線段的多中點(diǎn)模型條件：如圖，點(diǎn)M在線段的延長線上，且線段，第1次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、﹔第2次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，﹔第3次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作n次，結(jié)論：．證明：∵、是和的中點(diǎn)，∴，，∴，∵、是和的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，是和的中點(diǎn)，∴，，∴，……發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，例1．（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）如圖，點(diǎn)P從距原點(diǎn)2個(gè)單位的A點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動(dòng)，第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第二次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第三次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，如此不斷跳動(dòng)下去，則第12次跳動(dòng)后，該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)題意，找出數(shù)字規(guī)律后與2計(jì)算距離即可．【詳解】∵A表示的數(shù)是2，原點(diǎn)表示的數(shù)是0，∴表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，由此得到表示的數(shù)是，故第12次跳動(dòng)后，該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為，故選C．例2．（23-24七年級(jí)上·甘肅武威·期末）已知：如圖，點(diǎn)在線段的延長線上，且線段，第1次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，，第2次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，，第3次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，，…，連續(xù)這樣操作5次，則．

【答案】4【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握兩點(diǎn)的距離計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算及根據(jù)題意找出問題的規(guī)律進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，根據(jù)線段的差可得，，的長度表示，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行推理即可得出，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，∵，∴，∴，∴，∴，……依次類推，，∴，故答案為：4．例3．（23-24七年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，已知，點(diǎn)在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作次，則．【答案】【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出是解題關(guān)鍵．根據(jù)線段中點(diǎn)定義先求出的長度，再由的長度求出的長度，從而找到的規(guī)律，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵線段，線段和的中點(diǎn)，，∴，∵線段和的中點(diǎn)，；∴發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，∴．故答案為：．例4．（23-24七年級(jí)上·廣東·期中）學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件做了n次取線段中點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段，第1次，取的中點(diǎn)；第2次，取的中點(diǎn)；第3次，取的中點(diǎn)，第4次，取的中點(diǎn)；…(1)請完成下列表格數(shù)據(jù)．次數(shù)

線段的長第1次第2次第3次第4次第5次①______②________………(2)小明對線段的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡：因?yàn)?，所以，兩式相加，得，所以．請你參考小明的化簡方法，化簡的表達(dá)式．(3)類比猜想：_____，=_____，隨著取中點(diǎn)次數(shù)n的不斷增大，的長最終接近的值是____．【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找到規(guī)律并會(huì)表現(xiàn)出來是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)表中的規(guī)律可求出，根據(jù)可得出答案；（2）參照小明對線段的表達(dá)式的化簡可得的表達(dá)式；（3）根據(jù)類比猜想可得答案．【詳解