南通通州一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.已知集合A={x|x2-5x+6≥0},B={x|2x-1>0},則A∩B等于？

A.(-∞,2)∪(3,+∞)

B.(2,3)

C.[2,3]

D.(-∞,2)∪[3,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z=1+i,則|z|等于？

A.1

B.√2

C.2

D.3

4.直線y=kx+b與圓x2+y2=1相切,則k2+b2等于？

A.1

B.2

C.3

D.4

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)對(duì)稱？

A.(0,0)

B.(π/6,0)

C.(π/3,0)

D.(π/2,0)

6.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=2,d=3,則a?等于？

A.10

B.13

C.16

D.19

7.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子,點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

8.已知三角形ABC中,∠A=45°,∠B=60°,BC=6,則AB等于？

A.2√2

B.3√2

C.4√2

D.6√2

9.函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性是？

A.遞增

B.遞減

C.先增后減

D.先減后增

10.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+9=0平行,則a與b的關(guān)系是？

A.a=b

B.a=-b

C.a=3b

D.a=-3b

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.y=x3

B.y=sin(x)

C.y=log?(x2)

D.y=tan(x)

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6,a?=54，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?等于？

A.2?3^(n-1)

B.3?2^(n-1)

C.2?3^(n+1)

D.3?2^(n+1)

3.下列不等式成立的有？

A.log?(3)>log?(2)

B.e^1>1^e

C.sin(π/4)>cos(π/4)

D.(-2)?>(-2)3

4.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則下列說(shuō)法正確的有？

A.線段AB的長(zhǎng)度為√8

B.線段AB的垂直平分線方程為x-y-1=0

C.點(diǎn)C(2,1)在以AB為直徑的圓上

D.過(guò)點(diǎn)A且與直線AB垂直的直線方程為x+2y-5=0

5.對(duì)于函數(shù)f(x)=x2-4x+3，下列說(shuō)法正確的有？

A.該函數(shù)的最小值為-1

B.該函數(shù)的圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線

C.該函數(shù)在區(qū)間(2,+∞)上是增函數(shù)

D.方程f(x)=0的解為x=1或x=3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復(fù)數(shù)z=2-3i的共軛復(fù)數(shù)是z?，則z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第幾象限？

2.不等式|2x-1|<3的解集是________。

3.已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則該扇形的面積是________。

4.拋擲一個(gè)均勻的六面骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是________。

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)的極值點(diǎn)x的值是________（只需填寫一個(gè)即可）。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(x+1)-5*2^x+2=0.

2.化簡(jiǎn):(sin(x)+cos(x))2-2sin(2x).

3.求極限:lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+5x-3).

4.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊BC=10，求邊AB的長(zhǎng)度.

5.計(jì)算不定積分:∫(x2+2x+3)/(x+1)dx.

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及詳解

1.C

解題過(guò)程：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，即x>1。所以定義域?yàn)?1,+∞)。

考察知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域判定

示例：f(x)=log?(x)的定義域?yàn)?0,+∞)

2.B

解題過(guò)程：A={x|x≤2或x≥3}=(-∞,2]∪[3,+∞)，B={x|x>1/2}=(1/2,+∞)。A∩B=[3,+∞)∪(2,1/2)=(2,3)。

考察知識(shí)點(diǎn)：一元二次不等式求解及集合交集運(yùn)算

示例：解不等式x2-4x+3>0得解集為(-∞,1)∪(3,+∞)

3.B

解題過(guò)程：|z|=√(12+12)=√2。

考察知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)模的計(jì)算

示例：|a+bi|=√(a2+b2)

4.A

解題過(guò)程：直線y=kx+b與圓x2+y2=1相切，則圓心(0,0)到直線的距離d=|b|/√(k2+1)=1。兩邊平方得k2+b2=1。

考察知識(shí)點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

示例：直線Ax+By+C=0與圓x2+y2=r2相切，則|C|/√(A2+B2)=r

5.B

解題過(guò)程：函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像關(guān)于點(diǎn)(π/6,0)對(duì)稱，因?yàn)閒(π/6-α)=sin(π/6-α+π/6)=sin(π/6+π/6-α)=sin(π/3-α)=-sin(α-π/3)=-f(π/6+α)。

考察知識(shí)點(diǎn)：正弦函數(shù)圖像的對(duì)稱性

示例：f(x)=sin(ωx+φ)的對(duì)稱中心為(-φ/ω+kπ,0)

6.C

解題過(guò)程：a?=a?+(5-1)d=2+4×3=14。

考察知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d

示例：若a?=5,a?=11，則等差數(shù)列公差d=(11-5)/(7-3)=3/2

7.A

解題過(guò)程：基本事件總數(shù)為6×6=36，點(diǎn)數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

考察知識(shí)點(diǎn)：古典概型概率計(jì)算

示例：擲兩枚硬幣，正面朝上的概率為1/4

8.B

解題過(guò)程：由正弦定理得AB/sinC=BC/sinA=>AB=BC*sinC/sinA=6*sin60°/sin45°=6*√3/(√2/2)=3√6。這里需要修正，正確計(jì)算為AB=6*sin60°/sin45°=6*(√3/2)/(√2/2)=3√6/√2=3√3。

考察知識(shí)點(diǎn)：正弦定理應(yīng)用

示例：在△ABC中，若a=3,b=4,C=60°，則c=√(a2+b2-2abcosC)=√(9+16-24cos60°)=√(25-12)=√13

9.A

解題過(guò)程：f'(x)=e^x-1。在(0,+∞)上，e^x>1，所以f'(x)>0。函數(shù)單調(diào)遞增。

考察知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性

示例：f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3，解f'(x)=0得x=±1，在(-∞,-1)和(1,+∞)上f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增

10.D

解題過(guò)程：l?與l?平行，則斜率k?=-a/3與k?=-3/b的比值等于-1，即(-a/3)/(-3/b)=1=>ab=-9。又兩直線方程可寫成ax+3y-6=0和-3x-by+9=0，系數(shù)乘積-3a×3b=-9ab=-27b，得ab=3。矛盾，需修正條件。實(shí)際上應(yīng)為l?與l?平行，則斜率k?=-a/3與k?=-3/b相等，即-a/3=-3/b=>ab=9。所以a=-3b或b=-3a。

考察知識(shí)點(diǎn)：直線平行的條件

示例：直線y=2x+1與y=-x+k平行，則-1=-2=>k=-2

二、多項(xiàng)選擇題答案及詳解

1.ABD

解題過(guò)程：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。A:x3滿足(-x)3=-x3；B:sin(-x)=-sin(x)；C:log?(x2)=2log?|x|，不滿足奇函數(shù)定義；D:tan(-x)=-tan(x)。

考察知識(shí)點(diǎn)：奇函數(shù)的判定

示例：y=x3與y=tan(x)都是常見(jiàn)的奇函數(shù)

2.AB

解題過(guò)程：a?=a?q2=>54=6q2=>q2=9=>q=±3。當(dāng)q=3時(shí)，a?=6/q2=6/9=2/3，a?=a?q??1=(2/3)×3??1=2×3??2。當(dāng)q=-3時(shí)，a?=6/9=2/3，a?=(2/3)×(-3)??1=2×(-3)??2。兩種情況可統(tǒng)一為a?=2?3??1。

考察知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)

示例：若a?=27,a?=1，則q3=27=>q=3，a?=1×3??1=3??1

3.ABD

解題過(guò)程：A:3<2<√2<1=>log?(3)>log?(2)=1>log?(2)>log?(√3)=1/2=>log?(3)>log?(2)。B:e≈2.718>1,1^e=1=>e^1>1^e。C:sin(π/4)=cos(π/4)=√2/2。D:(-2)?=16,(-2)3=-8=>16>-8。

考察知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)比較大小、指數(shù)比較大小、三角函數(shù)值比較

示例：比較log?(4)與log?(3)大小，log?(4)=log??(4)/log??(5)，log?(3)=log??(3)/log??(4)，比值為(log??(4)/log??(5))/(log??(3)/log??(4))=log??(4)2/log??(3)log??(5)>1，故log?(4)>log?(3)

4.ACD

解題過(guò)程：|AB|=√((3-1)2+(0-2)2)=√(4+4)=√8。線段AB中點(diǎn)為(2,1)，AB斜率為(0-2)/(3-1)=-1，垂直平分線斜率為1，方程為y-1=1(x-2)即y=x-1。點(diǎn)C(2,1)在直線上。圓心為(2,1)，半徑為√8/2=√2，方程為(x-2)2+(y-1)2=2。直線x+2y-5=0過(guò)點(diǎn)A(1,2)，斜率為-1/2，與AB斜率2不相等，不垂直。

考察知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式、直線方程、圓的方程、點(diǎn)到直線距離

示例：求過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線3x+4y+5=0垂直的直線方程，斜率為4/3，方程為y-2=(4/3)(x-1)即4x-3y+2=0

5.ABCD

解題過(guò)程：f(x)=(x+1)(x-3)，對(duì)稱軸x=1。f(1)=-12+2*1+3=4為最小值。二次項(xiàng)系數(shù)1>0，開(kāi)口向上。在(1,+∞)上f'(x)=2x-2>0，單調(diào)遞增。f(x)=0即(x+1)(x-3)=0，解得x=-1或x=3。

考察知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、求導(dǎo)、解一元二次方程

示例：f(x)=x2-6x+5，對(duì)稱軸x=3，最小值f(3)=-4，開(kāi)口向上，在(3,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)=0得x=1或x=5

三、填空題答案及詳解

1.第四象限

解題過(guò)程：z?=2+3i，其實(shí)部為2，虛部為3，對(duì)應(yīng)點(diǎn)(2,3)在第一象限。

考察知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的共軛

示例：z=a+bi的共軛z?=a-bi

2.(-1,3)

解題過(guò)程：|2x-1|<3=>-3<2x-1<3=>-2<2x<4=>-1<x<2。

考察知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值不等式解法

示例：|x-2|<5=>-5<x-2<5=>-3<x<7

3.12π

解題過(guò)程：扇形面積S=(θ/360°)πr2=(120/360)π(6)2=(1/3)π36=12π。

考察知識(shí)點(diǎn)：扇形面積公式

示例：圓心角為90°，半徑為4的扇形面積S=(90/360)π(4)2=(1/4)π16=4π

4.2/9

解題過(guò)程：基本事件總數(shù)36，點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種，概率4/36=2/9。

考察知識(shí)點(diǎn)：古典概型概率計(jì)算

示例：擲兩枚骰子點(diǎn)數(shù)和為7的概率為6/36=1/6

5.1

解題過(guò)程：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x2=1=>x=±1。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，x=1為極小值點(diǎn)。f''(-1)=-6<0，x=-1為極大值點(diǎn)。題目要求填一個(gè)即可。

考察知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)極值點(diǎn)判斷

示例：f(x)=x3-4x，f'(x)=3x2-4，f'(x)=0得x=±2√3/3。f''(2√3/3)=12√3/3-4>0，極小值點(diǎn)；f''(-2√3/3)<0，極大值點(diǎn)。

四、計(jì)算題答案及詳解

1.x=1

解題過(guò)程：原式變?yōu)?2^x)*2-5*(2^x)+2=0=>(2^x)2-5*(2^x)+2=0。令t=2^x，t>0，得t2-5t+2=0=>t=(5±√(25-8))/2=(5±√17)/2。由于t=2^x>0，舍去t=(5-√17)/2（小于1），得t=(5+√17)/2。2^x=(5+√17)/2=>x=log?((5+√17)/2)。近似計(jì)算x≈1.777，但題目要求精確解，所以x=1是唯一符合整數(shù)解的值（因?yàn)樵匠痰葍r(jià)于(2^x-2)(2^x-1/2)=0，但2^x-1/2不可能為0，故唯一解為2^x=2=>x=1）。

考察知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)方程求解

示例：解方程2^x+2^(x+1)=5=>2^x+2*2^x=5=>3*2^x=5=>2^x=5/3=>x=log?(5/3)

2.1

解題過(guò)程：原式=sin2(x)+2sin(x)cos(x)+cos2(x)-2sin(x)cos(x)=sin2(x)+cos2(x)=1。

考察知識(shí)點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

示例：化簡(jiǎn)sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=sin(α+β-α+β)=sin(2β)

3.3

解題過(guò)程：原式=lim(x→∞)(3-2/x+1/x2)/(1+5/x-3/x2)=(3-0+0)/(1+0-0)=3。

考察知識(shí)點(diǎn)：多項(xiàng)式極限

示例：lim(x→∞)(x2+3x)/(2x2-x+1)=lim(x→∞)(1+3/x)/(2-1/x+1/x2)=1/2

4.6√2

解題過(guò)程：sinA=sin60°=√3/2，sinB=sin45°=√2/2。由正弦定理AB/BC=sinA/sinB=>AB/10=(√3/2)/(√2/2)=>AB/10=√3/√2=>AB=10√6/2=5√6。這里需要修正，正弦定理應(yīng)為AB/BC=sinB/sinA，所以AB=10*sin45°/sin60°=10*(√2/2)/(√3/2)=10*√2/√3=10√6/3。再次修正，由正弦定理AB/BC=sinB/sinA，AB/10=√2/√3，AB=10√6/3。再次確認(rèn)，應(yīng)該是AB=BC*sinA/sinB=10*sin60°/sin45°=10*(√3/2)/(√2/2)=10*√3/√2=5√6。

考察知識(shí)點(diǎn)：正弦定理應(yīng)用

示例：在△ABC中，a=2,b=3,C=120°，求c，c=a*b*sinC/sinA=2*3*sin120°/sin30°=6*√3/2=3√3

5.x2/2+x+3ln|x|+C

解題過(guò)程：原式=∫[(x2+2x+1-1+3)/x]dx=∫[(x+1)2-1/x+3/x]dx=∫(x2+2x+1)/xdx-∫1/xdx+∫3/xdx=∫xdx+∫2dx+∫1/xdx-∫1/xdx+3∫1/xdx=x2/2+2x+3ln|x|+C。

考察知識(shí)點(diǎn)：多項(xiàng)式除法與積分

示例：計(jì)算∫(x3-3x2+2)/(x-1)dx，先長(zhǎng)除得x2-