幾何壓軸（五大類型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1：線段中點(diǎn)有關(guān)計(jì)算-分類討論】【題型2：雙角平分線模型-分類討論】【題型3：角的折疊綜合問題】【題型4：鐘表問題】【題型5：平行線作輔助線綜合】【題型1：線段中點(diǎn)有關(guān)計(jì)算-分類討論】【典例1】已知線段AC=10，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，且BD=2，則線段CD的長為（

）A．3 B．3或7 C．8或3 D．8【答案】B【分析】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)題意分情況討論即可得到答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，∵AC=10，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，∴BC=1∵BD=2，∴CD=BC+BD=5+2=7；②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，∵AC=10，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，∴BC=1∵BD=2，∴CD=BC-BD=5-2=3；故選B．【變式1-1】同一條直線上有三點(diǎn)A，B，C且線段BC=3AB，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，CD=3厘米，則線段【答案】8或4/4或8【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)，和差運(yùn)算，根據(jù)題意，由點(diǎn)D為中點(diǎn)，CD=3，可得BC，【詳解】解：如圖所示，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，CD=3，∴BD=CD=3，∴BC=6，∵BC=3AB=6，∴AB=2，∴AC=AB+BC=2+6=8；如圖所示，∵CD=3，∴BC=6，∴AB=2∴AC=BC-AB=6-2=4；故答案為：8或4．【變式1-2】已知C、D是線段AB上兩點(diǎn)，且AC=13AB，CD=13AC，若點(diǎn)M、N分別是線段AC、BD的中點(diǎn)，MN=20，則線段AB【答案】45或36【分析】本題考查了中點(diǎn)的定義及兩點(diǎn)之間的距離的求法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．設(shè)AB=x，分①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左邊時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右邊時(shí)，兩種情況討論，分別利用MN=20建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)AB=x，則AC=13AB=13x，CD=1①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左邊時(shí)，畫圖如下：則AD=AC-CD=29x又∵點(diǎn)M、N分別是線段AC、BD的中點(diǎn)，∴AM=12AC=∴MN=AB-AM-BN=x-1解得：AB=x=45，②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右邊時(shí)，畫圖如下：則AD=AC+CD=49x又∵點(diǎn)M、N分別是線段AC、BD的中點(diǎn)，∴AM=12AC=∴MN=AB-AM-BN=x-1解得：AB=x=36，綜上所述：線段AB的長是45或36，故答案為：45或36．【變式1-3】已知點(diǎn)A、B、C位于直線l上，其中線段AB=4，且2BC=3AB，若點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，則線段BM的長為．【答案】5或1【分析】本題考查了線段之間的數(shù)量關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．需要分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，根據(jù)題意，畫出圖形，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵AB=4，且2BC=3AB，∴BC=6，∴AC=AB+BC=4+6=10，∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，∴AM=CM=1∴BM=AM-AB=5-4=1．如圖，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵AB=4，且2BC=3AB，∴BC=6，∴AC=BC-AB=6-4=2，∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，∴AM=CM=1∴BM=AB+AM=4+1=5．綜上所述，線段BM的長為5或1，故答案為：5或1．【題型2：雙角平分線模型-分類討論】【典例2】點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得(1)如圖一，過點(diǎn)O作射線OE，使OE為∠AOD的角平分線．若∠COE=25°時(shí)．則∠DOE=°，∠AOC=°；(2)如圖二，過點(diǎn)O作射線OE．當(dāng)OE恰好為∠AOC的角平分線時(shí)，另作射線OF．使得OF平分∠BOD．①若∠AOC=50°，求∠EOF的度數(shù)；②若∠AOC=α（0°<α<90°），則∠EOF的度數(shù)是（直接填空）；(3)過點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OC恰好為∠AOE的角平分線時(shí)，另作射線OF，使得OF平分∠COD，當(dāng)∠EOF=10°時(shí)，則∠AOC的度數(shù)是．【答案】(1)65，40(2)①135°；②135°(3)35°或55°【分析】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的相關(guān)計(jì)算．熟練掌握角平分線定義，得出角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖中角的和差關(guān)系和角平分線的定義求解；（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠DOF和∠COE，再根據(jù)∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF求解；（3）分OF在∠EOD內(nèi)部和OF在∠EOD外部兩種情況，分別計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵∠COE=25°,∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-25°=65°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=65°，∴∠AOC=∠AOE-∠COE=65°-25°=40°，故答案為：65，40；（2）解：①∵∠AOC=50°,∠COD=90°∴∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=40°，∵OF平分∠BOD,OE平分∠AOC，∴∠DOF=1∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=25°+90°+20°=135°；②∵∠AOC=α,∠COD=90°，∴∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=90°-α，∵OF平分∠BOD,OE平分∠AOC，∴∠DOF=1∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=1故答案為：135°；（3）解：當(dāng)OF在∠EOD內(nèi)部時(shí)，如圖：∵OF平分∠COD,∠COD=90°，∴∠COF=1∵∠EOF=10°，∴∠COE=∠COF-∠EOF=35°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠COE=35°；當(dāng)OF在∠EOD外部時(shí)，如圖：∵OF平分∠COD,∠COD=90°，∴∠COF=1∵∠EOF=10°，∴∠COE=∠COF+∠EOF=55°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠COE=55°，綜上可知，∠AOC的度數(shù)是35°或55°，故答案為：35°或55°．【變式2-1】如圖，OC是∠BOD的平分線，OE是∠BOC內(nèi)部一條射線，過點(diǎn)O作射線OA，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°則∠AOC的度數(shù)為（

）A．15° B．105° C．15°或105° D．無法計(jì)算【答案】C【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，明確題意，理清圖中各角度之間的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．由OC是∠BOD的平分線得∠COD=∠COB=12∠BOD=60°，進(jìn)而求得∠BOE=∠COB-∠COE=30°，結(jié)合∠AOB:∠BOE=3:2得∠AOB=32∠BOE=45°，再分兩種情況：當(dāng)OA在【詳解】解：∵∠BOD=120°，OC是∠BOD的平分線，∴∠COD=∠COB=1又∵∠COE=30°，∴∠BOE=∠COB-∠COE=30°，而∠AOB:∠BOE=3:2，∴∠AOB=3如圖，當(dāng)OA在AB下方時(shí)，此時(shí)，∠AOC=∠COB+∠AOB=60°+45°=105°；如圖，當(dāng)OA在AB上方時(shí)，此時(shí)，∠AOC=∠COB-∠AOB=60°-45°=15°；即：∠AOC=15°或105°，故選：C．【變式2-2】已知∠AOB=60°,∠AOC=13∠AOB，射線OD平分∠BOC，則【答案】20°或40°【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，正確求得∠BOC的度數(shù)是關(guān)鍵，因考慮不周，容易漏掉一種情況的解．分兩種情況(OC在∠AOB內(nèi)或外），分別首先求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠COD的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時(shí)，如圖1，則∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-1∵射線OD平分∠BOC，∴∠COD=1當(dāng)OC在∠AOB外時(shí)，如圖2，則∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+1∵射線OD平分∠BOC，∴∠COD=1綜上，∠COD=20°或40°．故答案為：20°或40°．【變式2-3】如圖1，把一副三角板拼在一起，邊OA、OC放在直線EF上，其中∠AOB=45°，

(1)求圖1中∠BOD的度數(shù)；(2)如圖2，三角板COD固定不動(dòng)，將三角板AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三角板AOB一直在直線EF上方，設(shè)∠EOA=α．①若OB平分∠EOD，求α；②若∠AOC=4∠BOD，求α．【答案】(1)∠BOD=75°(2)①α=15°；②40°或96°【分析】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)∠BOD=180°-∠AOB-∠COD可得結(jié)論；（2）①先求出∠EOD=120°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EOB=60°，進(jìn)而可得到結(jié)論；②分射線OB在∠EOD內(nèi)部和射線OB在∠DOC內(nèi)部兩種情況求解即可．【詳解】（1）∵∠AOB=45°,∠COD=60°，∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=75°；（2）①∵∠COD=60°，∴∠EOD=180°-60°=120°，當(dāng)OB平分∠EOD時(shí)，∠EOB=1∵∠AOB=45°，∴∠AOE=60°-45°=15°，∴α=15°；②當(dāng)射線OB在∠EOD內(nèi)部時(shí)，∵∠AOB=45°,∠COD=60°,∠EOA=α，∴∠BOD=180°-45°-60°-α=75°-α，∵∠AOC=180°-α，∴180°-α=475°-α解得α=40°．當(dāng)射線OB在∠DOC內(nèi)部時(shí)，設(shè)∠DOB=x，則∠AOC=4x，∵∠AOB+∠DOC-x=4x，∴45°+60°-x=4x，∴x=21°，∴∠AOC=84°，∴α=180°-84°=96°，綜上所述，滿足條件的α的值為40°或96°．【變式2-4】已知點(diǎn)O在直線AB上，∠COD=∠EOF=90°．(1)如圖1，若射線OA是∠COE的平分線，∠DOF=124°，求∠AOC的度數(shù)；(2)如圖2，延長線段FO得到射線OG，求∠DOF比∠COG大多少度；(3)在（2）的條件下，如圖3，若∠BOF+3∠COG=100°，∠GOD:∠DOB=3:2，過點(diǎn)O作射線OM，使∠AOC=2∠EOM，求∠COM的度數(shù)．【答案】(1)∠AOC=28°(2)∠DOF比∠COG大90°(3)∠COM=95°或55°【分析】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，幾何圖形中的角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟記角平分線的定義．（1）先求出∠COE=360°-90°-90°-124°=56°，根據(jù)射線OA是∠COE的平分線，求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)∠COG=90°-∠DOG，∠DOF=180°-∠DOG，求出∠DOF-∠COG=90°即可；（3）先根據(jù)已知條件求出∠COG=15°，得出∠BOD=50°，∠BOF=55°，進(jìn)一步求出∠AOC=40°，∠AOE=35°，得出∠EOM=12∠AOC=20°，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OM在OE的下方時(shí)，當(dāng)OM【詳解】（1）解：∵∠COD=∠EOF=90°，∠DOF=124°，∴∠COE=360°-90°-90°-124°=56°，∵射線OA是∠COE的平分線，∴∠AOC=1（2）解：∵∠COD=90°，∴∠COG=90°-∠DOG，∵∠DOF=180°-∠DOG，∴∠DOF-∠COG=180°-∠DOG即∠DOF比∠COG大90°．（3）解：根據(jù)解析（2）可知，∠DOF-∠COG=90°，∴∠DOF=∠COG+90°，∵∠BOF+3∠COG=100°，∴∠BOF=100°-3∠COG，∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=∠COG+90°-=∠COG+90°-100°+3∠COG=4∠COG-10°，∵∠GOD:∠DOB=3:2，∴∠GOD=3∵∠GOD=90°-∠COG，∴6∠COG-15°=90°-∠COG，解得：∠COG=15°，∴∠BOD=4∠COG-10°=4×15°-10°=50°，∠BOF=100°-3∠COG=55°，∴∠AOC=180°-90°-50°=40°，∠AOE=180°-90°-55°=35°，∵∠AOC=2∠EOM，∴∠EOM=1當(dāng)OM在OE的下方時(shí)，如圖所示：∠COM=∠AOC+∠AOE+∠EOM=40°+35°+20°=95°；當(dāng)OM在OE的上方時(shí)，如圖所示：∠COM=∠AOC+∠AOE-∠EOM=40°+35°-20°=55°；綜上分析可知：∠COM=95°或55°．【題型3：角的折疊綜合問題】【典例3】利用折紙可以作出角平分線，如圖1，OC即為∠AOB的平分線．如圖2、圖3，折疊長方形紙片，OC,OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，連接(1)如圖2，若點(diǎn)B'恰好落在OA'上，且∠AOC=32°(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時(shí)，若∠AOC=44°,∠BOD=61°【答案】(1)58°；(2)30°．【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)，可知∠AOA'=2∠AOC,∠BOB'=2∠BOD．因?yàn)辄c(diǎn)B'落在OA'上，所以∠AO（2）由折疊的性質(zhì)，可知∠AOA'=2∠AOC=2×44°=88°,∠BOB'=2∠BOD=2×61°=122°，所以【變式3-1】如圖，把一張長方形的紙片沿著EF折疊，點(diǎn)C,D分別落在M,N的位置，且∠MFB=12∠MFE，則∠MFB=A．30° B．36° C．45° D．72°【答案】B【分析】由折疊可知∠CME=∠MFE，結(jié)合∠MFB=12∠MFE以及∠CFE+∠MFE+∠MFB=180°【詳解】解：∵在長方形ABCD中，紙片沿著EF折疊，∴∠CME=∠MFE，∵∠MFB=1又∵∠CFE+∠MFE+∠MFB=180°，∴2∠MFB+2∠MFB+∠MFB=180°，∴5∠MFB=180°，∴∠MFB=36°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何圖形中角的運(yùn)算、圖形折疊等知識(shí)，掌握折疊后的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】將一張長方形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B'、D'，若∠B'AA．40° B．40.5° C．41° D．42°【答案】C【分析】可以設(shè)∠EAD′=α，∠FAB′=β，根據(jù)折疊可得∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE，進(jìn)而可求解．【詳解】解：設(shè)∠EAD′=α，∠FAB′=β，根據(jù)折疊性質(zhì)可知：∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE，∵∠B′AD′=8°，∴∠DAF=8°+β，∠BAE=8°+α，∵四邊形ABCD是長方形，∴∠DAB=90°，∴8°+β+β+8°+8°+α+α=90°，∴α+β=33°，∴∠EAF=∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′=8°+α+β=8°+33°=41°．則∠EAF的度數(shù)為41°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何中角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意找到角之間的關(guān)系．【變式3-3】折紙中的數(shù)學(xué)我們?cè)诘谒恼隆稁缀螆D形初步》中學(xué)習(xí)了角的平分線，并會(huì)用折紙的方法作角平分線．如圖是教材第135頁的探究，將紙片折疊使QP與QR重合，QM是折痕，此時(shí)∠PQM與∠RQM重合，所以∠PQM=∠RQM，射線QM是∠PQR的平分線．【知識(shí)初探】如圖（1），四邊形ABCD是一張正方形紙片，將正方形紙片ABCD沿BD對(duì)折，把正方形展平，再將∠A和∠C分別沿BE和BF折疊，使點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)A'處，使點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)C'處，A'與C'重合，則∠ABE=__________【類比再探】如圖（2），將正方形紙片ABCD的∠A沿BE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，將∠C沿BF折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，點(diǎn)C'與點(diǎn)A小官同學(xué)：猜想∠EBF=45°．理由如下：∵∠A沿BE折疊，∴∠ABE=∠A∵∠C沿BF折疊，∴，∵∠A'∴∠EBF=∠A'BE+∠C【拓展探究】如圖（3），在圖（2）的基礎(chǔ)．上將正方形紙片ABCD展平，然后將∠A和∠C分別沿BG和BH再折疊，使點(diǎn)A落在BE上的點(diǎn)A″處，點(diǎn)C落在BF上的點(diǎn)處．猜想∠ABG和∠CBH【答案】【知識(shí)初探】22.5，45；【類比再探】∠CBF=∠C'BF=12∠【分析】本題考查角平分線有關(guān)的計(jì)算問題，掌握角平分線的定義與審清題意是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)初探】根據(jù)題意得出BD是∠ABC的角平分線，BE和BF分別是∠ABD與∠CBD的角平分線，據(jù)此可解；【類比再探】由∠A沿BE折疊可得∠ABE=∠A'BE=12∠A'BA，同理由∠C沿BF【拓展探究】由（2）知∠EBF=45°，從而得到∠ABE+∠CBF=45°，再用與（2）相同的方法可得∠ABG+∠CBH=22.5°．【詳解】解：【知識(shí)初探】由題意可知：BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD=45°，同理可得：BE和BF分別是∠ABD與∠CBD的角平分線，∴∠ABE=∠DBE=12∠ABD=22.5°∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=45°，故答案為：22.5，45；【類比再探】證明：∵∠A沿BE折疊，∴∠ABE=∠A∵∠C沿BF折疊，∴∠CBF=∠∵∠∴∠EBF=∠A==45°，故答案為：∠CBF=∠C'BF=12【拓展探究】∠ABG+∠CBH=22.5°，理由如下：由（2）可知：∠EBF=45°，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=45°，∵∠A和∠C分別沿BG和BH再折疊，∴∠ABG=12∴∠ABG+∠CBH=1【變式3-4】如圖1，已知長方形的紙片ABCD．操作1：如圖2，把紙片沿BM折疊，使AB落在邊BC上，則∠MBA'操作2：如圖3，把紙片沿BM、BN折疊，使AB、BC的對(duì)應(yīng)邊BA'、BC操作3：如圖4，把紙片沿PM、PN折疊，使PB、PC的對(duì)應(yīng)邊PB'、PC【答案】（1）45°；（2）45°；（3）90°【分析】（1）由折疊知∠ABM=∠A'BM（2）由折疊知∠ABM=∠A'BM，∠CBN=∠（3）由折疊知∠BPM=∠B'PM，∠CPN=∠【詳解】解：（1）由折疊知∠ABM=∠A由題意得：∠ABC=90°∴∠MBA故答案為：45°；（2）由折疊可知：∠ABM=∠MBA∵∠ABM+∠MBA∴2∠MBA∴2∠MB∴∠MBA∵∠MBN=∠MBA∴∠MBN=45°；（3）由折疊知：∠BPM=∠B'PM∵∠BPC=2∠BPM+2∠NPC=180°∴2∴∠BPM+∠NPC=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，由折疊得角相等，再根據(jù)角之間的和差倍分關(guān)系解決問題是解題關(guān)鍵．【題型4：鐘表問題】【典例4】生活處處有數(shù)學(xué)，就看你是否有數(shù)學(xué)的眼光．同學(xué)們都見過機(jī)械手表吧，讓我們一起去探索其中隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)．一塊手表如圖①所示，把它抽象成數(shù)學(xué)模型，如圖②，表帶的兩端用點(diǎn)A和點(diǎn)D表示，表盤與線段AD交于點(diǎn)B，C，O為表盤圓心．(1)若BC為3cm，CD:AB=2:1，B是AC的中點(diǎn)，則手表全長AD=cm(2)表盤上的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)數(shù)字“12”，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)數(shù)字“6”，OE為時(shí)針，ON為分針，8:30時(shí)表盤指針狀態(tài)如圖③所示，分針ON與OC重合．①∠EON=°；②作射線OF，使∠EOF=20°，求此時(shí)∠BOF的度數(shù)．(3)如圖④，自8:30之后，OM始終是∠EON的平分線（分針還是ON），在一小時(shí)內(nèi)，經(jīng)過________分鐘，∠EOM的度數(shù)是25°．【答案】(1)12(2)①75；②125°或85°(3)t的值為5011或【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，鐘面角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用：（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)，求出AC的長，比例關(guān)系，求出CD的長，再根據(jù)AD=AC+CD，計(jì)算即可；（2）①求出分針每分鐘走360°÷60=6°，時(shí)針每分鐘走30°÷60=0.5°，根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；②分OF在∠EON的內(nèi)部和OF在∠EON的外部，兩種情況進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)經(jīng)過t分鐘，∠EOM的度數(shù)是25°，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：因?yàn)锽是AC的中點(diǎn)．所以AB=BC=1所以AC=6?cm因?yàn)镃D:AB=2:1，所以CD=6?cm所以AD=AC+CD=12?cm（2）①分針每分鐘走360°÷60=6°，時(shí)針每分鐘走30°÷60=0.5°．30分鐘時(shí)針走過0.5°×30=15°，即時(shí)針從8點(diǎn)到8:30走過15°，所以∠EON=15°+2×30°=75°．②當(dāng)OF在∠EON的內(nèi)部時(shí)，∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°，所以∠BOF=180°-∠NOF=180°-55°=125°．當(dāng)OF在∠EON的外部時(shí)，∠BOF=180°-∠EON+∠EOF綜上，∠BOF的度數(shù)為125°或85°．（3）解：設(shè)經(jīng)過t分鐘，∠EOM的度數(shù)是25°．因?yàn)闀r(shí)針與分針每分鐘走的度數(shù)差為6°-0.5°=5.5°，所以∠EON=75°-5.5t因?yàn)镺M平分∠EON，所以∠EOM=75°-5.5t當(dāng)75°-5.5t2=25°時(shí)，當(dāng)5.5t-75°2=25°時(shí)，綜上，t的值為5011或250【變式4-1】知識(shí)的遷移與應(yīng)用問題一：甲、乙兩車分別從相距180km的A、B兩地出發(fā)，甲車速度為36km/h，乙車速度為24km/h，兩車同時(shí)出發(fā)，同向而行（乙車在前甲車在后），問題二：將線段彎曲后可視作鐘表的一部分，如圖，在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面上，OA表示時(shí)針，OB表示分針（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．下午4點(diǎn)時(shí)，OA與OB的夾角∠AOB=120°．（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為；（2）3:40時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕嵌?；?）在下午4點(diǎn)至5點(diǎn)之間，從下午4點(diǎn)開始，經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針與分針成60°角？

【答案】問題一：5h或25h；問題二：（1）6°，0.5°；（2）130°；（3）6011【分析】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，鐘面角．問題一：設(shè)xh后兩車相距120km，分兩種情況進(jìn)行討論：相遇前兩車相距120km問題二：（1）根據(jù)鐘面角即可解答；（2）分別求出3:40時(shí)，分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度和時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度，即可解答；（3）設(shè)在下午4點(diǎn)至5點(diǎn)之間，從下午4點(diǎn)開始，經(jīng)過x分鐘，時(shí)針與分針成60°角，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)分針在時(shí)針上方時(shí)，②當(dāng)分針在時(shí)針下方時(shí)，分別列出方程求解即可．【詳解】解：問題一：設(shè)xh后兩車相距120若相遇前，則36x-24x=180-120，解得x=5，若相遇后，則36x-24x=180+120，解得x=25．∴兩車同時(shí)出發(fā)，同向而行（乙車在前甲車在后），5h或25h后兩車相距故答案為：5h或25問題二：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為360°÷60=6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為360°÷12×60故答案為：6°，0.5°；（2）3:40時(shí)，分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度為6°×40=240°，∵鐘面一共有12個(gè)大格，∴每轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)大格，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度為360°÷12=30°．∴3:40時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度為30°×3+0.5°×40=110°，∴故3:40時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕嵌?40°-110°=130°；故答案為：130°；（3）設(shè)在下午4點(diǎn)至5點(diǎn)之間，從下午4點(diǎn)開始，經(jīng)過x分鐘，時(shí)針與分針成60°角．①當(dāng)分針在時(shí)針上方時(shí)，由題意得：3+x解得：x=60②當(dāng)分針在時(shí)針下方時(shí)，由題意得：6x-3+解得：x=300答：在下午4點(diǎn)至5點(diǎn)之間，從下午4點(diǎn)開始，經(jīng)過6011或30011分鐘，時(shí)針與分針成60°【變式4-2】剛上初中的琪琪為了更加高效的完成作業(yè)，進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練，特意去商店買了一塊機(jī)械手表，愛鉆研的琪琪發(fā)現(xiàn)了手表上的數(shù)學(xué)問題，如圖①所示是一塊手表，我們可以理解成如圖②的數(shù)學(xué)模型（點(diǎn)A和點(diǎn)D是表帶的兩端，點(diǎn)A、(1)已知表盤直徑BC為3cm，CD:AB=2:1，若B是AC中點(diǎn)，則手表全長AD=______cm(2)在某個(gè)時(shí)刻，分針ON指向表盤上的數(shù)字“6”（此時(shí)ON與OC重合）．時(shí)針為OE，琪琪一看現(xiàn)在正好是8:30，如圖①8:30時(shí)分針和時(shí)針的夾角為②作射線OF，使∠EOF=20°，求此時(shí)∠BOF的度數(shù)．(3)如圖④所示．自8:30之后，OM始終是∠EON的角平分線（分針還是ON），在一小時(shí)以內(nèi)，經(jīng)過_______分鐘后，∠EOM的度數(shù)是【答案】(1)12；(2)75；∠BOF=85°或∠BOF=125°；(3)5011或250【分析】（1）B是AC中點(diǎn)，求得AB=3cm，AC=6cm，再根據(jù)CD:AB=2:1，求得CD=6cm（2）①表盤為圓分12小時(shí)，每分鐘時(shí)針走過的度數(shù)為0.5°，8點(diǎn)整，時(shí)針剛好落在8時(shí)上，30分鐘后時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)0.5°×30=15°，則8:30時(shí)，分鐘在6時(shí)處，時(shí)針在8時(shí)過15°的地方，即∠EON=15°+2×30°=75°；②分情況討論，當(dāng)射線OF在∠EON內(nèi)部和外部兩種情況討論，即可求得解；（3）根據(jù)∠EON=75°-5.5t【詳解】（1）解：∵B是AC中點(diǎn)，∴AB=BC=1∴AC=6cm∵CD:AB=2:1；∴CD:3=2:1；∴CD=6cm∴AD=AC+CD=12cm故答案為：12；（2）解：①分針的速度為360°÷60=6°（每分）；時(shí)針的速度為30°÷60=0.5°（每分）；30分鐘時(shí)針走的路程為0.5°×30=15°，即時(shí)針從8點(diǎn)到8:30分走的路程為15°，故答案為：75；②當(dāng)OF在∠EON內(nèi)部時(shí)，∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°∴∠BOF=180°-∠NOF=125°；當(dāng)OF在∠EON外部時(shí)，∠BOF=（3）解：設(shè)經(jīng)過時(shí)間為t分鐘，時(shí)針與分針得速度差為6°-0.5°=5.5°，∴∠EON=∵OM平分∠EON，∴∠EOM=75°-5.5t①75°-5.5t解得t=50②解得t=250故答案為：5011或250【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差問題，角平分線的性質(zhì)和鐘面角，以及分類討論的思想．【題型5：平行線作輔助線綜合】【典例5】綜合與探究，問題情境：綜合實(shí)踐課上，王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)如圖1，EF∥MN，點(diǎn)A，B分別為直線EF，MN上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線間一點(diǎn)且∠PAF=130°，∠PBN=120°，求問題遷移(2)如圖2，射線OM與射線ON交于點(diǎn)O，直線m∥n，直線m分別交OM，ON于點(diǎn)A，D，直線n分別交OM，ON于點(diǎn)B，C，點(diǎn)P在射線①當(dāng)點(diǎn)P在A，B（不與A，B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；②若點(diǎn)P不在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD，∠α，∠β間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)110°(2)①∠CPD=α+β；②當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD=β-α；當(dāng)P在OB之間時(shí)，∠CPD=α-β．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，（1）過P作PG∥EF，則PG∥EF∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出（2）①同（1）即可求解；②當(dāng)P在BA延長線時(shí)，過P作PE∥AD交AD于E，結(jié)合圖形可得∠CPD=β-α．當(dāng)P在OB之間時(shí)，過P作PE∥AD交CD于【詳解】（1）解：過P作PG∥EF，則∴∠PAF+∠GPA=180°，∠PBN+∠GPB=180°∴∠GPA=180°-130°=50°，∠GPB=180°-∠PBN=60°，∴∠APB=∠GPA+∠GPB=50°+60°=110°．（2）①當(dāng)點(diǎn)P在A,B（不與A,B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠ADP=∠α,∠BCP=∠β過點(diǎn)P作PQ∥∴AD∥∴∠1=α，∴∠CPD=∠1+∠2=∠α+∠β．

②當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD=β-α．過P作PE∥AD交AD于∵AD∥∴AD∴∠DPE=α，∠CPE=β∴∠CPD=β-α

當(dāng)P在OB之間時(shí)，∠CPD=α-β

過P作PE∥AD交CD于∵AD∴AD∴∠DPE=α,∠CPE=β,∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=α-β∴∠CPD=α-β【變式5-1】如圖，AB∥CD，∠BED=61°，ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)F，則∠DFB=(

)A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、角的計(jì)算以及四邊形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)．過點(diǎn)E作EG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，根據(jù)角的計(jì)算以及角平分線的定義可得∠FBE+∠EDF=1【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EG∥∵AB∥CD∴AB∥∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，又∵∠BED=61°，∴∠ABE+∠CDE=299°，∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∴∠FBE+∠EDF=1∵四邊形BFDE的內(nèi)角和為360°，∴∠BFD=360°-∠FBE+∠EDF故選：B．【變式5-2】如圖，AB∥EF，CD⊥EF于點(diǎn)D，若∠ABC=30°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．120° B．110° C．100° D．90°【答案】A【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵；過點(diǎn)C作GH∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)求解即可；【詳解】解：過點(diǎn)C作GH∥AB∵AB∥GH∴∠B=∠BCH=30°，∵CD⊥EF∴∠CDE=90°∵GH∥EF∴∠HCD=∠CDE=90°，∴∠BCD=∠BCH+∠HCD=30°+90°=120°故選：A【變式5-3】如圖是一款長臂折疊LED護(hù)眼燈示意圖，EF與桌面MN垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管AB恰好與桌面MN平行時(shí)，∠DEF=120°，∠BCD=110°，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．100° B．105° C．110° D．115°【答案】A【分析】本題考查垂線的定義、平行線定理、平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)D作DG∥AB，過點(diǎn)E作EH∥AB，由題意得∠MFE=90°，根據(jù)平行線定理可得AB∥【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DG∥AB，過點(diǎn)E作∵EF⊥MN，∴∠MFE=90°，∵AB∥∴AB∥∴∠ACD+∠CDG=180°，∠GDE=∠DEH，∠HEF=∠MFE=90°，∴∠CDG=180°-110°=70°，∠GDE=∠DEH=∠DEF-∠HEF=120°-90°=30°，∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=70°+30°=100°，故選：A．【變式5-4】如圖，已知AB∥DE，且∠C=110°，則∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系為（

A．∠2-∠1=70° B．∠2+∠1=90°C．∠2+2∠1=90° D．∠1=150°-∠2【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出平行線，利用平行線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系．過點(diǎn)C作CF∥AB，則CF∥AB∥【詳解】解：過點(diǎn)C作CF∥

因?yàn)锳B則CF∥∴∠BCF=∠1,∠DCF+∠2=180°，∵∠BCD=110°，∴∠DCF=110°-∠BCF=110°-∠1，∴110°-∠1+∠2=180°，∴∠2=∠1+70°，故選：A．【變式5-5】如圖，a∥b，若∠1=75°，則∠2-∠3=（A．75° B．180° C．105° D．95°【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵．如圖作a∥c，，可得a∥b∥【詳解】解：如圖，作a∥∵a∥∴a∥∴∠1+∠4=180°,∠3=∠5，∵∠4+∠5=∠2，∴∠4=∠2-∠5，∴∠2-∠3=∠2-∠5=∠4，∵∠1=75°，∴∠4=180°-∠1=105°∴∠2-∠3=∠4=105°，故選：C．【變式5-6】如圖，a∥b，將一個(gè)含有45°角的三角板放置到如圖所示位置．若∠α=30°A．10° B．15° C．20° D．75°【答案】B【分析】如圖，過等腰直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠NMK=∠α，∠NML=【詳解】解：如圖，過M作MN∥a，∵a∥b，∴MN∥b，∴∠NMK=∠α=30°∵∠LMK=45°∴∠NML=45°-30°=15°，∠β=15°故選：B．【變式5-7】如圖，已知AD∥EC，∠A=130°，∠C=30°，則∠B的度數(shù)為（A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】作BF∥AD，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到∠ABF=50°，根據(jù)平行公理推論得到BF∥EC，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得到本題考查了，平行線的性質(zhì)，平行行公理推論，解題的關(guān)鍵是：做出輔助線．【詳解】解：過點(diǎn)B，作BF∥AD，∵BF∥AD，∴∠A+∠ABF=180°，∴∠ABF=180°-∠A=180°-130°=50°，∵AD∥EC，∴BF∥∴∠FBC=∠C=30°，∴∠ABC=∠ABF+∠FBC=50°+30°=80°，故選：B．【變式5-8】如圖，AB∥CD，點(diǎn)(1)如圖1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，則∠AEC=_______；(2)如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點(diǎn)F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)55°；(2)見解析；(3)2∠AFC+∠AEC=360°，理由見解析．【分析】本題考查平行線的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)探索角之間的關(guān)系．（1）過點(diǎn)E作直線MN∥AB，利用平行線的性質(zhì)證明∠AEM=∠BAE，∠CEM=∠DCE，即可得到∠AEC=∠BAE+∠DCE=35°+20°=55°；（2）過點(diǎn)E作EG∥AB，利用平行線的性質(zhì)證明∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，即可證明∠A+∠1+∠2+∠C=360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（3）由（1）可得∠AFC=∠BAF+∠DCF，再證明∠BAE+∠DCE=2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°，即可證明2∠AFC+∠AEC=360°．【詳解】（1）解：過點(diǎn)E作直線MN∥AB，∵AB∥∴MN∥AB∥CD，∴∠AEM=∠BAE，∠CEM=∠DCE，∵∠AEC=∠AEM+∠CEM，∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=35°+20°=55°．（2）解：如圖所示，過點(diǎn)E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°．（3）解：①2∠AFC+∠AEC=360°，理由如下：由（1）可得∠AFC=∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE=2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°，∴2∠AFC+∠AEC=360°．【變式5-9】已知：AB∥CDCD，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，M為AB與CD之間一點(diǎn)．(1)如圖1，求證：∠EMF=(2)如圖2，∠BEM=40°，MH平分∠EMF，∠BEM的平分線與MH的反向延長線交于點(diǎn)N，若∠(3)如圖3，F(xiàn)T平分∠MFC，TE平分∠FTM，∠TMF=90°，請(qǐng)直接寫出∠ETF【答案】(1)見解析(2)60°(3)1【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．（1）過M向左作MQ∥AB，利用平行線的性質(zhì)得到∠EMQ=∠BEM，∠FMQ=∠MFD，然后利用角的