北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)第七章統(tǒng)計(jì)案例1一元線性回歸課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.結(jié)合具體實(shí)例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解最小二乘法,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對(duì)實(shí)際問題,會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).4.通過散點(diǎn)圖觀察變量間的相關(guān)關(guān)系,體會(huì)直觀想象素養(yǎng).5.借助一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè),增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、直線擬合【問題思考】1.表7-1-1是水稻畝產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù):表7-1-1施化肥量/kg15202530354045水稻產(chǎn)量/kg320330360410460470480如果把施化肥量看作橫坐標(biāo)、水稻畝產(chǎn)量看作縱坐標(biāo).(1)請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出上表中的點(diǎn).提示:如答圖7-1-1.答圖7-1-1(2)根據(jù)坐標(biāo)系中點(diǎn)的分布,你能發(fā)現(xiàn)隨著施化肥量的增加,水稻畝產(chǎn)量基本上呈什么趨勢(shì)嗎?提示:直線增長的趨勢(shì).2.(1)散點(diǎn)圖:每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一對(duì)數(shù)據(jù)

(xi,yi),稱為成對(duì)數(shù)據(jù).這些

點(diǎn)

構(gòu)成的圖稱為散點(diǎn)圖.(2)曲線擬合:從散點(diǎn)圖上可以看出,如果變量之間存在著某種關(guān)系,這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)大致趨勢(shì),這種趨勢(shì)通常可以用一條光滑的曲線來近似地描述,這樣近似描述的過程稱為曲線擬合.(3)直線擬合:若在兩個(gè)變量X和Y的散點(diǎn)圖中,所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng),此時(shí)就可以用一條直線來近似地描述這兩個(gè)量之間的關(guān)系,稱之為直線擬合.3.下列圖形中的兩個(gè)變量,它們之間的關(guān)系可以用直線擬合的是(

).A

B

C

D解析:B中所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng),故選項(xiàng)B可以用直線擬合.答案:B二、一元線性回歸方程【問題思考】

1.(1)最小二乘法:對(duì)于給定的兩個(gè)變量X和Y,可以把其成對(duì)的觀測(cè)值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)表示為平面直角坐標(biāo)系中的n個(gè)點(diǎn).現(xiàn)在希望找到一條直線Y=a+bX,使得對(duì)每一個(gè)xi(i=1,2,…,n),由這個(gè)直線方程計(jì)算出來的值a+bxi與實(shí)際觀測(cè)值yi的差異盡可能小.為此,希望[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2達(dá)到最小.換句話說,我們希望a,b的取值能使上式達(dá)到最小,這個(gè)方法稱為最小二乘法.2.若施化肥量X(單位:千克/畝)與水稻產(chǎn)量Y(單位:千克/畝)的回歸方程為Y=250+5X,當(dāng)施化肥量為80千克/畝時(shí),預(yù)計(jì)水稻產(chǎn)量為畝產(chǎn)

千克左右.(“畝”非國際通用單位,1畝≈666.7平方米)

解析:當(dāng)X=80時(shí),Y=250+400=650.答案:650【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.√×√×合作探究釋疑解惑探究一直線擬合的判斷【例1】觀察兩個(gè)變量得如表7-1-2所示數(shù)據(jù):畫出散點(diǎn)圖,判斷它們是否能用直線擬合.x-1-2-3-4-554321y-9-7-5-3-115379表7-1-2分析:可設(shè)x為自變量,y為因變量,作出散點(diǎn)圖直接判斷.解:由數(shù)據(jù)可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如答圖7-1-2:由散點(diǎn)圖可知,所有點(diǎn)不在一條直線附近,故不能用直線擬合.答圖7-1-2判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系能否用直線擬合,一種常用的簡便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖很容易看出所有點(diǎn)是否在一條直線附近波動(dòng),進(jìn)而判斷出這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是否能用直線擬合.【變式訓(xùn)練1】

5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)绫?-1-3:表7-1-3學(xué)生ABCDE數(shù)學(xué)成績8075706560物理成績7066686462畫出散點(diǎn)圖,并判斷數(shù)學(xué)成績和物理成績之間近似地呈現(xiàn)什么關(guān)系.解:以x軸表示數(shù)學(xué)成績,y軸表示物理成績,可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖,如答圖7-1-3.由散點(diǎn)圖可知,數(shù)學(xué)成績和物理成績之間近似地呈線性關(guān)系.答圖7-1-3探究二求線性回歸方程【例2】

某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力X和判斷力Y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得表7-1-4所示數(shù)據(jù):(1)試用最小二乘法求出Y關(guān)于X的線性回歸方程;(2)如果某學(xué)生的記憶力為9,請(qǐng)預(yù)測(cè)該學(xué)生的判斷力是多少.X681012Y2356表7-1-4解:(1)畫出散點(diǎn)圖,如答圖7-1-4.從散點(diǎn)圖可以看出,表中的兩個(gè)變量有近似的線性關(guān)系.答圖7-1-4ixiyixiyi16236122836424310510050412614472合計(jì)3616344158故Y關(guān)于X的線性回歸方程為Y=-2.3+0.7X.(2)由Y=-2.3+0.7X知,當(dāng)X=9時(shí),Y=-2.3+0.7×9=4,故預(yù)測(cè)當(dāng)學(xué)生的記憶力為9時(shí),判斷力為4.1.本例條件不變,如果某學(xué)生的判斷力為4,請(qǐng)預(yù)測(cè)該學(xué)生的記憶力是多少.解:由Y=-2.3+0.7X知,當(dāng)Y=4時(shí),由4=-2.3+0.7X,解得X=9.故預(yù)測(cè)當(dāng)學(xué)生的判斷力為4時(shí),記憶力為9.2.某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力X和判斷力Y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如表7-1-5所示數(shù)據(jù):通過分析可知X,Y有線性關(guān)系,且其線性回歸方程為Y=0.7X-2.3,則實(shí)數(shù)m的值為

.

∴2+3+m+6=4×4,得m=5.答案:5X681012Y23m6表7-1-5求線性回歸方程的步驟(1)作出散點(diǎn)圖,從散點(diǎn)圖直觀判斷變量是否有線性關(guān)系.若沒有,則說明兩變量不線性相關(guān),沒有求方程的必要;若有,則繼續(xù)下一步.【變式訓(xùn)練2】

假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限X(單位:年)和所支出的維修費(fèi)用Y(單位:萬元)有如表7-1-6的統(tǒng)計(jì)資料:表7-1-6使用年限X/年23456維修費(fèi)用Y/萬元2.23.85.56.57.0(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)求Y關(guān)于X的線性回歸方程;(3)估計(jì)使用年限為10年時(shí)的維修費(fèi)用.解:(1)作出散點(diǎn)圖,如答圖7-1-5.答圖7-1-5(3)由線性回歸方程Y=0.08+1.23X可知,當(dāng)X=10時(shí),Y=1.23×10+0.08=12.38(萬元),即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬元.探究三利用線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)【例3】表7-1-7提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量X(單位:噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗Y(單位:噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)用最小二乘法求線性回歸方程(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤.表7-1-7產(chǎn)量X/噸3456生產(chǎn)能耗Y/噸標(biāo)準(zhǔn)煤2.5344.5分析:(1)以產(chǎn)量為橫坐標(biāo),以生產(chǎn)能耗對(duì)應(yīng)的測(cè)量值為縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫散點(diǎn)圖;(2)應(yīng)用計(jì)算公式求得系數(shù)

的值;(3)實(shí)際上就是求當(dāng)X=100時(shí),對(duì)應(yīng)的Y的值.解:(1)畫出散點(diǎn)圖,如答圖7-1-6.答圖7-1-6(3)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè),現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.35+0.7×100=70.35(噸標(biāo)準(zhǔn)煤),故生產(chǎn)能耗降低了90-70.35=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).

回歸分析的三個(gè)步驟(1)判斷兩個(gè)變量是否有線性關(guān)系,可以利用經(jīng)驗(yàn),也可以畫散點(diǎn)圖.(2)求線性回歸方程,注意運(yùn)算的正確性.(3)根據(jù)線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì):估計(jì)值不是實(shí)際值,兩者會(huì)有一定的誤差.【變式訓(xùn)練3】某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)X(單位:元)與每天的銷售量Y(單位:個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如表7-1-8所示:表7-1-8X16171819Y50344131答案:C

易錯(cuò)辨析因?qū)貧w直線理解不清致誤【典例】

已知X,Y的取值如表7-1-9所示,由散點(diǎn)圖分析可知Y與X線性相關(guān),且線性回歸方程為Y=0.95X+2.6,那么表格中的數(shù)據(jù)m的值為

.

表7-1-9X0134Y2.24.34.8m錯(cuò)解:因?yàn)閅=0.95X+2.6,所以當(dāng)X=4時(shí),Y=0.95×4+2.6=6.4.答案:6.4以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:注意線性回歸方程并不是X與Y的函數(shù)關(guān)系,回歸直線不一定過(4,m)這個(gè)樣本點(diǎn),因此必須利用樣本點(diǎn)的中心求解.答案:6.71.注意回歸直線不一定經(jīng)過某個(gè)樣本點(diǎn),但一定過樣本點(diǎn)的中心2.平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)一定要對(duì)每一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)理解透徹.隨堂練習(xí)1.已知變量X,Y之間具有近似的線性關(guān)系,其散點(diǎn)圖如圖所示,則其線性回歸方程可能為(

).A.Y=1.5X+2 B.Y=-1.5X+2C.Y=1.5X-2 D.Y=-1.5X-2答案:B(第1題)2.已知X與Y之間的一組數(shù)據(jù)如下表:X01234Y13579A.(1,2) B.(5,2) C.(2,5) D.(2.5,5)答案:C3.（多選題）已知X與Y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表:X123456Y021334答案:CD4.有變量X與Y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:X23456Y246675.已知線性回歸方程Y=3.2X+1.8,則當(dāng)X=5時(shí),Y的估計(jì)值為

.

解析:∵線性回歸方程為Y=3.2X