第二十四章圓一．選擇題（共10小題）1．（2025?綿陽）如圖，在邊長為2的正六邊形中，連接，點在上運動，點為的中點，當(dāng)△的周長最小時，A． B． C．12 D．132．（2025?綿陽）將一把折扇展開，可抽象成一個扇形，若該扇形的半徑為2，弧長為，則扇形的圓心角大小為A． B． C． D．3．（2025?當(dāng)陽市模擬）已知的半徑為5，點在內(nèi)，則的長可能是A．7 B．6 C．5 D．44．（2025?任城區(qū)一模）如圖，、是的兩條直徑，是劣弧的中點，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．5．（2025?高郵市校級模擬）已知的半徑是6，點是平面內(nèi)一點且，則點與的位置關(guān)系是A．圓內(nèi) B．圓外 C．圓上 D．無法確定6．（2025?雁塔區(qū)校級四模）如圖，四邊形內(nèi)接于，已知點為的中點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．7．（2025?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，是的直徑，過的延長線上的點作的切線，切點為，點是上一點，連接，，若，則等于A． B． C． D．8．（2025?叢臺區(qū)校級三模）如圖，在中，滿足，則下列對弦與弦大小關(guān)系表述正確的是A． B． C． D．無法確定9．（2025?臨邑縣一模）如圖，在矩形中，，以為直徑作，將矩形繞點旋轉(zhuǎn)，使所得矩形的邊與相切，切點為，邊與相交于點．若，則長為A．9 B．10 C． D．1210．（2025?南崗區(qū)校級二模）如圖，是的直徑，，，是的弦且，則等于A． B． C． D．二．填空題（共10小題）11．（2025?滕州市一模）如圖，在△中，，，，以點為圓心，的長為半徑作弧，分別交，于點，，則圖中陰影部分的面積為．12．（2025?同心縣模擬）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，則．13．（2025?寶應(yīng)縣校級模擬）已知的半徑為2，內(nèi)接于，，則．14．（2025?鹽城三模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，某園林中圓弧形門洞的頂端到地面的高度為，地面入口的寬度為，門枕的高度為，則該圓弧所在圓的半徑為．15．（2025?濟(jì)寧二模）如圖，在四邊形中，，，，，點在線段上運動，點在線段上，，則線段的最小值為．16．（2025?盱眙縣校級模擬）《九章算術(shù)》第一章“方田”介紹了扇形面積計算方法，其中這樣一道題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”意思是：有一塊扇形狀的田，弧長為30步，其所在圓的直徑是16步，則這塊田的面積為平方步．17．（2025?東莞市校級二模）如圖，的半徑為5，弦的長為8，是弦上的一個動點，則線段的長的最小值為．18．（2025?浙江模擬）如圖，正方形的邊長為2，以邊上的動點為圓心，為半徑作圓，將沿翻折至△，若過△一邊上的中點，則的半徑為．19．（2025?金鳳區(qū)校級二模）如圖，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為．20．（2025?佳木斯三模）日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖，它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知，，垂足為點，，垂足為點，，的半徑，則圓盤離桌面最近的距離是．三．解答題（共5小題）21．（2025?綿陽）如圖，為△的外接圓，弦，垂足為，直徑交于點，連接，．若，．（1）證明：四邊形為平行四邊形；（2）求為值；（3）求的值．22．（2025?涼山州模擬）如圖，在△中，，以為直徑的交于點，為的中點，連接并延長交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求長．23．（2025?武威三模）如圖，以四邊形的對角線為直徑作圓，圓心為，過點作的延長線于點，已知平分．（1）求證：是切線；（2）若，，求的半徑和的長．24．（2025?煙臺一模）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點，平分，．（1）求證：為圓的直徑；（2）過點作交的延長線于點，若，，求此圓半徑的長．25．（2025?哈爾濱模擬）如圖，內(nèi)接于圓，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，于交圓于，于，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，若平分，延長交于，，，求長．

第二十四章圓參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2025?綿陽）如圖，在邊長為2的正六邊形中，連接，點在上運動，點為的中點，當(dāng)△的周長最小時，A． B． C．12 D．13【答案】【考點】軸對稱最短路線問題；正多邊形和圓【專題】運算能力；多邊形與平行四邊形【分析】要使△的周長最小時，最小，利用正六邊形的性質(zhì)可得點關(guān)于的對稱點為點，連接交于點，連接，，那么有，最小，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和勾股定理計算即可．【解答】解：如圖，要使△的周長的最小，即最小，利用正六邊形的性質(zhì)可得點關(guān)于的對稱點為點，連接交于點，連接，，那么有，最小，，，，，，，故當(dāng)△的周長最小時，．故選：．【點評】此題主要考查了正多邊形和圓以及軸對稱最短路線問題，得出點位置是解題關(guān)鍵．2．（2025?綿陽）將一把折扇展開，可抽象成一個扇形，若該扇形的半徑為2，弧長為，則扇形的圓心角大小為A． B． C． D．【答案】【考點】弧長的計算【專題】運算能力；與圓有關(guān)的計算【分析】依據(jù)題意，根據(jù)弧長公式進(jìn)行代入計算即可得解．【解答】解：由題意，弧長，且，．故選：．【點評】本題主要考查了弧長的計算，解題時要能熟練掌握并能準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵．3．（2025?當(dāng)陽市模擬）已知的半徑為5，點在內(nèi)，則的長可能是A．7 B．6 C．5 D．4【答案】【考點】點與圓的位置關(guān)系【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力【分析】根據(jù)點在圓內(nèi)，點到圓心的距離小于圓的半徑進(jìn)行判斷．【解答】解：的半徑為5，點在內(nèi)，．故選：．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，點到圓心的距離，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi)．4．（2025?任城區(qū)一模）如圖，、是的兩條直徑，是劣弧的中點，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【答案】【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力【分析】首先根據(jù)“同弧或等弧所對的弦長相等，對的圓心角也相等”求得，再根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，連接，是劣弧的中點，即弧弧，，，，，，即．故選：．【點評】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵．5．（2025?高郵市校級模擬）已知的半徑是6，點是平面內(nèi)一點且，則點與的位置關(guān)系是A．圓內(nèi) B．圓外 C．圓上 D．無法確定【答案】【考點】點與圓的位置關(guān)系【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法對點與的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：的半徑為6，，點到圓心的距離大于圓的半徑，點在外．故選：．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)的半徑為，點到圓心的距離，則點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．6．（2025?雁塔區(qū)校級四模）如圖，四邊形內(nèi)接于，已知點為的中點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【專題】推理能力；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：四邊形內(nèi)接于，，，點為的中點，，，故選：．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系、圓周角定理的應(yīng)用，掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系定理和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7．（2025?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，是的直徑，過的延長線上的點作的切線，切點為，點是上一點，連接，，若，則等于A． B． C． D．【答案】【考點】圓周角定理；切線的性質(zhì)【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力【分析】連接，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)圓周角定理得到，然后利用互余可表示出．【解答】解：連接，如圖，為的切線，，，，．故選：．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理．8．（2025?叢臺區(qū)校級三模）如圖，在中，滿足，則下列對弦與弦大小關(guān)系表述正確的是A． B． C． D．無法確定【答案】【考點】三角形三邊關(guān)系；圓心角、弧、弦的關(guān)系【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力【分析】如圖，取弧的中點，連接，．證明，再利用三角形的三邊關(guān)系解決問題．【解答】解：如圖，取弧的中點，連接，．，，，，，．故選：．【點評】本題考查圓心角，弧，弦之間等分關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意正確作出輔助線．9．（2025?臨邑縣一模）如圖，在矩形中，，以為直徑作，將矩形繞點旋轉(zhuǎn)，使所得矩形的邊與相切，切點為，邊與相交于點．若，則長為A．9 B．10 C． D．12【答案】【考點】圓周角定理；矩形的性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；矩形菱形正方形；計算題；運算能力；推理能力【分析】連接，延長交于點，設(shè)，則，由勾股定理得出，解得，則得出答案．【解答】解：連接，延長交于點，與相切，，又矩形中，，，，矩形繞點旋轉(zhuǎn)所得矩形為，，，，四邊形為矩形，，設(shè)，則，，，解得，．故選：．【點評】本題主要考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理等知識點．10．（2025?南崗區(qū)校級二模）如圖，是的直徑，，，是的弦且，則等于A． B． C． D．【答案】【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力【分析】由已知可得，弦、、三等分半圓，從而不難求得的度數(shù)．【解答】解：連接、，，，弦、、三等分半圓，弦和和對的圓心角均為，．故選：．【點評】本題利用了弧、弦與圓心角的關(guān)系求解，注意半圓對的圓心角為．二．填空題（共10小題）11．（2025?滕州市一模）如圖，在△中，，，，以點為圓心，的長為半徑作弧，分別交，于點，，則圖中陰影部分的面積為．【考點】含30度角的直角三角形；扇形面積的計算【專題】與圓有關(guān)的計算；應(yīng)用意識【分析】連接，過點作，垂足為，找出即可求出答案．【解答】解：連接，過點作，垂足為，如圖所示，，，，，，，以點為圓心，的長為半徑作弧，，△是等邊三角形，，，△是等腰三角形，，，，，故答案為：．【點評】本題考查扇形的面積，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分割法求面積，屬于中考?？碱}型．12．（2025?同心縣模擬）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，則130．【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【分析】先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：，．四邊形是圓內(nèi)接四邊形，．故答案為：130．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對角互補是解答此題的關(guān)鍵．13．（2025?寶應(yīng)縣校級模擬）已知的半徑為2，內(nèi)接于，，則或．【答案】或．【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心；等邊三角形的判定與性質(zhì)【專題】推理能力【分析】分點在優(yōu)弧、劣弧兩種情況討論即可．【解答】解：如圖，，是等邊三角形，，當(dāng)點在優(yōu)弧上時，，當(dāng)點在劣弧上時，記為，，，的度數(shù)為或．故答案為：或．【點評】本題考查三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．14．（2025?鹽城三模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，某園林中圓弧形門洞的頂端到地面的高度為，地面入口的寬度為，門枕的高度為，則該圓弧所在圓的半徑為1.3．【考點】垂徑定理的應(yīng)用【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力【分析】設(shè)該門洞的半徑的半徑為，過點作于點，延長交圓于點，連接，則，，由垂徑定理得，然后在△中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)該門洞的半徑的半徑為，如圖，過點圓心作于點，延長交圓于點，連接，則，，，在△中，由勾股定理得：，，解得：，即該門洞的半徑為，故答案為：1.3．【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．15．（2025?濟(jì)寧二模）如圖，在四邊形中，，，，，點在線段上運動，點在線段上，，則線段的最小值為8．【答案】8．【考點】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理；圓周角定理【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力【分析】設(shè)的中點為，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點為點，證明，可知點在以為直徑的半圓上運動，當(dāng)點運動到與的交點時，線段有最小值，據(jù)此求解即可．【解答】解：設(shè)的中點為，以為直徑畫圓，連接，如圖，設(shè)與的交點為點，，，，，，點在以為直徑的半圓上運動，當(dāng)點運動到與的交點時，線段有最小值，，，，，的最小值為．故答案為：8．【點評】本題主要考查了圓周角定理的推論、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)題意分析得到點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．16．（2025?盱眙縣校級模擬）《九章算術(shù)》第一章“方田”介紹了扇形面積計算方法，其中這樣一道題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”意思是：有一塊扇形狀的田，弧長為30步，其所在圓的直徑是16步，則這塊田的面積為120平方步．【考點】弧長的計算；扇形面積的計算【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力【分析】利用扇形面積公式即可計算的解．【解答】解：扇形的田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，這塊田的面積（平方步），故答案為：120．【點評】本題是扇形面積公式的應(yīng)用，考查了推理能力，是基礎(chǔ)題．17．（2025?東莞市校級二模）如圖，的半徑為5，弦的長為8，是弦上的一個動點，則線段的長的最小值為3．【答案】3．【考點】勾股定理；垂徑定理【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力【分析】過作，連接，由“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”的知識可知，當(dāng)于重合時最短，由垂徑定理可得出的長，再根據(jù)勾股定理可求出的長，即線段長的最小值．【解答】解：如圖所示，過作，連接，過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短，當(dāng)于重合時最短，，，，在中，，線段長的最小值為3．故答案為：3．【點評】本題考查的是垂徑定理，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．18．（2025?浙江模擬）如圖，正方形的邊長為2，以邊上的動點為圓心，為半徑作圓，將沿翻折至△，若過△一邊上的中點，則的半徑為或或．【答案】或或．【考點】翻折變換（折疊問題）；正方形的性質(zhì)；圓周角定理【專題】推理能力；運算能力；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形【分析】分三種情況進(jìn)行解答，即當(dāng)以為半徑的過△的邊的中點，過△的邊的中點，過△的邊的中點，分別畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如圖1，當(dāng)以為半徑的過△的邊的中點時，由折疊可知，而，，；如圖2，當(dāng)以為半徑的過△的邊的中點時，則，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，即，解得或舍去，即半徑；如圖3，當(dāng)以為半徑的過△的邊的中點時，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得，，即，解得，即半徑，綜上所述，半徑的長為或或．故答案為：或或．【點評】本題考查翻折的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，掌握翻折的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)以及分類討論是正確解答的關(guān)鍵．19．（2025?金鳳區(qū)校級二模）如圖，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為九．【答案】九．【考點】正多邊形和圓【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；運算能力；應(yīng)用意識【分析】根據(jù)圓周角定理可得正多邊形的邊所對的圓心角，再根據(jù)正多邊形的一條邊所對的圓心角的度數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系可得答案．【解答】解：如圖，設(shè)正多邊形的外接圓為，連接，，，，而，這個正多邊形為正九邊形，故答案為：九．【點評】本題考查正多邊形與圓，圓周角，掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵，理解正多邊形的邊數(shù)與相應(yīng)的圓心角之間的關(guān)系是解決問題的前提．20．（2025?佳木斯三模）日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖，它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知，，垂足為點，，垂足為點，，的半徑，則圓盤離桌面最近的距離是．【答案】．【考點】垂徑定理；勾股定理的應(yīng)用【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力【分析】連接，，過點作于點，交一點，交于點．利用垂徑定理，勾股定理求出，，再求出可得結(jié)論．【解答】解：如圖2，連接，，過點作于點，交于點，交于點．，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，圓盤離桌面最近的距離是，故答案為：．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．三．解答題（共5小題）21．（2025?綿陽）如圖，為△的外接圓，弦，垂足為，直徑交于點，連接，．若，．（1）證明：四邊形為平行四邊形；（2）求為值；（3）求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【考點】圓的綜合題【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)平行線的判定定理得到，推出，得到，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到結(jié)論；（2）設(shè)，得到，根據(jù)勾股定理得到，，得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（3）過點作于，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：是的直徑，，，，，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形；（2）解：設(shè)，，，，，，，，解得，，，，由（1）知，，，△△，，；（3）解：過點作于，在△中，，，，，△△，，，，，，，，，在△中，，．【點評】本題是圓的綜合題，考查了三角形外接圓和外心，平行四邊形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，正地的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2025?涼山州模擬）如圖，在△中，，以為直徑的交于點，為的中點，連接并延長交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求長．【答案】（1）見解析；（2）．【考點】垂徑定理；切線的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；圓周角定理【專題】推理能力；幾何直觀；等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計算【分析】（1）連接，，結(jié)合圓周角定理和直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得，從而可得，然后根據(jù)切線的判定定理分析證明；（2）結(jié)合含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理分析計算求解．【解答】（1）證明：連接，，如圖，是的直徑，，，在△中，為的中點，，，，，，，，，即，為半徑，，是的切線；（2）解：，，在△中，，，，設(shè)，則，由勾股定理可得：，即，解得，，，，同理在△中，設(shè)，則，由勾股定理可得：，即，解得，即．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)及解直角三角形等知識．正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．（2025?武威三模）如圖，以四邊形的對角線為直徑作圓，圓心為，過點作的延長線于點，已知平分．（1）求證：是切線；（2）若，，求的半徑和的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；角平分線的性質(zhì)【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；證明題；與圓有關(guān)的計算；推理能力；運算能力【分析】（1）連接，根據(jù)已知條件證明即可解決問題；（2）取中點，連接，根據(jù)垂徑定理可得，所以四邊形是矩形，利用勾股定理即可求出結(jié)果．【解答】（1）證明：如圖，連接，，．平分，，又，，，，是切線；（2）解：如圖，取中點，連接，于點．四邊形是矩形，，．在中，，，在中，，，，的長是．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．24．（2025?煙臺一模）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點，平分，．（1）求證：為圓的直徑；（2）過點作交的延長線于點，若，，求此圓半徑的長．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理【專題】推理能力；與圓有關(guān)的計算【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得到，