PAGE1第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)用不等式表示不等關(guān)系；掌握等式性質(zhì)和不等式性質(zhì)。2.會(huì)利用不等式性質(zhì)比較大小。3.會(huì)利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)易的求范圍與證明。4.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系。5.掌握一元二次方程的求解方法,掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的分布情況。6.掌握?qǐng)D象法解一元二次不等式，會(huì)解簡(jiǎn)單的能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的分式不等式。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的內(nèi)容，成立條件及公式的證明。2.難點(diǎn)利用基本不等式的性質(zhì)及變形求相關(guān)函數(shù)的最值及證明。知識(shí)點(diǎn)01實(shí)數(shù)大小的比較1、如果是正數(shù)，那么；如果等于，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過來也對(duì).2、作差法比大?。孩?；②；③3、不等式性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變【即學(xué)即練】1．若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由不等式性質(zhì)知，兩邊同時(shí)乘以，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，，，，故，即，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，可得，故D錯(cuò)誤．故選：C2．若實(shí)數(shù)，，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，，滿足，，，所以，∴；又，∴；∴．故選：A．知識(shí)點(diǎn)02不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號(hào)（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)可開方性【即學(xué)即練】1．若，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【詳解】對(duì)于A，若，滿足，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，即得，又因?yàn)?，則，所以B正確，對(duì)于C，若，滿足，則，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則，所以D錯(cuò)誤，故選：B.2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)椋裕约?，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于B，，取，，，，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，取，，，，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，取，，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.知識(shí)點(diǎn)03基本不等式基本不等式:,,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．如果，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”號(hào)成立.【即學(xué)即練】1．已知，且，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由，即，又，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A對(duì)，B錯(cuò)；由，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C、D錯(cuò).故選：A2．存在三個(gè)實(shí)數(shù)，滿足下列兩個(gè)等式：①；②，其中表示這三個(gè)實(shí)數(shù)中的最大值，則（

）A．的最大值是2 B．的最小值是2C．的最大值是 D．的最小值是【答案】B【詳解】由題意可知，中有2個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)正數(shù)，其中是負(fù)數(shù)，，則，所以，則，且，所以，即，所以的最小值為2.故選：B知識(shí)點(diǎn)04利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；【即學(xué)即練】1．已知

，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以最大值為.故選：A2．已知且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【詳解】已知，且，法一：由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為；法二：由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，則的最小值為．故選：B.知識(shí)點(diǎn)05基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）【即學(xué)即練】1．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取得等號(hào)．故選：A．2．若，，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．5【答案】B【詳解】因?yàn)?，，且，則，，同理，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B.知識(shí)點(diǎn)06三個(gè)正數(shù)的基本不等式如果，，，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）【即學(xué)即練】1．設(shè)表示，，，中最大的數(shù)，例如.已知，均為正數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則.故選：B2．若表示三個(gè)數(shù)中的最大值，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【詳解】設(shè)，則，，，因，則得．又因，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為2．故選：B.知識(shí)點(diǎn)07一元二次不等式的有關(guān)概念1、一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：①（其中均為常數(shù)）②（其中均為常數(shù)）③（其中均為常數(shù)）④（其中均為常數(shù)）2、一元二次不等式的解與解集使某一個(gè)一元二次不等式成立的的值，叫作這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集.將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.【即學(xué)即練】1．設(shè)集合，.若中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】或.因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為，，，根據(jù)對(duì)稱性可知，要使中恰含有一個(gè)整數(shù)，則這個(gè)整數(shù)為2，所以有且，即，即，即.故選：B.2．關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】原不等式可化為，若，則不等式的解集是，不等式的解集中不可能有個(gè)正整數(shù)；所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中個(gè)正整數(shù)分別是，，，，令，解得,所以的取值范圍是．故選：B．知識(shí)點(diǎn)08四個(gè)二次的關(guān)系1、一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．2、二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根()的解集()的解集【即學(xué)即練】1．關(guān)于的方程有兩根，其中一根小于2，另一根大于3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則由題意可知，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C．2．若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】B【詳解】關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，即方程有兩個(gè)實(shí)根，所以，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，得.故選：B.知識(shí)點(diǎn)09一元二次不等式的解法1：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；2：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無解3：根據(jù)不等式，寫出解集.【即學(xué)即練】1．已知二次函數(shù)，若不等式的解集為，則函數(shù)圖像為（

）A．開口向上，對(duì)稱軸為的拋物線 B．開口向上，對(duì)稱軸為的拋物線C．開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線 D．開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線【答案】C【詳解】因不等式的解集為，則的根為或2，則由韋達(dá)定理可得.又注意到，則開口向下，對(duì)稱軸為.故選：C2．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B知識(shí)點(diǎn)10解分式不等式1、定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。2、分式不等式的解法①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤【即學(xué)即練】1．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題可知的根為1和2，代入方程可得，，不等式等價(jià)于，則解集為，故選：D.2．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，則不等式解集為.故選：B題型01一元二次不等式（含參）【典例1】“”是“關(guān)于的不等式有解”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】若關(guān)于的不等式有解，則，得.由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件.故選：C.【典例2】對(duì)于給定實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式為，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.【變式1】關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【詳解】，所以不等式的解集為，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.故選：A.【變式2】對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)，規(guī)定．(1)證明：關(guān)于的不等式的解集為；(2)設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，且，求自然數(shù)的所有取值．【答案】(1)證明見解析；(2)或或.【詳解】（1）不等式可化為．當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，所以．綜上所述，關(guān)于的不等式的解集為.（2）不等式，即，也即，當(dāng)時(shí)，，解得，，滿足．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，所以，即，解得或．?dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，滿足．當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，滿足．綜上，或或.【變式3】設(shè)，．(1)若，函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的值域；(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?，且關(guān)于的不等式有正數(shù)解，求的取值范圍；(3)若函數(shù)的定義域?yàn)?，且使得關(guān)于的不等式成立的任意一個(gè)，都滿足不等式，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）時(shí)，，因?yàn)?，，，，所以值域?（2），令得或，因?yàn)榈膱D象是開口向上的拋物線，要使得關(guān)于的不等式有正數(shù)解，則要求，解得，所以的取值范圍是.（3），令得或，由得，要使得關(guān)于的不等式成立的任意一個(gè)，都滿足不等式，則，當(dāng)即時(shí)，由得，所以成立，符合題意；當(dāng)即時(shí)，由得，所以成立，符合題意；當(dāng)即時(shí)，由得，由得，所以，綜上，的取值范圍是.題型02由一元二次不等式的解確定參數(shù)【典例1】已知不等式的解集為或，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵不等式的解集為或，可得,是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得：，，且，所以的解集，即，所以解集為，故選：A.【典例2】已知，且關(guān)于x的不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．命題“，”為假命題D．若的解集為M，則【答案】C【詳解】因?yàn)?，且關(guān)于x的不等式的解集為，所以，且的根為和2，所以，得，，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，，因?yàn)?，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，即為，即，無解，故命題“，”為假命題，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭怯上蛏掀揭埔粋€(gè)單位，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C．【變式1】已知二次不等式的解集為，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，即，解得：或．因?yàn)橛袃蓚€(gè)不等根，所以，解得：或，則的取值范圍是．故選：B【變式2】已知二次函數(shù)．(1)若的解集為，求ab的值；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)3(2)答案見解析【詳解】（1）若的解集為，則1，b是方程的根，由，解得：，由解得：，所以；（2）由二次函數(shù)知，不等式整理得，即，由得①當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于：，若，即時(shí)，解集為；若，即時(shí)，解集為：；若，即時(shí)，解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于：，解集為綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．【變式3】已知關(guān)于x的不等式的解集為或.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)，，且滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)8【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，可?和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，方法一：可得，解得；方法二：由1是的根，則，解得，將代入得，解得或，所以.（2）由（1）知，可得，且，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立所以的最小值為8.題型03一元二次方程根的分布問題【典例1】“”是“一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)根”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】設(shè)一元二次方程的兩個(gè)正實(shí)根分別為、，由題意可得，解得，因?yàn)椋?，“”是“一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)根”的必要不充分條件.故選：B.【典例2】已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于2的相異實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．或 B．C． D．或【答案】B【詳解】設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為,則由根與系數(shù)的關(guān)系，知所以由題意知，即，解得.故選：B 解決一元二次方程的根的分布時(shí)，常常需考慮：判別式，對(duì)稱軸，特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向.【變式1】“一元二次方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由一元二次方程的兩個(gè)根為，又方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，，，即“一元二次方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根”的充要條件為，則其充分不必要條件的范圍應(yīng)為的真子集，結(jié)合選項(xiàng)可得選項(xiàng)C符合題意，故選：C.【變式2】已知集合.(1)若A是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若為非空集合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若A是空集，則方程無實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，不符合題意；所以，，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，.所以方程至少有一個(gè)正實(shí)根.①當(dāng)時(shí)，，解得，所以，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，則且，若時(shí)，，此時(shí)，符合題意；當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，設(shè)為，且方程有兩正根或一正根和－負(fù)根，所以或，解得或.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【變式3】已知關(guān)于x的方程（其中均為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根.(1)若，求m的取值范圍；(2)若滿足，且，求p的取值范圍.(3)若為兩個(gè)整數(shù)根，p為整數(shù)，且，求.【答案】(1)(2)(3)或【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題意，若時(shí)，方程不是一元二次方程，沒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則，解得且，所以的范圍是.（2），方程為，，則，又，即∴，即，所以，解得．所以的取值范圍為．（3）依題意：，且，，，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以也是整數(shù)，∴或，時(shí)，，又且，∴，時(shí)，，又且，∴．綜上，或．題型04一元二次不等式的恒成立（有解）問題【典例1】“”是“關(guān)于x的一元二次不等式的解集為R”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】充分性：若，，一元二次不等式的解集為，即充分性不成立；必要性：若一元二次不等式的解集為，則，即必要性成立.因此，“”是“一元二次不等式的解集為”的必要不充分條件.故選：B.【典例2】已知，若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【詳解】∵，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，要想關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B.1、一元二次不等式在R上恒成立的條件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).注：①已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；②已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．③含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.2、一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)；(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.具體如下：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立注：①。②【變式1】“”是“在上恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】根據(jù)題意，若在上恒成立，所以，在上恒成立，由“對(duì)勾函數(shù)”可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，可得，所以，在上恒成立“的充要條件是”“，因?yàn)?，因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要條件.故選：A.【變式2】設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集：(2)若不等式對(duì)都成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）不等式，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，不等式無解；當(dāng)時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.（2），不等式，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以的取值范圍是.【變式3】（1）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知，求關(guān)于x的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案見解析【詳解】（1）根據(jù)題意，恒成立，顯然當(dāng)時(shí)，不成立，則，解得；（2），當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，令，則，或，此時(shí)，∴或，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，綜上所述:當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解集為.題型05“1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值【典例1】已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，若，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，即，所以的周期為，，，因?yàn)?，，所以，，由基本不等式有：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.【典例2】已知，且，，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：A.（1）若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實(shí)施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).模型1已知正數(shù)滿足，求的最小值。模型2已知正數(shù)滿足求的最小值。（2）常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：①根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；②把確定的定值(常數(shù))變形為1；③把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；④利用基本不等式求解最值．（3）有些問題從形式上看，似乎具備和與倒數(shù)和的一些特征，但細(xì)究起來，又存在明確的區(qū)別，求解此類問題時(shí)，需要對(duì)條件和結(jié)論中的表達(dá)式進(jìn)行合理、巧妙的配湊與構(gòu)造;從而變形、構(gòu)造出和與倒數(shù)和的關(guān)系.【變式1】如圖，某農(nóng)戶計(jì)劃用的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的矩形菜地．設(shè)該矩形菜地與墻平行的邊長(zhǎng)為，與墻垂直的邊長(zhǎng)為．(1)當(dāng)為何值時(shí)，面積取得最大值？最大面積為多少？(2)求的最小值．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大面積為(2)【詳解】（1）由題意得，，都為正數(shù)，則該菜地的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大面積為．（2）由，，都為正數(shù)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．【變式2】已知，是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．【答案】【詳解】解法1：設(shè)，，則，所以．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為．解法2：因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為．解法3：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，即，時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為．【變式3】求最值：(1)已知，且滿足，求的最小值；(2)已知，求的最大值；(3)已知，且滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為；（2）因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.題型06基本不等式（條件最值問題）【典例1】若正數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．15 B．18 C．24 D．36【答案】B【詳解】由，得，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是18.故選：B【典例2】若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，又因?yàn)椋?，即得，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最大值是故選：B.【變式1】已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以恒成立等價(jià)于恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故.故選：A【變式2】已知實(shí)數(shù)，，滿足，求的最小值．【答案】【詳解】解法1：由想到“均值換元法”，于是引入新的參數(shù)，設(shè)，，，其中．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是．解法2：由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即的最小值是．解法3：由均值不等式有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．即的最小值是．【變式3】已知實(shí)數(shù)，，滿足，求的最小值.【答案】【詳解】由，得，所以，即或，解得或，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，取得最小值.題型07與基本不等式有關(guān)的恒成立問題【典例1】已知，且，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，可得對(duì)任意的恒成立，又因?yàn)?，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為，所以，可得，即，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【典例2】，不等式恒成立，則正數(shù)的最小值是（

）A．8 B．16 C．27 D．36【答案】B【詳解】由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，由題意，∴正數(shù)的最小值是16.故選：B若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.【變式1】已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，首先，令，解得或，?dāng)時(shí)，解，得到，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)原不等式無解，當(dāng)時(shí)，解，得到，綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式無解，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，（2）因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，所以恒成立，故，即，因?yàn)?，所以，，即，故，令，從而，又，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得(負(fù)根舍去)，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式2】求解下列各題：(1)求的最大值.(2)求的最小值.(3)已知，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)的最大值為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.（3）因?yàn)?，且，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，則，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式3】求下列代數(shù)式的最值：(1)已知，求的最小值；(2)已知，，且滿足.求的最小值；(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)最小值為5(2)最小值為18(3)最大值為9.【詳解】（1）因?yàn)?，則，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為5.（2）因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為18.（3）不等式恒成立化為恒成立，又因?yàn)?，所以，因?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為9.題型08不等式與實(shí)際問題的關(guān)聯(lián)【典例1】某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米造價(jià)為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元．如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，那么房屋的總造價(jià)最低為元．【答案】【詳解】設(shè)房屋底面一邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為m，所以房屋的總造價(jià)為，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．【變式1】某工廠建造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價(jià)為100元，池壁每平方米的造價(jià)為80元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？【答案】當(dāng)水池設(shè)計(jì)成底面邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，為198400元．【詳解】解：設(shè)池底的一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，總造價(jià)為元，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)水池設(shè)計(jì)成底面邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，最低為198400元．【變式2】某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長(zhǎng)方形且面積為的三級(jí)污水處理池．由于地形限制，該處理池的長(zhǎng)、寬都不能超過16m，且高度一定．如果四周池壁的造價(jià)為400元/，中間兩道隔墻的造價(jià)為248元/，池底造價(jià)為80元/，那么如何設(shè)計(jì)該處理池的長(zhǎng)和寬，才能使總造價(jià)最低？（池壁的厚度忽略不計(jì)）

【答案】長(zhǎng)為m，寬為m時(shí)總造價(jià)最低．【詳解】設(shè)處理池的長(zhǎng)和寬分別為，，高為，總造價(jià)為，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即，時(shí)取到等號(hào)，故長(zhǎng)為m，寬為m時(shí)總造價(jià)最低．【變式3】已知、、、為正實(shí)數(shù)，利用平均不等式證明（1）（2）并指出等號(hào)成立條件，然后解（3）中的實(shí)際問題．(1)請(qǐng)根據(jù)基本不等式，證明：；(2)請(qǐng)利用（1）的結(jié)論，證明：；(3)如圖，將邊長(zhǎng)為米的正方形硬紙板，在它的四個(gè)角各減去一個(gè)小正方形后，折成一個(gè)無蓋紙盒．如果要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少米?【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)米【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）解：由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令,得，即，故.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（3）解：做成的長(zhǎng)方體的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，高為.所以.由（2）中已證的不等式，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，因此，綜上所述，當(dāng)米，長(zhǎng)方體盒子的容積取到最大值立方米.題型09函數(shù)與方程的思想【典例1】關(guān)于的不等式的解集是，那么不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以是方程的兩根，且，由韋達(dá)定理可得，即，則不等式，解得.故選：A【典例2】已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．的解集為【答案】C【詳解】由題意知，和3是方程的兩根，且，則有，故得.對(duì)于AB，由和，可推得，故AB均錯(cuò)誤；對(duì)于C，因或故，故C正確；對(duì)于D，由上分析，不等式可化為，因，故可解得，即的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式1】不等式的解集為，則不等式的解集為（

）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意可知和3是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且；因此，解得；所以不等式可化為，即，解得或，即不等式的解集為故選：A【變式2】已知關(guān)于的不等式的解是，則關(guān)于的不等式的解為．【答案】或【詳解】由關(guān)于的不等式的解是，則和是方程的兩個(gè)實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，整理得，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式轉(zhuǎn)化為，解得；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式轉(zhuǎn)化為，解得．綜上關(guān)于的不等式的解為或．故答案為：或．【變式3】已知不等式的解集為，則不等式的解集為．【答案】【詳解】由題意，為方程的根，且，則，解得，不等式，即為，即，解得，則不等式的解集為．故答案為：題型10分類討論思想【典例1】已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由題意可知的兩根為和，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得.（2）當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，解得或；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，即，解，得；當(dāng)時(shí)，即，解，得；當(dāng)時(shí)，即，解，得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【典例2】設(shè)函數(shù).(1)若，求的解集；(2)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求a的取值范圍；(3)解關(guān)于的不等式：.【答案】(1)(2)(3)答案見解析【詳解】（1）由函數(shù)，若，可得，又由，即不等式，即，因?yàn)?，且函?shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，所以不等式的解集為，即的解集為.（2）由對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)恒成立，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的取值范圍是.（3）依題意，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式可化為，此時(shí)，所以不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式化為，①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【變式1】已知函數(shù)，a，(1)若關(guān)于x的不等式的解集為或，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)解關(guān)于x的不等式【答案】(1)；(2)答案見解析【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為或，所以和1是方程的兩個(gè)根，所以，解得；（2）不等式可化為：，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為空集，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為【變式2】已知關(guān)于實(shí)數(shù)的函數(shù)．(1)若的解集為，求的值；(2)解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）若的解集為，則，，，，∴；（2）整理可得，配方得分以下情況討論：1．時(shí)，，解得或2．時(shí)，，解得3．時(shí)，，解得或綜上所述：當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為【變式3】設(shè)函數(shù)的圖象過點(diǎn)．(1)若，，求的最小值；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，由，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取得最小值為.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，得，則不等式的解為；當(dāng)時(shí)，得，則不等式的解為或；當(dāng)時(shí)，得，則不等式的解為；當(dāng)時(shí)，得，則不等式的解為或；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.題型11化歸與轉(zhuǎn)化的思想【典例1】對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立.所以，其中，設(shè)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)，取最小值，最小值為，所以，故選：A.【典例2】已知.若恒成立，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由，則恒成立，又，可得，所以恒成立，即，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故選：A【變式1】已知，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】A【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，恒成立，，解得.故選：A.【變式2】已知，對(duì)于恒成立，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】對(duì)于恒成立，且均單調(diào)遞增，則，所以，所以則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取的最小值為2.故選：B.【變式3】已知，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【詳解】，，則，不等式恒成立，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為.故選：B.1．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)于不等式，此時(shí)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足；當(dāng)時(shí)，對(duì)于不等式，即，解得：；當(dāng)時(shí)，對(duì)于不等式，即，解得：，綜上要使對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，即，故選：B2．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以．故選：C.3．已知，則下列式子一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，所以A錯(cuò)誤．對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，但，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，因?yàn)椋?，則，所以C正確．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不符合，所以D錯(cuò)誤．故選：C.4．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D5．已知長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積為，則其周長(zhǎng)的最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】D【詳解】由題意得，則，則，等號(hào)成立時(shí)，故周長(zhǎng)的最小值為.故選：D6．實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.7．若關(guān)于的一元一次不等式組有2個(gè)負(fù)整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】已知，解不等式得：；又因?yàn)?，關(guān)于的一元一次不等式組有2個(gè)負(fù)整數(shù)解，則這兩個(gè)解為：，，所以，.故選：B.8．函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【詳解】