北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)第七章統(tǒng)計(jì)案例2成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.結(jié)合實(shí)例,了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實(shí)例,會(huì)通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.4.通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量的夾角余弦值推導(dǎo)樣本相關(guān)系數(shù)公式,體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).5.通過(guò)計(jì)算多組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù),加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)相關(guān)系數(shù)【問(wèn)題思考】1.給定兩個(gè)隨機(jī)變量(X,Y)的6組成對(duì)數(shù)據(jù):(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9).(1)請(qǐng)利用最小二乘法,求Y關(guān)于X的線性回歸方程.(2)請(qǐng)畫(huà)出散點(diǎn)圖,判斷隨機(jī)變量X和Y是否具有線性關(guān)系.提示:如答圖7-2-1.從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn),X和Y不具有線性關(guān)系.答圖7-2-1(3)有的散點(diǎn)圖的各點(diǎn)并不集中在一條直線的附近,但按照求線性回歸方程的步驟仍然求得回歸直線,那么這樣的回歸直線有沒(méi)有實(shí)際意義呢?在怎樣的情況下求得的線性回歸方程才有實(shí)際意義呢?提示:沒(méi)有,需要對(duì)X,Y的線性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn),在具有線性相關(guān)的前提下求得的線性回歸方程才有實(shí)際意義.(3)樣本(線性)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì):①r的取值范圍:[-1,1].②|r|值越接近

1,隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng);|r|值越接近

0,隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越弱.③當(dāng)r>0時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量的值總體上變化趨勢(shì)

相同

,此時(shí)稱(chēng)兩個(gè)隨機(jī)變量正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量的值總體上變化趨勢(shì)

相反

,此時(shí)稱(chēng)兩個(gè)隨機(jī)變量

負(fù)相關(guān);當(dāng)r=0時(shí),此時(shí)稱(chēng)兩個(gè)隨機(jī)變量

線性不相關(guān)

.答案:0【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)通過(guò)散點(diǎn)圖一定可以看出兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.(

)(2)通過(guò)散點(diǎn)圖可以看出正相關(guān)與負(fù)相關(guān)有明顯的區(qū)別.(

)(3)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng),樣本相關(guān)系數(shù)r越接近1.(

)(4)在散點(diǎn)圖中,若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域,則這兩個(gè)隨機(jī)變量正相關(guān).(

)(5)樣本相關(guān)系數(shù)r可以定量地反映出變量間的線性相關(guān)程度,明確地給出有無(wú)必要建立兩變量間的線性回歸方程.(

)×√×√√合作探究釋疑解惑探究一判斷兩變量間的相關(guān)性【例1】為了研究鋼鐵碳含量與電阻的關(guān)系,隨機(jī)抽取了7組數(shù)據(jù),如表7-2-1:(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖,判斷碳含量與電阻之間的相關(guān)性;碳含量/%0.100.300.400.550.700.800.9520℃時(shí)電阻/μΩ1518192122.623.826表7-2-1分析:(1)以x軸表示碳含量,y軸表示電阻,作出散點(diǎn)圖直觀判斷.(2)利用公式計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r,用|r|與0或1比較,進(jìn)而作出判斷.解:(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖如答圖7-2-2.由散點(diǎn)圖可以看出,這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,具有很強(qiáng)的正相

關(guān)性.答圖7-2-2(2)列表如下:1.判斷兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系的方法:一是用散點(diǎn)圖直觀觀察,二是計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r,|r|值越接近1,隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng).準(zhǔn)確的判斷方法是先用散點(diǎn)圖定性分析,再用樣本相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行定量研究.2.利用樣本相關(guān)系數(shù)r判斷相關(guān)關(guān)系,需要應(yīng)用公式計(jì)算出r的值,由于數(shù)據(jù)較大,需要借助計(jì)算器,計(jì)算應(yīng)該特別細(xì)心,不能出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練1】

表7-2-2是隨機(jī)抽取的8對(duì)母女的身高數(shù)據(jù),試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討Y與X之間的關(guān)系.表7-2-2母親身高X/cm154157158159160161162163女兒身高Y/cm155156159162161164165166解:以x軸表示母親身高,y軸表示女兒身高,可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖,如答圖7-2-3.由散點(diǎn)圖可知,母親身高和女兒身高之間有很強(qiáng)的正相關(guān)性.答圖7-2-3下面計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r,列表如下:探究二利用樣本相關(guān)系數(shù)進(jìn)行線性回歸分析【例2】

已知某地每單位面積菜地年平均施用氮肥量X(單位:kg)與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量Y(單位:t)的數(shù)據(jù)如表7-2-3:(1)求X與Y之間的樣本相關(guān)系數(shù),并檢驗(yàn)是否線性相關(guān);(2)若線性相關(guān),求蔬菜產(chǎn)量Y與施用氮肥量X之間的線性回歸方程,并估計(jì)每單位面積菜地年平均施氮肥150kg時(shí),每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量.表7-2-3年份20082009201020112012201320142015X/kg7074807885929095Y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0年份2016201720182019202020212022—X/kg92108115123130138145—Y/t11.511.011.812.212.512.813.0—解:(1)列出下表,并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行相關(guān)計(jì)算:所以線性回歸方程為Y=0.6463+0.0937X.所以當(dāng)每單位面積菜地年平均施氮肥150kg時(shí),估計(jì)每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量為0.6463+0.0937×150≈14.701(t).在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系時(shí),應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),若具備線性相關(guān)關(guān)系,則再求線性回歸方程.若本身兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系,則即使求出線性回歸方程也是毫無(wú)意義的,而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的.【變式訓(xùn)練2】為了分析學(xué)生初中升學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響,在高一年級(jí)隨機(jī)抽取10名學(xué)生,了解他們的入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)和高一期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)绫?-2-4:表7-2-4學(xué)生編號(hào)12345678910入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)X63674588817152995876高一期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)Y65785282928973985675(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖;(2)對(duì)變量X與Y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),如果X與Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程;(3)若某學(xué)生入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分,試估計(jì)他在高一期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī).解:(1)散點(diǎn)圖如答圖7-2-4.答圖7-2-4(3)若某學(xué)生入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分,代入(2)中的方程可求得Y=22.4108+0.76556×80≈84,即這名學(xué)生在高一期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)的預(yù)測(cè)值為84分.

思想方法數(shù)形結(jié)合思想在線性回歸分析中的應(yīng)用【典例】

某地10戶(hù)家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如表7-2-5所示.表7-2-3年收入X/萬(wàn)元24466677810年飲食支出Y/萬(wàn)元0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù),并刻畫(huà)它們的相關(guān)程度.分析:先畫(huà)出散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)圖,可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線的附近,由此可以判定家庭的年收入和年飲食支出線性相關(guān).解:作散點(diǎn)圖如圖7-2-1.圖7-2-1由散點(diǎn)圖可知家庭的年收入和年飲食支出之間存在近似的線性關(guān)系.根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義,隨堂練習(xí)1.(多選題)下面的各圖中,散點(diǎn)圖與樣本相關(guān)系數(shù)r符合的有(

).解析:對(duì)于A,散點(diǎn)圖上所有點(diǎn)都在一條斜率小于0的直線上,所以樣本相關(guān)系數(shù)r=-1,A正確;對(duì)于B,散點(diǎn)圖上所有點(diǎn)都在一條斜率大于0的直線上,所以樣本相關(guān)系數(shù)r=1,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,散點(diǎn)圖上所有點(diǎn)從左到右是向下的帶狀分布,所以樣本相關(guān)系數(shù)-1<r<0,C正確;對(duì)于D,樣本數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)性,樣本相關(guān)系數(shù)r=0,D正確.故選ACD.答案:ACD答案:A3.為考慮廣告費(fèi)用X(單位:萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額Y(單位:萬(wàn)元)之間的關(guān)系,抽取了5家餐廳,得到如下數(shù)據(jù):則X與Y之間的樣本相關(guān)系數(shù)為

.(結(jié)果精確到0.0001)

廣告費(fèi)用X/萬(wàn)元1.04.06.010.014.0銷(xiāo)售額Y/萬(wàn)元19.044.040.052.053.0答案:0.85884.某市2018~2022年居民家庭平均年收入X(單位:萬(wàn)元)與平均年支出Y(單位:萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示.年份20182019202020212