第二十節(jié)：典型應(yīng)用題（五）盈虧問題“一盈一虧”問題【例1】猴子們分桃子，如果每只猴子分3個(gè)，就剩余12個(gè)桃子；如果每只猴子分5個(gè)，又缺4個(gè)桃子。問有多少只猴子？多少個(gè)桃子？思路引導(dǎo)正確解答：12＋4＝16（個(gè)）5－3＝2（個(gè)）16÷2＝8（只）8×3＋12＝36（個(gè)）或8×5－4＝36（個(gè)）答：有8只猴子，36個(gè)桃子。解決“一盈一虧”問題時(shí)，套用公式：（盈＋虧）÷兩次分得的差＝人數(shù)，再根據(jù)人數(shù)求出總量即可?！咀兪?】1.把一筐蘋果分給小朋友，如果每人分6個(gè)則多了10個(gè)蘋果，如果每人分8個(gè)則少了12個(gè)蘋果。問有多少個(gè)小朋友？【答案】11【解析】【分析】先比較兩種分法中各個(gè)量之間關(guān)系：每人分6個(gè)，余10個(gè)蘋果。每人分8個(gè)，還差12個(gè)蘋果；這兩次分蘋果，每人相差的個(gè)數(shù)為：8－6＝2（個(gè)）；第1次余10個(gè)，第2次少10個(gè)，那么第2次與第1次總共相差蘋果的個(gè)數(shù)為：10＋12＝22（個(gè)），每人相差2個(gè)，結(jié)果總數(shù)就相差22個(gè)；進(jìn)而用22÷2計(jì)算出小朋友的人數(shù)?！驹斀狻啃∨笥讶藬?shù)為：（10＋12）÷（8－6）＝22÷2＝11（人）答：有11個(gè)小朋友。【點(diǎn)睛】此題解答的關(guān)鍵是通過兩種分法中各個(gè)量之間的關(guān)系，進(jìn)行分析，然后列式計(jì)算得出小朋友的人數(shù)?！半p盈”問題【例2】農(nóng)民叔叔購買農(nóng)作物種子，如果買5千克，剩下63.2元；如果購買8千克，剩下8元。他一共帶了多少錢？思路引導(dǎo)如果買5千克，剩下63.2元，如果購買8千克，剩下8元，那么多買了8－5＝3（千克），少剩下了63.2－8＝55.2（元），也就是55.2元是3千克的總價(jià)，再用55.2元除以3千克即可求出種子的單價(jià)，然后用單價(jià)乘8千克，求出8千克需要的錢數(shù)，再加上8元就是他一共帶的錢數(shù)（或求出5千克需要的錢數(shù)再加上63.2元）。正確解答：63.2－8＝55.2（元）8－5＝3（千克）55.2÷3＝18.4（元）18.4×8＋8＝155.2（元）或18.4×5＋63.2＝155.2（元）答：他一共帶了155.2元。解決“雙盈”問題時(shí)，套用公式：（大盈—小盈）÷兩次分得的差＝人數(shù)，再根據(jù)人數(shù)求出總量即可?！咀兪?】2.動(dòng)物園飼養(yǎng)員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個(gè)桃子，則有兩只猴子沒有分到；如果有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子。一共有多少只猴子？【答案】15只【解析】【分析】根據(jù)題意，如果每只猴子分10個(gè)桃子，則有兩只猴子沒有分到，假設(shè)這兩只猴子最后分到8只桃子，其余猴子分到9個(gè)，那么就需要其他猴子給他們每個(gè)分出來1個(gè)，正好夠（2×8）16個(gè)，正好差3個(gè)桃子，說明沒有那么多猴子，只能拿出來（16－3）個(gè)，也就是13個(gè)桃子，說明只有13個(gè)猴子再加上它們兩個(gè)，一共15個(gè)猴子。【詳解】10－2＝8（個(gè)）8＋（8－3）＋2＝8＋5＋2＝13＋2＝15（只）答：一共有15只猴子?！军c(diǎn)睛】此題考查了盈虧問題拓展運(yùn)用，關(guān)鍵能理解桃子總數(shù)不變，也可以用方程解答?！半p虧”問題【例3】阿姨給幼兒園小朋友分餅干，如果每人分3塊，則少4塊餅干；如果每人分5塊，那么就少16塊餅干。問有多少個(gè)小朋友，有多少塊餅干？思路引導(dǎo)如果每人分3塊，則少4塊餅干，如果每人分5塊，就少16塊餅干，那么每人多分了5－3＝2（塊），多少了16－4＝12（塊），也就是12塊是每人分2塊的總量，再用12塊除以2塊即可求出有多少個(gè)小朋友，然后用人數(shù)6個(gè)乘5塊，求出每人分5塊需要的餅干總數(shù)，再減去16塊就是餅干總數(shù)（或求出每人分3塊需要的餅干總數(shù)，再減去4塊）。正確解答：16－4＝12（塊）5－3＝2（塊）12÷2＝6（個(gè)）6×5－16＝14（塊）或6×3－4＝14（塊）答：有6個(gè)小朋友，14塊餅干。解決“雙虧”問題時(shí)，套用公式：（大虧—小虧）÷兩次分得的差＝人數(shù)，再根據(jù)人數(shù)求出總量即可?！咀兪?】3.劉老師買來一批數(shù)學(xué)繪本，分給數(shù)學(xué)小組的同學(xué)。如果每人分7本，結(jié)果少24本；如果每人分5本，結(jié)果少4本。這批數(shù)學(xué)繪本共有多少本？【答案】46本【解析】【分析】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或者兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題；參與分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差，求出總?cè)藬?shù)后再乘7再減去24，或用總?cè)藬?shù)乘5再減去4即可求出總本數(shù)；據(jù)此解答?！驹斀狻浚?4－4）÷（7－5）＝20÷2＝10（人）10×7－24＝70－24＝46（本）答：這批數(shù)學(xué)繪本共有46本?！军c(diǎn)睛】此題考查了盈虧問題的應(yīng)用，關(guān)鍵理解解答方法。一、填空。4.幼兒園的老師給小朋友發(fā)蘋果，每位小朋友5個(gè)，就多出12個(gè)；每位小朋友7個(gè)，就少14個(gè)。共有蘋果（）個(gè)?！敬鸢浮?7【解析】【分析】根據(jù)題意知：每個(gè)小朋友多分：7－5＝2個(gè)蘋果，總差額是12＋14＝26個(gè)蘋果，用26除以2就是小朋友的人數(shù)，進(jìn)而可求出蘋果的個(gè)數(shù)?！驹斀狻啃∨笥训娜藬?shù)：（12＋14）÷（6－4）＝26÷2＝13（個(gè)）蘋果的個(gè)數(shù)：5×13＋12＝65＋12＝77（個(gè)）【點(diǎn)睛】本題屬于典型的盈虧問題，關(guān)鍵是利用（盈＋虧）÷兩次分的蘋果差＝小朋友人數(shù)，求出小朋友的人數(shù)，進(jìn)而解決問題。5.一袋糖分給一些小朋友，每人分10粒剛好分完；如果每人分16粒，則有3個(gè)小朋友分不到糖。這袋糖共有（）粒?！敬鸢浮?0【解析】【分析】此題屬于盈虧問題，每人分10粒剛好分完，盈為0粒，如果每人分16粒，則有3個(gè)小朋友分不到糖，虧為（3×16）粒，根據(jù)公式：參與分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差，求出總?cè)藬?shù)后，乘上10即可求出糖的數(shù)量；據(jù)此解答?！驹斀狻浚?＋16×3）÷（16－10）＝48÷6＝8（人）8×10＝80（粒）所以，這袋糖共有80粒?！军c(diǎn)睛】此題考查了盈虧問題，關(guān)鍵理解題目意思，運(yùn)用公式解答。6.寒假前孩子們要借一些圖書回家閱讀，如果每人借4本，則最后少2本；如果前2人借8本，余下每人借3本，這些圖書恰好借完。問共有圖書（）本?！敬鸢浮?6【解析】【分析】設(shè)共有x人，根據(jù)人數(shù)×4－2＝2×8＋（人數(shù)－2）×3，列出方程求出x值，是人數(shù)，人數(shù)×4－2＝圖書總本數(shù)?！驹斀狻拷猓涸O(shè)共有x人。4x－2＝2×8＋（x－2）×34x－2＝16＋3x－64x－2＝10＋3x4x－2－3x＋2＝10＋3x－3x＋2x＝1212×4－2＝48－2＝46（本）共有圖書46本。【點(diǎn)睛】用方程解決問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系。7.若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊；若每人擦6塊，正好擦完。擦玻璃窗的共有（）人，玻璃共有（）塊?！敬鸢浮竣?10②.60【解析】【分析】根據(jù)“2人各擦4塊，其余各擦5塊，則余12塊，”可知：每人擦5塊，則余12－（5－4）×2＝10塊，兩次分物的總差額是：10－0＝10塊，兩次分物的每人數(shù)量的差額是：6－5＝1（塊），那么人數(shù)是：10÷1＝10人，玻璃的塊數(shù)是：6×10＝60（塊）；據(jù)此解答。【詳解】擦玻璃的人數(shù)：[12－（5－4）×2－0]÷（6－5）＝[12－1×2－0]÷1＝[12－2－0]÷1＝10÷1＝10（人）玻璃的塊數(shù)：6×10＝60（塊）擦玻璃的共有10人數(shù)，玻璃共有60塊?！军c(diǎn)睛】盈虧問題的基本數(shù)量關(guān)系：一次有余（盈），一次不夠（虧），可用公式：（盈＋虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）＝人數(shù)。8.小明花19元買了10本練習(xí)本和10支鉛筆，他還有余錢。如果要買1支鉛筆，就多0.3元；如果再買一本練習(xí)本就少0.2元，小明原有（）元?！敬鸢浮?0【解析】【分析】一本練習(xí)本比一支鉛筆貴0.3＋0.2＝0.5元，則10本練習(xí)本比10支鉛筆貴10×0.5＝5元，從而可求出買練習(xí)本和買鉛筆分別花的錢數(shù)，從而可求得小明的總錢數(shù)。【詳解】—本練習(xí)本比一支鉛筆貴：0.3＋0.2＝0.5（元）則10本練習(xí)本比10支鉛筆貴：10×0.5＝5（元）買鉛筆的錢數(shù)：（19－5）÷2＝14÷2＝7（元）每支鉛筆的價(jià)格：7÷10＝0.7（元）余下的錢數(shù)為：0.7＋0.3＝1（元）總錢數(shù)：19＋1＝20（元）【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是先求出一本練習(xí)本比一支鉛筆貴多少元，再求買鉛筆花的錢，進(jìn)而問題得解。二、解決問題。9.某小組去植樹，如果每人栽8棵則少27棵；如果每人栽6棵則少5棵。共有多少棵樹？【答案】61【解析】【分析】如果每人栽8棵則少27棵；如果每人栽6棵則少5棵，即大虧27，小虧5，兩次分配的差為8－6，所以共有人數(shù)（27－5）÷（8－6）＝11人，共栽樹：8×11－27＝61棵?！驹斀狻浚?7－5）÷（8－6）＝22÷2＝11（人）8×11－27＝88－27＝61（棵）答：共有61棵樹?！军c(diǎn)睛】本題為典型雙虧問題，（大虧－小虧）÷兩次每人分配數(shù)的差＝人數(shù)。10.學(xué)校組織春游，學(xué)生住宿時(shí)如果每間房住4人，還有20人沒房間??；如果每間房住8人，那么有一間房只住4人。問一共有多少人？【答案】44人

【解析】【分析】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或者兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題；根據(jù)題意，房間總數(shù)＝（盈＋虧）÷分配差，再房間總數(shù)乘4再加上20即可求出總?cè)藬?shù)?！驹斀狻浚?0＋4）÷（8－4）＝24÷4＝6（間）6×4＋20＝24＋20＝44（人）答：一共有44人?！军c(diǎn)睛】此題考查了盈虧問題的運(yùn)用，關(guān)鍵理解解題方法。11.小巧從家去學(xué)校，如果每分鐘走80米，那么比規(guī)定時(shí)間提前6分鐘到學(xué)校；如果每分鐘走50米，那么比規(guī)定時(shí)間遲到3分鐘。那么小巧家到學(xué)校的距離是多少米？【答案】1200米【解析】【分析】由題意可知，每分鐘走80米，提前6分鐘，也就是能多走80×6＝480米，每分鐘走50米，遲到3分鐘，也就是少走了50×3＝150米，路程相差：480＋150＝630米，每分鐘相差：80－50＝30米；由根據(jù)盈問題公式可知，預(yù)定時(shí)間為：630÷30＝21分鐘，家到學(xué)校的距離：（21＋3）×50＝1200米?！驹斀狻浚?0×6＋50×3）÷（80－50）＝（480＋150）÷30＝630÷30＝21（分鐘）（21＋3）×50＝24×50＝1200（米）答：那么小巧家離學(xué)校有1200米。【點(diǎn)睛】在根據(jù)時(shí)間×速度求出盈余與不足的路程的基礎(chǔ)上，根據(jù)（盈＋虧）÷兩次分配的差＝參于分配的數(shù)量的基礎(chǔ)上求出預(yù)定時(shí)間是完成本題的關(guān)鍵。12.一些桔子分給若干個(gè)人，每人5個(gè)還多余10個(gè)桔子.如果人數(shù)增加到3倍還少5個(gè)人，那么每人分2個(gè)桔子還缺少8個(gè)，問有桔子多少個(gè)？【答案】150個(gè)【解析】【分析】使人感到困難的是條件“3倍還少5人”.先要轉(zhuǎn)化這一條件.假設(shè)還有10個(gè)桔子，10＝2×5，就可以多有5個(gè)人，把“少5人”這一條件暫時(shí)擱置一邊，只考慮3倍人數(shù)，也相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3=6（個(gè)）.【詳解】假設(shè)還有10個(gè)桔子，10＝2×5，就可以多有5個(gè)人，把“少5人”這一條件暫時(shí)擱置一邊，只考慮3倍人數(shù)，也相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3=6（個(gè)）.每人給5個(gè)與給6個(gè)，總數(shù)相差10＋10＋8＝28(個(gè)）.所以原有人數(shù)28÷（65)=28（人）.桔子總數(shù)是5×28＋10＝150（個(gè)）.答：有桔子150個(gè).13.甲、乙兩個(gè)科研小組共同獲得一筆獎(jiǎng)金，甲組人數(shù)是乙組人數(shù)的2倍。獎(jiǎng)金若只給甲科研小組，則平均每人5萬元還余4萬元；獎(jiǎng)金若只給乙科研小組，則平均每人11萬元還差1萬元。這筆獎(jiǎng)金一共有多少萬元？【答案】54萬元【解析】【分析】根據(jù)“甲組人數(shù)是乙組人數(shù)的2倍”，設(shè)乙組有人，則甲組有2人；根據(jù)獎(jiǎng)金的總金額不變，可得出等量關(guān)系：甲組平均每人分得的獎(jiǎng)金×甲組的人數(shù)＋4＝乙組平均每人分得的獎(jiǎng)金×乙組的人數(shù)－1，據(jù)此列出方程，并求解。【詳解】解：設(shè)乙組有人，則甲組有2人。5×2＋4＝11－110＋4＝11－110＋4－10＝11－1－104＝－1－1＋1＝4＋1＝511×5－1＝55－1＝54（萬元）答：這筆獎(jiǎng)金一共有54萬元。【點(diǎn)睛】本題有兩個(gè)未知數(shù)且有倍數(shù)關(guān)系，要設(shè)“是”后面量為，找到另一個(gè)未知數(shù)與的關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程。14.小春讀一本小說，若每天讀35頁，則讀完全書比規(guī)定時(shí)間遲一天；若每天讀40頁，則最后一天要少讀5頁，如果他每天讀39頁，最后一天應(yīng)讀多少頁才按規(guī)定時(shí)間讀完？【答案】42頁【解析】【分析】假設(shè)讀完全書的規(guī)定時(shí)間是x天，則這本小說的總頁數(shù)有35×（x＋1）頁，因?yàn)榭傢摂?shù)不變，所以這本小說的總頁數(shù)還可以表示成（40x－5）頁，據(jù)此列出方程，求出讀完全書的規(guī)定時(shí)間，繼而求出這本小說的總頁數(shù)，如果他每天讀39頁，求出他在（規(guī)定時(shí)間－1）天里讀的頁數(shù)，再用這本小說的總頁數(shù)減去讀了的頁數(shù)，即可求出最后一天應(yīng)讀多少頁才按規(guī)定時(shí)間讀完?！驹斀狻拷猓涸O(shè)讀完全書的規(guī)定時(shí)間是x天，35×（x＋1）＝40x－535x＋35＝40x－535x＋35＋5＝40x－5＋535x＋40＝40x35x＋40－35x＝40x－35x40x－35x＝405x＝405x÷5＝40÷5x＝835×（8＋1）－39×（8－1）＝35×9－39×7＝315－273＝42（頁）答：最后一天應(yīng)讀42頁才按規(guī)定時(shí)間讀完?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是弄清題意，把讀完全書的規(guī)定時(shí)間設(shè)為未知數(shù)x，找出題中數(shù)量間的相等關(guān)系，列出包含x的等式，解方程得到最終的結(jié)果。15.學(xué)校園林科有一批樹苗，交給若干名學(xué)生去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不夠分了。如果再拿來8棵，那么每個(gè)學(xué)生正好栽10棵。求參加栽樹的學(xué)生有多少人，這批樹苗共多少棵？【答案】192棵【解析】【分析】最后剩下12棵不夠分了，可知學(xué)生人數(shù)大于12，再拿來8棵，正好平均分完（每人10棵），據(jù)此可以確定人數(shù)為（12＋8）人，人數(shù)×每人棵數(shù)－8＝總棵數(shù)，據(jù)此列式解答【詳解】12＋8＝20（人）10×20－8＝200－8＝192（棵）答：這批樹苗共192棵?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是通過分析確定人數(shù)，只要確定人數(shù)就可以求出棵數(shù)了。16.一只青蛙從井底往井口跳，若每天跳3米，則比原定時(shí)間遲2天；若每天跳5米，則比原定時(shí)間早2天。井口到井底有多少米？【答案】30米【解析】【分析】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或者兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題；根據(jù)題意：原定時(shí)間＝（盈＋虧）÷分配差，虧＝每天跳3米×推遲天數(shù)，盈＝每天跳5米×提早天數(shù)；再用原定時(shí)間加上推遲天數(shù)再乘3即可；據(jù)此解答?！驹斀狻浚?×2＋5×2）÷（5－3）＝（6＋10）÷2＝16÷2＝8（天）（8＋2）×3＝10×3＝30（米）答：井口到井底有30米?！军c(diǎn)睛】此題考查了盈虧問題運(yùn)用，關(guān)鍵找出實(shí)際的“盈”和“虧”再解答。17.王師傅加工一批零件，若每天加工250個(gè)，則比原定計(jì)劃