北師大版

數(shù)學

選擇性必修第一冊第二章圓錐曲線4.2直線與圓錐曲線的綜合問題課標定位素養(yǎng)闡釋1.掌握直線與圓錐曲線相交弦的長及中點弦問題的解法.2.掌握圓錐曲線中定點與定值問題的解法.3.理解和掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用.自主預(yù)習新知導學一、直線與圓錐曲線的相交弦長【問題思考】1.(1)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有哪些?(2)兩點間的距離公式是怎樣的?答案:B二、中點弦【問題思考】1.(1)中點坐標公式是什么?(2)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式是什么?答案:x+2y-4=0【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)過拋物線y2=2px(p>0)焦點的弦中最短弦的長是2p.(

)(3)與雙曲線只有一個交點的直線為其切線.(

)(4)過點(0,1)作直線,使它與曲線y2=4x僅有一個公共點的直線只有2條.(

)√√××合作探究釋疑解惑探究一弦長問題【例1】

已知雙曲線x2-=1,過點P(2,1)作一直線交雙曲線于A,B兩點.若P為AB的中點,求:(1)求直線AB的方程;(2)求弦AB的長.例題條件不變,試判斷A,B兩點在雙曲線的左支上還是在右支上.有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法(1)涉及弦長的問題,應(yīng)熟練利用根與系數(shù)的關(guān)系,運用設(shè)而不求法計算(2)涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系,運用設(shè)而不求法簡化運算;(3)涉及過焦點的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解.【變式訓練1】已知直線y=2x-2交拋物線y2=8x于A,B兩點,求線段AB的中點M的坐標及弦AB的長.探究二中點弦問題解決中點弦問題主要有如下兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:將直線方程代入圓錐曲線的方程,消元后得到一個一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式建立等式求解.(2)點差法:若直線l與圓錐曲線C有兩個交點A和B,一般先設(shè)出交點坐標A(x1,y1),B(x2,y2),將兩個坐標分別代入曲線方程,通過作差,構(gòu)造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,從而建立中點坐標和斜率的關(guān)系式.【變式訓練2】

過點Q(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,若弦AB恰被點Q平分,求弦AB所在直線的方程.經(jīng)驗證,此時直線與拋物線相交.故弦AB所在直線的方程為y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.探究三定點與定值問題圖2-4-2(1)求橢圓C的標準方程.(2)設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于A,B兩點,點A關(guān)于x軸的對稱點為A'(A'與B不重合),則直線A'B與x軸是否交于一個定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.1.求定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊值入手,求出表達式,再證明這個值與變量無關(guān).(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.2.定點的探索與證明問題(1)探索直線過定點時,可設(shè)出直線方程為y=kx+b,然后利用條件建立b,k等量關(guān)系進行消元,借助于直線系方程找出定點.(2)從特殊情況入手,先探求定點,再證明一般情況.【變式訓練3】

已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,并滿足OA⊥OB(O為坐標原點),求證:(1)A,B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積均是一個定值;(2)直線AB經(jīng)過一個定點.

規(guī)范解答與圓錐曲線有關(guān)的綜合問題

圖2-4-3(2)不存在符合題設(shè)條件的直線l.證明如下:①若直線l垂直于x軸,因為直線l與橢圓C2只有一個公共點,1.本例(1)是利用待定系數(shù)法求方程.2.本例(2)中情況①不能忽略.3.本例(2)中利用Δ=0找到參數(shù)m與k之間的關(guān)系.隨堂練習答案:A2.已知直線l與拋物線C:y2=2x交于A,B兩點,O為坐標原點,若直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,且滿足k1k2=,則直線l過定點(

).A.(-3,0) B.(0,-3)C.(3,0) D.(0,3)答案:A3.已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線與該拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則

的最小值是(

).A.4 B.8 C.12 D.16答案:B答案:ABD答案:3x+4y-7=06.已知直線y