進(jìn)而得到4E=6+f*,據(jù)此求出AE即

tan58°tan58°

可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可知四邊形8EOC是矩形，.?.O￡=BC=1.5m.如圖，ZA8E=45。,4房=58。.

AfrAfAf

???tanNABE=—JanZAFE=—,:.AE=BEtan45°=BE,EF=—.

BEEFtan580

\'BE=EF+BF,：.AE=6+——:.AE^\6.:.AD=AE+DE=\1.5（米）

tan58°

答：建筑物AD的高度約為17.5米.

例2.（2024?安徽合肥?三模）昌景黃高鐵F2023年底通車運行，在設(shè)計線路圖時，有很多地方需要打隧道.如

圖就是某隧道示意圖，為了測量隧道的長度，施工隊用無人機在距地面高度為200米的C處測得隧道南北

兩端A、B的俯角NDC4=42。、ZDCB=28°（己知A、B、C三點在同一平面上），求該隧道南北兩端A、

5的距離.（結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：G=1.73,sin42°?0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.90，sin28°?0.47,

cos280%0.88,tan28°?0.53)

【答案】隧道南北兩端A、8的距離約為155米

【分析】本題主要考杳了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，分別過A、8兩點

700

作AE1CO于EBF上CD于F,解直角三角形得出。尸=萬不。377.4（米），CE=—?222.2（米），

求出結(jié)果即可.

【詳解】解：分別過人、B兩點作4EJ.CO于E,BF_LCQ于立如圖所示:

BF

在RSC8/中，ZFCB=28°,班'=200米,tan280=—CF=—?377.4（米）.

CF0.53

AFofK）

在RUXCE4中，ZEC4=42°,/.tan42°=,CE=——?222.2（米）.

CE0.90

:.AB=EF=CF-CE=377.4-222.2?155（米）.

答：隧道南北兩端A、8的距離約為155米.

例3.(2023?江蘇南京?中考真題)如圖，為了測量無人機的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點A,B.無

人機懸停在C處，此時在A處測得。的仰角為36。52無人機垂直上升5m懸停在￡＞處，此時在8處測得D

的仰角為63。26',A8=10m,點A,B,C,。在同一平面內(nèi)，4,8兩點在CD的同側(cè).求無人機在C

處時離地面的高度.(參考數(shù)據(jù)：tan36°52'、0.75,tan63°26'、2.00)

【答案】15m

【分析】過點C作以/1AB廣點M,設(shè)則AM=(10+x)m,根據(jù)仰角，解直角三角形計算即

可.本題考查了仰角解直角三角形，分式方程的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點。作CM_L四于點M,設(shè)則AM=(10+x)m,

在RtaBDM中，/DBM=63°26',則tan/DBM=tan63°26z==2,

則DW=2x,CM=2A-5；在中，NACM=36°52',

o_Ca

茜r十解得：Z。,

經(jīng)檢驗，工=10是該分式方程的解.??.。0=21-5=15|11.

答：無人機在。處時離地面15m.

例4.（2024?廣東中山?三模）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識測量河

對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45°,再從C點出發(fā)沿斜坡走M(jìn)關(guān)到達(dá)斜坡上

。點，在點。處測得樹頂端A的仰角為30。，若斜面。尸的坡度為i=l：3（點七、C、3在同一水平線上）.

（1）求王剛同學(xué)從點C到點。的過程中上升的高度；（2）求大樹A5的高度（結(jié)果保留根號）.

【答案】（1）1米（2）（3+20）米

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點，靈活應(yīng)用所

學(xué)知識成為解題的關(guān)鍵.（1）如圖：過點。作O”_LCE交CE于點”，設(shè)OH=x米，C"=3"米，在RtACDH

中運用勾股定理列方程求解即可；（2）如圖，過點。作OG_LAB交人8于點G,設(shè)8c=），米，再證四邊形

DHBG為矩形可得DH=BG=1米、DG=BH=y+3,進(jìn)而得到AG=），-1,最后根據(jù)正切函數(shù)列方程求

解即可.

【詳解】（1）解：如圖：過點、D作DH工CE交CE『點〃,

由題意知CO=?J米，?.?斜面C77的坡度為i=l:3,「.)二彳，

CH3

設(shè)D”=x米，CH=3x米,.,在RtZ\CO〃中，DH2+CH2=CD2,

.?.3+(3%)2=(亞＞,解得：芭=1,9=一1(舍)，「.力”=1米.

答：王剛同學(xué)從點。到點。的過程中上升的高度為1米.

(2)解：如圖，過點。作0G_LAB交A8于點G,設(shè)8C=y米，

?;NDHB=/DGB=ZABC=90。，.二四邊形DHBG為矩形,

.?.Z)”=8G=1米，DG=BH=BC+CH=(y+3)(米),

VZ4CT=45°,...8C=AB=y米，/.AG=

33。。=塔

VZADG=30°,..?在RsADG中，

.?.3=立，解得：y=3+2?,

.??"=（3+2石）米.

y+33

答：大樹A8的高度是(3+26)米.

例5.(2024?江西南昌?模擬預(yù)測)如圖1,是南昌八一起義紀(jì)念塔，象征著革命的勝利.某校數(shù)學(xué)社團的同

學(xué)們欲測量塔的高度.如圖2,他們在第一層看臺EO上架設(shè)測角儀E/，從尸處測得塔的最高點A的仰角

為42。，測出Z)E=/?C=23m,臺階可抽象為線段C。，CQ=2()Gm,臺階的坡角為30。，測角儀E廠的高度

為2.5m,塔身可抽象成線段48.(1)求測角儀痔與塔身A8的水平距離：

(2)求塔身A8的高度.(結(jié)果精確到0.1)(參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,cos42°?0.74,Um42°?0.90,&x\.73)

【答案】(1)76m(2)53.6m

【分析】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解.

（1）延長A8交互）的延長線于點G,過點尸作FH_LAG于點H,過點C作CM_LDG于點M,則

GM=BC=23m,BG=CM,易得CM==106（m）,根據(jù)勾股定理得出DM=dCD?-CM，=30（m）,

最后FH=DE+DM+BC即可解答;（2）由（1）可知，切=76m,根據(jù)題意得出GH=EF=2.5m,BG=CM=106m,

ZAFG=42°,則tan/AF〃=—=bin42°=0,90,0.90/77,根據(jù)4?=47+G〃—BG,即可解答.

FH

【詳解】（1）解：如圖，延長AB交ED的延長線于點G,過點F作F〃_L4G于點"，過點C作CM_LQG

于點M,則GW=3。=23m,BG=GW,由題意可知，NCDM=30%CD=20Gm,CM=1cD=10x/5（m）,

/.DM=ylCD2-CM2=^（20>/3）?-（10V3）2=30（m）,FH=DE+DM+I3C=23+30+23=76（m）,

答：測角儀E尸與塔身AB的水平距離為76m：

（2）解：由（1）可知，/77=76m,由題意可知，GH=EF=2.5m,8G=CM=loV5m，Z4FG=42°,

A/J

tanZAFH=—=tan420工0.90,/V7?0.90/7/=0.90x76=68.4（m）,

FH

/.AB=AH+GH-BG^68.4+2.5-1073?53.6（m）,答：塔身43的高度約為53.6m.

例6.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）奇山秀水聚寶盆——湖南首屆旅游大會在張家界召開.如圖①為某景區(qū)山

地剖面圖，為給游客提供更好的游覽體驗，擬在山上修建觀光索道.如圖②所示為索道的設(shè)計示意圖，以

山頂。為起點，沿途修建AB、C。兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山腳A處，中途觀光平臺4C為50m,

且與4,平行.索道A6與水平線的夾角為15。，CD與水平線夾角為45。，A、〃兩處的水平距離4石為576m,

DF1AF,垂足為點尸.（參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.25,cos15°?0.96,Um15°?0.26,夜=1.41）

圖①圖②

(1)求索道A4的長(結(jié)果精確到U.1m)；(2)求水平距離的長(結(jié)果精確到0.1m).

【答案】(DA8的長約為600m(2)AF的長為1049m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.(1)通過解RtzMBE可求得A8的長；

(2)延長8c交。產(chǎn)于G,證明四邊形8ER7是矩形，可.得痔=8G,NCGD=/BGF=90°,再解RtZ\C/)G

可求解8的長，進(jìn)而可求解.

【詳解】(1)在Rt"6￡中，ZAEB=90°,4=15。，4E=576m,

???AB=上巳=k600(m),即AB的長約為600m：

cosAcos15°

(2)延長交力”于G,

BCX^.：\G

AEF

?/BC//AE,JNC8E=90°,丁DF工AF，/.ZAFD=90°，，四邊形成JG為矩形,

:.EF=BG,NCGD=NBGF=90。,VCD=AB=600m,ZDCG=45°,

:.CG=CDcosZDCG=600xcos450=600x—=300&，

2

AAF=AE+EF=AE+BG=AE^-BC+CG=576+50+300&x1049(m),即4尸的長為1049m.

模型3.擁抱模型

模型解讀

擁抱模型：如圖，分別解兩個直角三角形，其中公共邊8C是解題的關(guān)鍵。

重要等量關(guān)系：如圖1,/3C為公共邊；如圖2,BF+FC+CE=BE；如圖3,BC+CE二BE；

如圖4,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE。

模型運用

例I.（23-24九年級下?河南新鄉(xiāng)?期中）無影塔位于河南汝南城南，相傳冬至正午無塔影，故稱無影塔；相

傳為唐代和尚悟穎所建，故又稱'悟穎塔無影塔被國務(wù)院批準(zhǔn)為國家級重點文物保護單位.某校數(shù)學(xué)“綜

合與實踐''小組的同學(xué)欲測量其高度，他們把測量無影塔的高度作為一項課題活動，他們制訂了測量方案,

并利用課余時間完成了實地測量.他們從無影塔頂部A處測得無影塔附近一棵大樹的底部。處的俯角是〃，

從無影塔底部“處測得這棵樹頂部。處的仰角是尸，大樹的高x米.為了減小測量誤差；小組在測量兩個角

的度數(shù)和大樹高度時.都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如卜.表（不完整）.

課期測量無影塔的高度

成員組長：XXX組員：XXX、XXX、XXX

測量

測量角度的儀器，皮尺等

工具

J4

測量//說明：線段C。表示大樹，線段AA表示無影塔，點4、

示意￡/—￡。在同一條直線上，且點A、B、C、。都在同豎直

圖平面內(nèi).

41

DB

測量項目第一次第二次平均值

a59.8°60.2°a

測量

數(shù)據(jù)

P24.7°253°b

X5.96.1m

???

任務(wù)一：表中4=,b=,m=

任務(wù)二：請你幫小組的同學(xué)求出無影塔44的高度（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)sin25。《0.42,cos25°?0.90,

tan25。=0.47,6=1.73）；

【答案】任務(wù)一：60°,25°,6；任務(wù)二：無影塔的高度A8的高度22.1米.

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題以及平均數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題

的關(guān)鍵.任務(wù)一：由平均數(shù)的定義分別列式計算即可；

任務(wù)二：由銳角三角函數(shù)定義求出班＞的長，再由銳角三角函數(shù)定義求出AB的長即可.

,坐w八—59.80+60.2°.24.70+25.3°__5.9+6.1.

【I卜解】解：任務(wù)一：。=---------=60°,b=----------------=25c,m=---=6,

///

故答案為：60。，25°,6；

任務(wù)二：由題意可知，8=6米，ZA￡＞B=60°,NCBD=25。,

tanZCBD=—=tan25°?0.42,—=-?12.77（米）,

BD0.470.47

?.-tanZADB=^=tan60°=\/3,AB=y/3BD=1.73x）2.77?22.1（米），

HD

答：無影塔的高度AB的高度約為22.1米.

例2.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）赤水河畔的“美酒河”三個大字，是世界上最大的摩崖石刻漢字.小茜想測

量絕壁上"美''字AG的高度，根據(jù)平面鏡反射原理“J推出入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角

（如圖中=NDFC=NGFB）,具體操作如下：洛平面鏡水平放置于E＞處，小茜站在C處觀

測，俯角NMOE=45。時，恰好通過平面鏡看至U“美”字頂端A處（CO為小茜眼睛到地面的高度），再將平面

鏡水平放置于r處觀測，俯角/知/邛=36.9。時，恰好通過平面鏡看到“美”字底端G處.測得AE=163.3m,

C七=1.5m,點C,E,F,3在同一水平線上，點A,G,3在同一鉛垂線上.（參考數(shù)據(jù)：sin36.9°?0.60,

cos36.9°?0.80,tan36.9°工0.75)

A

(1)CQ的高度為m,"的長為m；⑵求“美”字AG的高度.

【答案】(1)1.5,2(2)41.2m

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：

(1)證明△DCE是等腰直角三角形，即可求得OC=CE=1.5m,解直角三角形即可求得C尸=2m；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到A8=3E=163.3m,進(jìn)一步求得8尸=162.8m,然后解直角三角形即

nJ求得BG=122.1m,即“J求得AG=41.2m.

【詳解】(1)解：???47力石=45。，.?./。瓦;=45。，

■：DCLBC,..△OCK是等腰宜為二角形，..DC-CE-\.5m,

在尸中，ZDFC=36.9°,DC=15m,J=M=2.5(m),

sin36.900.60

CF=VOF2-DC2=>?2-52-l-52=2(m)；故答案為：1.5,2；

(2)-.ZDEC=45°,/.ZA￡?=45O,/.ZBAE=45°/.AB=BE=163.3m,

由題意可知NMDF=36.9°,j.NGFB=ZDFC=ZMDF=36.9。

,/EF=CF—CE=2—1.5=0.5(m),:.BF=163.3—0.5=162.8(m).

在RlABFG+，BG=tanNGFB?HF=0.75x162.8=122.1(m),

：AG=163.3-122.1=4l.2(m),即“美”字的高度AG約為41.2m.

例3.(2024.湖南婁底.模擬預(yù)測)如圖，某小山。￡高412米，其斜坡。。的坡度為，=1:1,它的前面有一

座建筑物.為了測量建筑物A8的高度，在山頂。和坡底C測的建筑物頂端A的俯角和仰角分別為30。，

60。.求建筑物A8的高度.(結(jié)果精確到0.1米，1.41,73?1.73)

【答案】建筑物A〃的高度約為130.8米.

【分析】本題主要考杳了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

由DE=412米，斜坡。C的坡度為i=l：l，得到CK=DE=412米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到8C=走AB,

3

過A作則A”=4￡=412+正AB,HE=AB,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解答.

3

【詳解】解：在Rtz\C￡＞七中，,?，DE=412米，斜坡0c的坡度為i=1：1,二CE=OE=412米，

在RtZ\A8C中，VZACB=60°,AtanZACB=—=tan60°=^,BPBC=—AB,

BC3

過A作AHJ.。石于“，貝ljA〃=8E=412+且A8,HE=AB，

3

r-r-/r-\

在RSAO“中，?！?乎412+乎A3,

/

???DE=DH+HE=—[412+—.^]+AB=4\2,：.AB比130.8.

33

答：建筑物AB的高度約為130.8興.

習(xí)題練模型

1.12024?河北保定?一模）如圖，為了測量空中某點A離地面的高度，小敏利用測角儀在點3、C分別測得A

的仰角乙4C。為37。，NABD為45。,地面上點4、C、。在同一水平直線上，3c=20m,則點A離地面

的高度為。長為（）

A.30mB.80mC.60mD.50m

【答案】C

【分析】本題考查三角函數(shù)解直角三角形.根據(jù)題意可設(shè)4）=BO=x,I耳利用△AC力中tanZACD即可得到

本題答案.

【詳解】解：由題意可知，ADLCD,

.?./AOC=90。，

為45。，

???DAB=90°-45°=45°=ZADB.

???設(shè)AO=8O=x,

,?BC=20m,

，DC=20+x,

AJ）r

???在中，tan37。=——=——大0.75,

DC20+x

解得：A~60.

點A離地面的高度40長為60m

故選：C.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）陳垣是中國杰出的歷史學(xué)家、教育家，陳垣故居位于廣東省江門市，故居的前面

盤立著陳垣先生的半身塑像，如圖，從塑像正前方距離底座。點2米的A點處測量，塑像底部。點的仰角

為45。，頂部8點的仰角為60。，點8,C,。在同一條直線上，則塑像的高度8c為（）

爸A

A.（2&—2）米B.半米C.僅由-2）米D.（6-1）米

【答案】C

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在Ra4X:中，OC=ADtanND4C=2,在RtZ\A5。中，

8Q=AZ>tan/84O=2G，即可求出答案.

【詳解】解：由題意得，在RSADC中，

DC=AOtanZ.DAC=2xtan45°=2,

在RtAABD中，BD=A[>tanWBAD=2tan60c=?5,

：.CB=BD-DC=（2>[3-2^米.

故選：C

3.（23-24九年級上.山東濟寧?階段練習(xí)）如圖所示，熱氣球的拱測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部8

處的仰角為。，看這棟樓底部C處的俯角為用，熱氣球4處與樓的水平距離為120m,則這棟樓的高度為（）

A.120(tana+tan^)mB.120(tana-tan/3)\wC.120(sin(z-sin/7)mD.120(sina+tan/?)m

【答案】A

【分析】過點A作AO_Z3C,垂足為。，根據(jù)題意可得：AO=120m,然后分別在R^ABD和R^ADC中,

利用銳角三角函數(shù)的定義求出8。和CO的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答.

【詳解】解：過點A作AO/8C,垂足為。，

由趣意得：AO=120/〃，

在RlAuAB。中，ZBAD=a,

BD=AD-(ana=120tana(m),

在R3ADC中，ZDAC=p,

CD=AD-(anfl=120tan/7(m),

BC=BDiCD=(120tailaI120tanfl)=120(3】aItan/?)m,

A這棟樓的高度為12(Xtan?4-tan/?)m,

故選：A.

4.(23-24九年級上?河北保定?期末)圖1,2分別是某吊車在吊一物品時的實物圖與示意圖，已知吊車底盤CD

的高度為2米，支架AC的長為4米，AC的坡度為1?布,吊繩48與支架4C的夾角為80。，吊營AC與地面

成70。角，求吊車的吊臂頂端A點距地面的高度是()米？(精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sinl(T=cos80o^).17,

cosl00=sin80°M).98,sin200=cos70°^0.34,Uin70°*2,75,sin70°?0.94)

圖1圖2

A.13.1B.12.9C.12.5D.11.3

【答案】A

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，由題意可得J.〃巴

AE±HE,8=2米，AC=4米，ZS4BC=8O°,ZACE=70°,由8c的坡度為］：石，可得NBC〃=30。,

進(jìn)而得到NAC8=80。，即得NABC=NAC8,得到AB=AC,過點A作AW_L8C于M,可得CM=8M=2

米，解R^ACM得4。=黑=當(dāng)米，進(jìn)而解Rt~4CE可得人￡=迎乂0.94。11.1米，即可得到

。171717

A￡+C￡>=13.1米，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)瘦.

【詳解】解：如圖，由題可知，BHLHE,AEA.HE,8=2米，4c=4米，Z4BC=80°.ZACE=70°,

VBC的坡度為1歷,

?i_1_x/3

??Ian/BCH------――^="——,

CH63

工/BCH=30。，

???ZBC/7+ZACB+ZACE=18O°,

:.ZACB=80°,

*.?ZABC=80°.

JN4AC=Z4C8,

JAB=AC,

過點A作AM_L3。于M,

???CN=8M=2米,

???在R^ACM中，CM=2米，ZAC5=80°,

CM

???cosNACB=—=cos80°^0.17,

AC

喈米,

??.AC=

0.170.17

?（X）

???在ACE中，AC=」米，ZACE=70°,

17

4/7

—=sinZACE=sin70°?0.94.

AC

.Ar200.188-1業(yè)

..AE=-----x0.94=-----=11.1米，

1717

:.AE+C￡)=1L1+2=13.1米，

，點A到地面的距離為13.1米,

故選：A.

A

圖2

5.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，建筑物CO高度為17m,從建筑物的樓頂A測得。點的俯角。為35。,

測得。點俯角夕為45。，則的長為m.（已知tana=0.70,結(jié)果保留一位小數(shù).）

【答案】56.7

【分析】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問題，矩形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，過。作OESA8于點

E,則四邊形8C￡應(yīng)是矩形，得CD=BE=17m,BC=DE,設(shè)A8=8C==,則AE=（x-17）m,

再根據(jù)解直角三角形和解方程即可求解，根據(jù)題意條件并結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，過。作點:E,

/.LEBC=NBEC=乙DCB=90°,

???四邊形3CDE是矩形，

ACD=BE=17m,BC=DE,

由題意得：ZEDA=a=35°,ZBC4=/?=45°,

???ZBAC=ZBCA=45°,

???AB=BC=DE,

設(shè)AB=8C=OE=AHI,則AE=（x-⑺m,

Ap

在中，tanNEDA=-----,

DE

:.tan350=^^=0.70,

X

解得：x?56.7,

經(jīng)校驗：x=56.7為原方程的解，且符合題意，

，AB=56.7,

故答案為:56.7.

6.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）2024年4月25日20時59分，運載火箭托舉著神舟十八號載人飛船，在酒

泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空，送航天員奔赴“天宮”，如圖，神舟十八號載人飛船從地面。處成功發(fā)射，當(dāng)飛船

到達(dá)點A時，地面。處的雷達(dá)站測得4）=4000米，仰角為37。，0.3秒后，飛船直線上升到達(dá)點8處，此

時地面C處的雷達(dá)站測得6處的仰角為45。，點在同一直線上，已如兩處相距460米，則飛船

從A到8處的平均速度為米/秒.（結(jié)果精確到1米;參考數(shù)據(jù)：疝37。、0.60.8537。乏0.80,匕1137。穴0.75）

【答案】H33

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得：NBOC=90。，先在RsAO/）中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AO,DO的長，從

而求出。。的長，然后在RS80C中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BO的長，從而求出A8的長，進(jìn)行計算

即可解答.

【詳解】由題意得：N80C=90。,在Rt△AOD中,AO=4000米,ZA￡>0=37。、

?'-DO=-空7b黑=：QA（米）40=布?xì)v^+=_04=4000,

tanZADO0.753丫（3J3

解得：。4=2400米，00=3200米，

???8=460米，

/.OC=ODCD=3200460=2740米,

<Ri^BOC中,乙BCO=45。,

:.BO=OCtan45°=2740米,

AB=08-04=2740-2400=340米，

R40

???飛船從A到B處的平均速度=而。1133（米/秒）,

故答案為：1133.

7.（2024?河南?模擬預(yù)測）由綠地集團耗資22億建設(shè)的“大玉米”位于河南省省會鄭州巾鄭東新區(qū)，因為其是

圓柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計，因此得名，如今已經(jīng)成為C8。的一座新地標(biāo)建筑.某數(shù)學(xué)興

趣小組為測量其高度，一人先在附近一樓房的底端A點處觀測“大玉米”頂端C處的仰角是45。，然后爬到該

樓房頂端8點處觀測“大玉米”底部。處的俯角是30。.已知樓房A8高約是162m,根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求“大

玉米”的高.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：及2sl.41,6f.73）

C

AD

【答案】280米

【分析】在即A/W。中由邊角關(guān)系求出4。的長，在心ZkAC。中，求出C。即可.

【詳解】解：如圖,

由題意可知，ZCAD=45°,NEBD=30°=NADB,4B=OE=162米,

A8=華=

在RSA8D中，Vtan30°=-，：.AD&162G（米），

A。T

在R@4C。中，ZCAD=45°,

.\CD=^D=162X/3?280（米），

答：“大玉米”的高約為28（）米.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

8.（2024.浙江?二模）高樓A3和斜坡CO的縱截面如圖所示，斜坡。。的底部點C與高樓43的水平距離C3

為30米，斜坡C。的坡度（坡比）i=l:2.4,坡頂。到8C的垂直距離。石=10米，在點。處測得高樓樓頂

點A的仰角為50。，求樓的高度A8（結(jié)果精確到05米）.（參考數(shù)據(jù):Sin500Ho.766,cos50c?0.643,

tan50°?1.192)

【答案】高樓的高度A8為17.2米

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中得仰角俯角問題，坡度坡角問題，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題

目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

過點。作垂足為尸，根據(jù)題意川.得。石=“=10米，DF=BE,先利用斜坡8的坡度，求出CE

的長，從而求出庭;，力產(chǎn)的長，然后在尸中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出好的長，進(jìn)而即可解答.

【詳解】解：如圖，過。作。尸_LAB,

/DFB=Z.FBE=NBED=90°,

???四邊形戶是矩形，

DE=BF=\0米，DF=BE,

由題意，得D崇F=，1，

CE2.4

???CE=2ADE=2Ax10=24米，

???BC=30米，

???。尸=8E=30-24=6米,

Ap

在R^AO/中，tanZ^DF=tan50°=—

DF

，AF=DFt<ui50°u6x1.192=7.152