專題角中常用數(shù)學(xué)思想【八大題型】 【蘇科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方程思想之用角的和差列方程】 1【題型2方程思想之用平角、周角列方程】 3【題型3整體思想之設(shè)單角參數(shù)求角度】 4【題型4整體思想之設(shè)雙角參數(shù)求角度】 6【題型5分類討論思想之按角的內(nèi)外部分類】 8【題型6分類討論思想之按順逆時(shí)針?lè)诸悺?9【題型7分類討論思想之n等分角】 11【題型8數(shù)形結(jié)合求角度】 13知識(shí)點(diǎn)1：角的和差列方程結(jié)論:∠ABE=∠ABC+∠CBD+∠DBE.【題型1方程思想之用角的和差列方程】【例1】（23-24七年級(jí)·山東淄博·期中）已知點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，OC，OE，OF是三條射線，∠COE=90°，(1)當(dāng)∠AOC<90°時(shí)．①若射線OC，OE，OF在直線AB的同側(cè)（圖1），②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是_______；③當(dāng)OC與OE，OF在直線AB兩旁時(shí)（如圖2），設(shè)∠COF=x，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，用x的代數(shù)式表示∠BOE，說(shuō)明(2)當(dāng)∠AOC>90°，OC與OE，OF在直線AB兩旁時(shí)（如圖3），上述∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)仿照③中的方法說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出∠COF和【變式1-1】（23-24七年級(jí)·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，若∠COB=3∠AOD，OE為∠AOD的角平分線，則∠COE的度數(shù)是（

）A．45° B．60° C．65° D．67.5°【變式1-2】（23-24七年級(jí)·重慶開州·期末）如圖，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，則∠AOD的度數(shù)為（

）A．40° B．45° C．60° D．75°【變式1-3】（23-24七年級(jí)·甘肅慶陽(yáng)·期末）如圖，∠AOB:∠BOC:∠COD=2:3:4，射線OM，ON分別平分∠AOB，∠COD，若∠MON=84°，則∠AOB的度數(shù)為（

）A．14° B．28° C．42° D．56°知識(shí)點(diǎn)2：用平角、周角列方程條件:A,B,C三點(diǎn)共線結(jié)論:∠ABD+∠DBC=180°條件:已知射線OA,OB,OC.結(jié)論:∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°【題型2方程思想之用平角、周角列方程】【例2】（23-24七年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥OF，OF平分∠BOD，∠BOF:∠BOC=1:4，則∠BOE的度數(shù)為（

）A．45° B．55° C．60° D．65°【變式2-1】（23-24七年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF=66°，則∠BOC=【變式2-2】（23-24七年級(jí)·湖北恩施·期末）已知∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OD平分∠BOC，射線OE在∠AOB內(nèi)部，且4∠BOE+∠BOC=180°，∠DOE=65°，OM⊥OB，則∠MOE=．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·安徽蚌埠·期末）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,∠AOC=∠BOD，∠EOF=∠COG=90°,OA平分∠COF，射線OD將∠BOE分成了角度數(shù)之比為2:1的兩個(gè)角，則∠COF的大小為（）A．45° B．60° C．72°或45° D．40°或60°【題型3整體思想之設(shè)單角參數(shù)求角度】【例3】（23-24七年級(jí)·福建福州·期末）已知∠AOB=120°，OC、OD是過(guò)點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則∠MON=______°(2)如圖②，若∠COD=40°，∠AOC≠∠DOB，則∠MON=______°(3)如圖③，在∠AOB內(nèi)，若∠COD=α0°<α<60°，則∠MON=(4)將（3）中的∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部（0<∠AOC<180°，0<∠BOD<180°），求此時(shí)∠MON的度數(shù)．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·四川成都·開學(xué)考試）已知∠AOB=110°，∠COD=40°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如圖①，當(dāng)OB，OC重合時(shí)，求(2)當(dāng)∠COD從圖①所示位置繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（0<t<10）；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠AOE-∠BOF的值是否會(huì)因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分別平分∠AOD，∠BOD．(1)如圖1，當(dāng)OA，OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；(2)若將∠COD的從圖1的位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°.①如圖2，試判斷∠BOF與∠COE之間滿足的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.②在∠COD旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出∠BOE，∠COF，∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系.【變式3-3】（23-24七年級(jí)·江蘇泰州·期末）（1）將一副直角三角板ABC，ADE按如圖1所示位置擺放，∠BAC=45°，∠EAD=60°．分別作∠BAE，∠CAD的平分線AM，AN．試求∠MAN的度數(shù)．（2）將三角板ADE從圖1位置開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分線．試求∠MAN的度數(shù)．（3）將三角板ADE從圖1位置開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°0°<α<360°，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分線．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，∠MAN【題型4整體思想之設(shè)雙角參數(shù)求角度】【例4】（23-24七年級(jí)·河南駐馬店·期末）如圖，O為直線AC上一點(diǎn)，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC的內(nèi)部，∠BOE=13∠BOC,∠DOE=72°，則∠EOCA．70° B．72° C．75° D．80°【變式4-1】（23-24七年級(jí)·福建龍巖·期末）學(xué)習(xí)千萬(wàn)條，思考第一條。請(qǐng)你用本學(xué)期所學(xué)知識(shí)探究以下問(wèn)題：（1）已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，并在∠MON內(nèi)部作射線OC．①如圖1，三角板的一邊ON與射線OB重合，且∠AOC=150°，若以點(diǎn)O為觀察中心，射線OM表示正北方向，求射線OC表示的方向；②如圖2，將三角板放置到如圖位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON=2∠NOC，求∠AOM的度數(shù).（2）已知點(diǎn)A、O、B不在同一條直線上，∠AOB=α,∠BOC=β，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，用含α,β【變式4-2】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知，∠AOB＝3∠COD，∠COD＝α，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，∠COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)若α＝45°．①如圖1，當(dāng)∠COD旋轉(zhuǎn)到OC與OB重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)∠COD從圖1的位置開始繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，其中0＜n＜45，求∠EOF的度數(shù)；(2)若0°＜α＜60°，∠COD從圖3的位置（OC與OB重合）開始繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，則∠BOF的度數(shù)為．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）已知射線OB，OC在∠AOD內(nèi)部，其中OB為∠AOC的三等分線，OE，OF分別平分∠BOD和∠COD，若∠EOF=14°知識(shí)點(diǎn)3：按角的內(nèi)外部分類條件:已知∠AOB,射線OC,∠AOB>∠AOC.結(jié)論:當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí),∠BOC1=∠AOB-∠AOC1；當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí),∠BOC2=∠AOB+∠AOC2【題型5分類討論思想之按角的內(nèi)外部分類】【例5】（23-24七年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）已知OC是∠AOB的平分線，∠BOD=13∠COD，OE平分∠COD，設(shè)∠AOB=α，則∠BOE=A．516α或18α B．516α或16α【變式5-1】（23-24七年級(jí)·江蘇南京·期末）以∠AOB的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)引射線OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，則∠AOC=．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·山西運(yùn)城·期末）已知點(diǎn)A，O，B依次在同一直線上，射線OC平分∠AOB，∠COD=20°，OE平分∠BOD，則∠COE的度數(shù)是（

）A．50° B．35° C．55° D．55°或35°【變式5-3】（23-24七年級(jí)·重慶渝中·開學(xué)考試）已知∠AOB=120°，OC為∠AOB的角平分線，過(guò)點(diǎn)O作射線OD，若∠AOD=3∠BOD，則∠COD的角度是（

）A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°知識(shí)點(diǎn)4：按順逆時(shí)針?lè)诸悧l件:已知∠AOB,射線OC,∠AOB<∠AOC.結(jié)論:(1)∠BOC1=∠AOC1-∠AOB；(2)∠BOC2=∠AOB+∠AOC2；(3)∠AOC3+∠BOC3+∠AOB=360°．【題型6分類討論思想之按順逆時(shí)針?lè)诸悺俊纠?】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，∠AOB=100°，射線OC以2°/s的速度從OA位置出發(fā)，射線OD以10°/s的速度從OB位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(1)當(dāng)t=10時(shí)，求∠COD的度數(shù)；(2)若0≤t≤15．①當(dāng)三條射線OA、OC、OD構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于0°的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)t的值；②在射線OD，OC轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，射線OE始終在∠BOD內(nèi)部，且OF平分∠AOC，當(dāng)∠EOF=110°，求∠BOE∠AOD【變式6-1】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知∠COD在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如圖1，求∠AOD+∠BOC的大??；(2)如圖2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．(3)如圖3，若∠AOC＝30°，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與射線OB重合后，再以每秒15°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)射線OD以每秒30°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線OD，OC運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤22），當(dāng)∠COD＝120°時(shí)，直接寫出t的值．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·期末）已知：∠AOB=∠COD=80°（1）如圖1，∠AOC=∠BOD嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，直線MN平分∠AOD，直線MN平分∠BOC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若∠BOD=150°，∠BOE=20°，求∠COE的大?。咀兪?-3】（23-24七年級(jí)·貴州遵義·期末）請(qǐng)閱讀以下信息：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所組成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的“內(nèi)半角”．如圖①，若射線OC，OD在∠AOB的內(nèi)部，且∠COD=12∠AOB，則稱∠COD是∠AOB的“請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：(1)如圖①，∠AOB=50°，∠BOD=10°．若∠COD是∠AOB的“內(nèi)半角”，則∠AOC=_______．(2)如圖②，已知∠AOB=60°，將∠AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α0<α<60°至∠COD，即∠COD=∠AOB=60°，其中∠AOC=∠BOD=α．若∠COB是∠AOD的“內(nèi)半角”，求α的度數(shù)．(3)把一塊含60°的三角板COD按如圖③方式放置，使OC邊與OA邊重合，OD邊與OB邊重合．如圖④，將三角板COD繞頂點(diǎn)O以每秒6°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．當(dāng)射線OA，OB，OC，OD構(gòu)成“內(nèi)半角”時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．知識(shí)點(diǎn)5：按順逆時(shí)針?lè)诸悧l件:∠AOC=∠BOC結(jié)論:∠AOC1=12∠AOB或∠AOC2=180°-12條件:∠AOC=1n結(jié)論:∠AOC1=1n+1∠AOB或∠AOC2=【題型7分類討論思想之n等分角】【例7】（23-24七年級(jí)·浙江湖州·期末）定義：從∠AOB的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC，把∠AOB分成1:2的兩部分，射線OC叫做∠AOB的三等分線．若在∠MON中，射線OP是∠MON的三等分線，射線OQ是∠MOP的三等分線，設(shè)∠MOQ=x，則∠MON用含x的代數(shù)式表示為（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或92【變式7-1】（23-24七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為1:2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．如圖②，若∠MON=120°，射線OP為∠MON的“幸運(yùn)線”，則∠MOP【變式7-2】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】新定義：如果∠MON的內(nèi)部有一條射線OP將∠MON分成的兩個(gè)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的n倍，那么我們稱射線OP為∠MON的n倍分線，例如，如圖1，∠MOP=4∠NOP，則OP為∠MON的四倍分線．∠NOQ=4∠MOQ，則OQ也是∠MON的四倍分線．【問(wèn)題再現(xiàn)】（1）若∠AOB=60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠BOP>∠POA，求∠BOP的度數(shù)；【問(wèn)題推廣】（2）如圖2，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．若OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB）．①若∠AOC=120°，求∠POQ的度數(shù)；②若∠AOC=α，∠POQ的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展提升】（3）如圖3，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射線恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON），求【變式7-3】（23-24七年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）定義：如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“妙分線(1)如圖1，若∠AOB=90°，且射線OC是∠AOB的“妙分線”，求∠AOC的度數(shù)．(2)如圖2，若∠MPN=60°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒4°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，射線PM繞點(diǎn)P以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN成180°時(shí)，射線PQ，射線PM同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，射線PQ是∠MPN的“妙分線”．【題型8數(shù)形結(jié)合求角度】【例8】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·期末）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的．請(qǐng)你利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決以下的問(wèn)題：（1）如圖1：射線OC是∠AOB的平分線，這時(shí)有數(shù)量關(guān)系：∠AOB=______．（2）如圖2：∠AOB被射線OP分成了兩部分，這時(shí)有數(shù)量關(guān)系：∠AOB=______．（3）如圖3：直線AB上有一點(diǎn)M，射線MN從射線MA開始繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直到與射線MB重合才停止．①請(qǐng)直接回答∠AMN與∠BMN是如何變化的？②∠AMN與∠BMN之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式8-1】（23-24七年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）材料閱讀角是一種基本的幾何圖像，如圖1角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．鐘面上的時(shí)針與分針給我們以角的形象．如果把圖2作為鐘表的起始狀態(tài)，對(duì)于一個(gè)任意時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角度數(shù)可以用下面的方法確定．因?yàn)闀r(shí)針繞鐘面轉(zhuǎn)一圈（360°）需要12小時(shí)，所以時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)30°．如圖3中05:00時(shí)針就轉(zhuǎn)過(guò)30×5=150°．因?yàn)榉轴樌@鐘面轉(zhuǎn)一圈（360°）需要60分鐘，所以分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)6°．如圖4中00:28分針就轉(zhuǎn)過(guò)6×28=168°．再如圖5中6:40時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)為30×6+4060=200°，分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)記為6×40=240°，此時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)大于時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)，所以知識(shí)應(yīng)用請(qǐng)使用上述方法，求出7:20時(shí)針與分針的夾角．拓廣探索張老師某周六上午7點(diǎn)多去菜市場(chǎng)買菜，走時(shí)發(fā)現(xiàn)家中鐘表時(shí)鐘與分針的夾角是直角，買菜回到家發(fā)現(xiàn)鐘表時(shí)針與分針的夾角還是直角，可以確定的是張老師家的鐘表沒(méi)有故障，走時(shí)正常，且回家時(shí)間還沒(méi)到上午8點(diǎn)，請(qǐng)利用上述材料所建立數(shù)學(xué)模型列方程，求出張老師約7點(diǎn)多少分出門買菜？約7點(diǎn)多少分回到家？（結(jié)果用四舍五入法精確到分．）【變式8-2】（23-24七年級(jí)·云南昆明·期