第32講多面體第7章簡單幾何體與立體幾何

能力層級考試內(nèi)容

了解理解掌握棱柱多面體及棱柱概念.直棱柱的側(cè)面展開圖.直棱柱面積、體積計算.(2022，T45)直觀圖的畫法斜二測畫法意義.斜二測畫法步驟.常見空間體斜二測法畫法.棱錐棱錐概念.正棱錐的側(cè)面展開圖.正棱錐面積、體積計算.

復(fù)習(xí)建議：1.考情小結(jié)：多面體是必考內(nèi)容，考查棱柱特別是直棱柱和棱錐的有關(guān)面積和體積的計算.2.備考攻略：直觀圖的斜二測畫法是新增加的內(nèi)容，其規(guī)則必須了解.1.多面體(1)定義：由若干個平面多邊形圍成的封閉的幾何體稱為多面體.(2)構(gòu)成圍成多面體的各個多邊形稱為多面體的面，相鄰兩個面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)稱為多面體的頂點(diǎn).備考講義考點(diǎn)1棱柱2.棱柱(1)定義有兩個面互相平行，其余面都是平行四邊形的多面體稱為棱柱.(2)構(gòu)成兩個互相平行的面稱為棱柱的底面，其余的面稱為棱柱的側(cè)面.兩個側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱.側(cè)棱與底面的交點(diǎn)稱為棱柱的頂點(diǎn).不在同一個面上的兩個頂點(diǎn)的連線稱為棱柱的對角線.兩個底面間的距離稱為棱柱的高.(3)分類①根據(jù)底面多邊形分類：底面為三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱、……②根據(jù)側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類：側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為直棱柱(如圖1).側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱(如圖2).(4)正棱柱①底面為正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.②正棱柱有以下主要性質(zhì)：兩個底面是平行且全等的正多邊形；側(cè)面都是全等的矩形；側(cè)棱互相平行并垂直于底面，各側(cè)棱都相等，側(cè)棱與高相等.(5)面積和體積①將棱柱的側(cè)面沿一條側(cè)棱展開在一個平面上所得的圖形稱為棱柱的側(cè)面展開圖.側(cè)面展開圖的面積稱為棱柱的側(cè)面積.棱柱的側(cè)面積與兩個底面面積之和稱為棱柱的表面積或全面積；②直棱柱的側(cè)面積為：S直棱柱側(cè)＝ch，其中c為直棱柱的底面周長，h為直棱柱的高；③直棱柱的表面積為：S直棱柱表＝ch＋2S底，其中S底為直棱柱的底面積；④直棱柱的體積為：V直棱柱＝S底h.

【試題分析】本題考查正四棱柱側(cè)面積和體積的計算.

跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別是BC，B1C1的中點(diǎn)，∠ABC＝60°，∠CAB＝90°，側(cè)面ABB1A1是正方形，AA1＝AD＝2，求該三棱柱的體積.【試題分析】本題考查直棱柱的體積計算知識.

1.直觀圖直觀看起來有立體感的圖形稱為直觀圖.如圖是長方體的直觀圖.備考講義考點(diǎn)2直觀圖的畫法2.直觀圖的斜二測畫法斜二測畫法規(guī)則：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點(diǎn).畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的x'軸和y'軸，使∠x'Oy'＝45°，它確定的平面表示水平面.(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)平面圖形中平行于x軸或重合于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸或重合于y軸的線段，長度為原來的一半.總結(jié)：“橫同，豎半，平行性不變，90°變45°”.例2

用斜二測畫法畫水平放置的六邊形的直觀圖.【試題分析】本題考查直觀圖的斜二測畫法.利用直觀圖的斜二測畫法規(guī)則即可.【解題過程】

①在六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸交于點(diǎn)O，畫相應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸交于點(diǎn)O'，使得∠x'O'y'＝45°.

跟蹤訓(xùn)練2

用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm、2cm、3cm的長方體的直觀圖.【試題分析】本題考查斜二測畫幾何體直觀圖的知識.【解題過程】

(1)畫軸.畫x軸、y軸、z軸，三軸交于點(diǎn)O，使得∠xOy＝45°，∠xOz＝90°(2)畫底面.以O(shè)為中心，在x軸上取線段MN，使得MN＝4

cm；在y軸上取線段PQ，使得PQ＝1

cm；分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱.過A、B、C、D，各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取3

cm長的線段AA'、BB'、CC'、DD'(4)成圖.順次連接A'、B'、C'、D'，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋住的部分改為虛線)，就可以得到長方體的直觀圖.1.定義有一個面是多邊形，其余各面是三角形，且這些三角形有一個公共點(diǎn)的多面體稱為棱錐.備考講義考點(diǎn)3棱錐2.構(gòu)成這個多邊形稱為棱錐的底面(簡稱底)，如圖中平面ABCD，其余各面稱為棱錐的側(cè)面，如圖中平面PAB、平面PBC、平面PAD、平面PCD；各側(cè)面的公共點(diǎn)稱為棱錐的頂點(diǎn)，如圖中點(diǎn)P；相鄰側(cè)面的公共邊稱為棱錐的側(cè)棱，如圖中直線PA、PB、PC、PD；頂點(diǎn)到底面的距離稱為棱錐的高，如圖中PO.3.分類根據(jù)底面多邊形分類：底面為三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……并分別記作棱錐P－ABC、棱錐P－ABCD、棱錐P－ABCDE等.4.正棱錐底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影是底面中心的棱錐稱為正棱錐.正棱錐側(cè)面三角形的高稱為棱錐的斜高.正棱錐有以下主要性質(zhì)：(1)各條側(cè)棱相等，斜高相等，側(cè)面是全等的等腰三角形；(2)頂點(diǎn)到底面中心的連線垂直于底面，是正棱錐的高；(3)正棱錐的高、斜高和斜高在底面上的投影構(gòu)成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的投影構(gòu)成一個直角三角形.

【試題分析】本題考查正四棱錐的性質(zhì)和面積及體積的計算.

跟蹤訓(xùn)練3

一個正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱與底面所成的角為45°，求這個正三棱錐的側(cè)面積及體積.【試題分析】本題考查正棱錐的面積和體積計算.

1.(原創(chuàng))下列幾何體中不是柱體的是(

)A【試題分析】本題考查棱柱知識.【解題過程】

A選項(xiàng)中幾何體不符合棱柱的定義，故選A.2.(改編)下列命題中，正確的是(

)A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

C.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

D.棱柱中互相平行的兩個面稱為棱柱的底面C【試題分析】本題考查棱柱知識.【解題過程】有兩個面互相平行，其余面都是平行四邊形的多面體稱為棱柱；棱柱的底面也可以是平行四邊形；棱柱的側(cè)面也可以相互平行，故選C.3.(改編)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是(

)A.原來相交的仍相交 B.原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn)

C.原來垂直的仍垂直 D.原來平行的仍平行C【試題分析】本題考查斜二測畫法知識.【解題過程】原圖中垂直，斜二測畫法后不一定垂直，故選C.4.下面描述中，不是棱錐幾何結(jié)構(gòu)特征的為(

)A.棱錐的側(cè)棱交于一點(diǎn)

B.三棱錐有四個面是三角形

C.棱錐的側(cè)面都是三角形

D.棱錐都是有兩個面是互相平行的多邊形D【試題分析】本題考查棱錐知識.【解題過程】棱錐是只有一個底面的多邊形，故選D.5.長方體表面積是24，所有棱長的和為28，則長方體的對角線長是________.

5

6.有一個長為6cm，寬為2cm的矩形，則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為________.

7.一個正三棱錐的底面邊長為4，側(cè)面與底面所成的角為60°，求