小學奧數(shù)和差倍問題專項訓練一、引言和差倍問題是小學奧數(shù)的核心基礎(chǔ)題型，也是整數(shù)應用題的“骨架”。它通過“和”（總量）、“差”（差值）、“倍”（倍數(shù)關(guān)系）三個核心量的組合，考查學生對數(shù)量關(guān)系的理解、邏輯推理能力及模型構(gòu)建能力。掌握和差倍問題的解法，不僅能快速解決各類衍生應用題（如年齡問題、分配問題、盈虧問題），更能為后續(xù)學習分數(shù)、比例、方程等知識奠定堅實的思維基礎(chǔ)。本文將從基礎(chǔ)概念入手，分和差問題“和倍問題”“差倍問題”三大類拆解，再延伸至復雜綜合題，結(jié)合線段圖法“公式推導”“技巧總結(jié)”，幫助學生建立系統(tǒng)的解題框架。二、基礎(chǔ)概念梳理在和差倍問題中，需明確三個核心量的定義及關(guān)系：和：兩個或多個數(shù)的總量（如“甲乙共20個”）；差：兩個數(shù)的差值（大數(shù)減小數(shù)，如“甲比乙多4個”）；倍：數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系（如“甲是乙的3倍”，表示甲=乙×3）。三者的基本關(guān)系：大數(shù)=小數(shù)+差；大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)；和=大數(shù)+小數(shù)=小數(shù)×(倍數(shù)+1)（當存在倍數(shù)關(guān)系時）；差=大數(shù)-小數(shù)=小數(shù)×(倍數(shù)-1)（當存在倍數(shù)關(guān)系時）。三、三大類基礎(chǔ)問題解法（一）和差問題：已知和與差，求兩數(shù)核心公式：大數(shù)=(和+差)÷2；小數(shù)=(和-差)÷2。推導邏輯：設(shè)大數(shù)為\(A\)，小數(shù)為\(B\)，則：\(A+B=和\)，\(A-B=差\)；兩式相加得：\(2A=和+差\)→\(A=(和+差)÷2\)；兩式相減得：\(2B=和-差\)→\(B=(和-差)÷2\)。解題步驟：1.確定“大數(shù)”與“小數(shù)”（“比”“多”后面的數(shù)是小數(shù)，前面的是大數(shù)）；2.找出題目中的“和”與“差”；3.代入公式計算，驗證結(jié)果（和是否正確，差是否正確）。典型例題：甲乙兩數(shù)之和為20，甲數(shù)比乙數(shù)大4，求甲乙兩數(shù)。解析：大數(shù)=甲，小數(shù)=乙；和=20，差=4；甲=(20+4)÷2=12，乙=(20-4)÷2=8；驗證：12+8=20（和正確），12-8=4（差正確）。基礎(chǔ)練習：1.兩數(shù)之和為35，差為5，求兩數(shù)。（答案：20和15）2.小紅和小明共有18支鉛筆，小紅比小明多2支，求兩人各有多少支？（答案：10支、8支）（二）和倍問題：已知和與倍數(shù)，求兩數(shù)核心公式：小數(shù)（1倍數(shù)）=和÷(倍數(shù)+1)；大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)或大數(shù)=和-小數(shù)。推導邏輯：設(shè)小數(shù)為\(B\)（1倍數(shù)），大數(shù)為\(A=B×倍數(shù)\)，則：\(A+B=B×倍數(shù)+B=B×(倍數(shù)+1)=和\)；因此，\(B=和÷(倍數(shù)+1)\)。解題步驟：1.確定“1倍數(shù)”（通常把“是”“比”后面的數(shù)看作1倍數(shù)，如“甲是乙的3倍”，乙是1倍數(shù)）；2.找出“和”對應的“倍數(shù)和”（1倍數(shù)+倍數(shù)）；3.計算1倍數(shù)，再求大數(shù)；4.驗證（和是否正確，倍數(shù)是否正確）。典型例題：甲是乙的3倍，甲乙之和為16，求甲乙兩數(shù)。解析：1倍數(shù)=乙，倍數(shù)=3；倍數(shù)和=3+1=4；乙=16÷4=4，甲=4×3=12；驗證：12+4=16（和正確），12÷4=3（倍數(shù)正確）。基礎(chǔ)練習：1.甲是乙的2倍，和為27，求甲乙。（答案：18和9）2.果園里桃樹和梨樹共30棵，桃樹是梨樹的4倍，求兩種樹各有多少棵？（答案：24棵、6棵）（三）差倍問題：已知差與倍數(shù)，求兩數(shù)核心公式：小數(shù)（1倍數(shù)）=差÷(倍數(shù)-1)；大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)或大數(shù)=小數(shù)+差。推導邏輯：設(shè)小數(shù)為\(B\)（1倍數(shù)），大數(shù)為\(A=B×倍數(shù)\)，則：\(A-B=B×倍數(shù)-B=B×(倍數(shù)-1)=差\)；因此，\(B=差÷(倍數(shù)-1)\)。解題步驟：1.確定“1倍數(shù)”（同和倍問題，“比”“是”后面的數(shù)為1倍數(shù)）；2.找出“差”對應的“倍數(shù)差”（倍數(shù)-1）；3.計算1倍數(shù)，再求大數(shù)；4.驗證（差是否正確，倍數(shù)是否正確）。典型例題：甲比乙多12，甲是乙的3倍，求甲乙兩數(shù)。解析：1倍數(shù)=乙，倍數(shù)=3；倍數(shù)差=3-1=2；乙=12÷2=6，甲=6×3=18；驗證：18-6=12（差正確），18÷6=3（倍數(shù)正確）?；A(chǔ)練習：1.甲比乙多8，甲是乙的2倍，求甲乙。（答案：16和8）2.哥哥比弟弟多10本書，哥哥的書是弟弟的3倍，求兩人各有多少本書？（答案：15本、5本）四、綜合提升：復雜和差倍問題在實際題目中，和差倍問題常以多量關(guān)系“變化型”（如給來給去、增減數(shù)量）的形式出現(xiàn)，需通過線段圖“設(shè)1倍數(shù)”“找不變量”等技巧解決。（一）多量和差倍：三個或以上數(shù)量的關(guān)系解題關(guān)鍵：將多個量轉(zhuǎn)化為以某一量為1倍數(shù)的鏈式關(guān)系，再求總和對應的倍數(shù)和。典型例題：甲、乙、丙三個數(shù)，甲是乙的2倍，乙是丙的3倍，三個數(shù)之和為60，求各數(shù)。解析：設(shè)丙為1倍數(shù)，則乙=3×丙，甲=2×乙=6×丙；倍數(shù)和=1（丙）+3（乙）+6（甲）=10；丙=60÷10=6，乙=6×3=18，甲=18×2=36；驗證：6+18+36=60（和正確），18÷6=3（乙是丙的3倍），36÷18=2（甲是乙的2倍）。練習：甲乙丙之和為45，甲是乙的2倍，丙比乙多5，求各數(shù)。（答案：甲16，乙8，丙13）（二）變化型和差倍：數(shù)量增減后的關(guān)系解題關(guān)鍵：找到不變量（如總和不變、差不變），將變化后的關(guān)系轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)和差倍問題。典型例題1（總和不變）：甲有10個蘋果，乙有2個蘋果，甲給乙多少個后，甲是乙的2倍？解析：總蘋果數(shù)不變：10+2=12個；變化后，乙是1倍數(shù)，甲=2×乙，倍數(shù)和=2+1=3；變化后乙=12÷3=4個，因此甲給乙=4-2=2個；驗證：甲=10-2=8，乙=2+2=4，8÷4=2（倍數(shù)正確）。典型例題2（差不變）：今年爸爸比兒子大28歲，明年爸爸的年齡是兒子的3倍，求今年父子各多少歲？解析：年齡差不變：28歲；明年，兒子是1倍數(shù)，爸爸=3×兒子，倍數(shù)差=3-1=2；明年兒子=28÷2=14歲，今年兒子=14-1=13歲，爸爸=13+28=41歲；驗證：明年爸爸42歲，兒子14歲，42÷14=3（倍數(shù)正確），42-14=28（差正確）。練習：甲給乙5個后，兩人相等，原來甲比乙多多少？（答案：10個）五、解題技巧總結(jié)1.線段圖法：畫線段圖是解決和差倍問題的“可視化工具”，能直觀表示數(shù)量關(guān)系。和差問題：畫兩條線段，大數(shù)比小數(shù)長，標出和與差；和倍問題：畫小數(shù)為1段，大數(shù)為倍數(shù)段，標出和；差倍問題：畫小數(shù)為1段，大數(shù)為倍數(shù)段，標出差。2.確定1倍數(shù)：優(yōu)先將“比”“是”后面的數(shù)設(shè)為1倍數(shù)（如“甲是乙的3倍”，乙是1倍數(shù)），簡化計算。3.找不變量：變化型問題中，總和、差（如年齡差）往往是不變量，以此為突破口。4.驗證答案：算出結(jié)果后，檢查和、差、倍數(shù)是否符合題目條件，避免計算錯誤。六、專項訓練題（分層次）（一）基礎(chǔ)題（對應三大類基本問題）1.和差：兩數(shù)之和40，差6，求兩數(shù)。（答案：23和17）2.和倍：甲是乙的4倍，和30，求甲乙。（答案：24和6）3.差倍：甲比乙多15，甲是乙的4倍，求甲乙。（答案：20和5）（二）提升題（綜合兩類關(guān)系）1.甲乙丙之和50，甲是乙的2倍，乙比丙多5，求各數(shù)。（答案：甲28，乙14，丙9）解析：設(shè)丙為\(x\)，乙\(=x+5\)，甲\(=2(x+5)\)，和\(=x+(x+5)+2(x+5)=4x+15=50\)，解得\(x=9\)。2.甲給乙3個后，甲是乙的2倍，原來甲比乙多9個，求原來的甲乙。（答案：甲15，乙6）解析：設(shè)原來乙為\(x\)，甲\(=x+9\)，給后甲\(=x+9-3=x+6\)，乙\(=x+3\)，則\(x+6=2(x+3)\)，解得\(x=6\)。（三）拓展題（復雜變化或多量）1.甲是乙的3倍，甲給乙10個后，甲是乙的2倍，求原來的甲乙。（答案：甲90，乙30）解析：設(shè)原來乙為\(x\)，甲\(=3x\)，給后甲\(=3x-10\)，乙\(=x+10\)，則\(3x-10=2(x+10)\)，解得\(x=30\)。2.甲乙丙，甲比乙多2，乙比丙多3，三個數(shù)之和50，求各數(shù)。（答案：甲20，乙18，丙15）解析：設(shè)丙為\(x\)，乙\(=x+3\)，甲\(=x+3+2=x+5\)，和\(=x+(x+3)+(x+5)=3x+8=50\)，解得\(x=14\)？（修正：\(3x=42\)，\(x=14\)，乙=17，甲=19，驗證：14+17+1