高三數(shù)學優(yōu)化問題專題試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}(x>0)\)的最小值是（）A.1B.2C.3D.42.已知\(x,y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.1B.3C.5D.73.若\(a>0,b>0\)，且\(a+b=4\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)的最小值是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.\(\frac{3}{2}\)D.24.已知正數(shù)\(x,y\)滿足\(x+2y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為（）A.\(3+2\sqrt{2}\)B.\(4+\sqrt{2}\)C.\(4\)D.\(3\)5.函數(shù)\(y=x^2+\frac{4}{x^2+1}\)的最小值是（）A.\(2\sqrt{3}\)B.\(3\)C.\(2\sqrt{2}\)D.\(2\)6.已知\(x,y\)滿足\(\begin{cases}x\geq1\\x+y\leq3\\y\geqx-1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值為（）A.3B.4C.5D.67.若\(x>0\)，則\(2-3x-\frac{4}{x}\)的最大值是（）A.\(2-4\sqrt{3}\)B.\(2-2\sqrt{3}\)C.\(2+2\sqrt{3}\)D.\(2+4\sqrt{3}\)8.已知\(a,b\)為正實數(shù)，且\(a+b=1\)，則\((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1})\)的最小值為（）A.\(\frac{25}{4}\)B.\(\frac{25}{2}\)C.\(\frac{9}{4}\)D.\(\frac{9}{2}\)9.已知\(x,y\)滿足\(\begin{cases}y\leqx\\x+y\leq2\\y\geq-1\end{cases}\)，則\(z=3x+y\)的最大值為（）A.5B.4C.3D.210.函數(shù)\(y=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}\)的最小值為（）A.\(\frac{5}{2}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.2D.\(\frac{5}{4}\)答案：1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.A8.A9.A10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，最小值為\(2\)的有（）A.\(y=\sqrt{x^2+2}+\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}\)B.\(y=x+\frac{1}{x}(x>0)\)C.\(y=\log_2x+\frac{1}{\log_2x}(x>1)\)D.\(y=\sinx+\frac{1}{\sinx}(0<x<\frac{\pi}{2})\)2.已知\(x,y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x-y\leq0\\x+2y\geq2\\2x+y\leq2\end{cases}\)，則（）A.\(z=x+y\)的最大值為\(\frac{4}{3}\)B.\(z=x-y\)的最小值為\(-\frac{2}{3}\)C.\(z=3x-y\)的最大值為\(2\)D.\(z=3x+y\)的最小值為\(1\)3.若\(a,b\)為正實數(shù)，且\(a+b=1\)，則下列結論正確的是（）A.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)B.\(ab\leq\frac{1}{4}\)C.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)D.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)4.下列說法正確的是（）A.函數(shù)\(y=\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}}\)的最小值為\(2\)B.若\(x>0\)，則\(x+\frac{1}{x}\geq2\)C.若\(a,b\)為實數(shù)，則\(a^2+b^2\geq2ab\)D.若\(x<0\)，則\(x+\frac{4}{x}\)的最大值為\(-4\)5.已知\(x,y\)滿足\(\begin{cases}x\geq0\\y\geq0\\x+y\leq1\end{cases}\)，則（）A.\(z=x-y\)的最大值為\(1\)B.\(z=x+2y\)的最大值為\(2\)C.\(z=2x+y\)的最大值為\(2\)D.\(z=3x-y\)的最大值為\(3\)6.若\(x,y\)為正實數(shù)，且\(x+2y=1\)，則（）A.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(3+2\sqrt{2}\)B.\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{8}\)C.\(x^2+4y^2\)的最小值為\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{2y}\)的最大值為\(\sqrt{2}\)7.下列函數(shù)求最值正確的是（）A.\(y=x^2+\frac{1}{x^2+1}\)，令\(t=x^2+1(t\geq1)\)，則\(y=t+\frac{1}{t}-1\)，當\(t=1\)時，\(y\)取最小值\(1\)B.\(y=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}\)，令\(t=\sqrt{x^2+4}(t\geq2)\)，則\(y=t+\frac{1}{t}\)，當\(t=2\)時，\(y\)取最小值\(\frac{5}{2}\)C.\(y=\sinx+\frac{4}{\sinx}(0<x<\pi)\)，當\(\sinx=2\)時，\(y\)取最小值\(4\)D.\(y=3x+\frac{12}{x}(x>0)\)，由基本不等式\(y\geq2\sqrt{3x\cdot\frac{12}{x}}=12\)，當\(3x=\frac{12}{x}\)即\(x=2\)時取等號8.已知\(x,y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x\geq1\\y\geq1\\x+y\leq4\end{cases}\)，則（）A.\(z=x+y\)的最大值為\(4\)B.\(z=x-y\)的最小值為\(-2\)C.\(z=2x+y\)的最大值為\(7\)D.\(z=3x-y\)的最大值為\(8\)9.若\(a,b\)滿足\(a+b=2\)，則（）A.\(ab\leq1\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq2\)C.\(a^2+b^2\geq2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq2\)10.下列關于優(yōu)化問題說法正確的是（）A.利用基本不等式求最值時，要注意“一正、二定、三相等”B.線性規(guī)劃問題中，目標函數(shù)的最值一定在可行域的頂點處取得C.求函數(shù)\(y=\frac{x^2+2x+3}{x+1}(x>-1)\)的最小值，可將函數(shù)變形為\(y=(x+1)+\frac{2}{x+1}\)后用基本不等式D.對于\(a,b\inR\)，有\(zhòng)((a+b)^2\leq2(a^2+b^2)\)答案：1.BCD2.AB3.ABCD4.BCD5.AB6.ABCD7.ABD8.AC9.ACD10.ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值是\(2\)。（）2.若\(x>0,y>0\)且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(4\)。（）3.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\)的最小值為\(2\)。（）4.已知\(x,y\)滿足\(\begin{cases}x\geq0\\y\geq0\\x+y\leq1\end{cases}\)，則\(z=x-y\)的最大值為\(1\)。（）5.若\(a,b\)為正實數(shù)，且\(a+b=1\)，則\(ab\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)。（）6.函數(shù)\(y=\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}}\)的最小值為\(\sqrt{2}\)。（）7.線性規(guī)劃問題中，可行域一定是凸多邊形。（）8.若\(x<0\)，則\(x+\frac{4}{x}\)的最大值為\(-4\)。（）9.對于函數(shù)\(y=x^2+\frac{4}{x^2+1}\)，當\(x^2=1\)時，\(y\)取得最小值\(3\)。（）10.若\(a,b\)滿足\(a+b=2\)，則\(a^2+b^2\)的最小值為\(2\)。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知\(x>0,y>0\)，且\(x+2y=1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。答案：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x+2y)=1+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}+2=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq3+2\sqrt{\frac{2y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=3+2\sqrt{2}\)，當且僅當\(\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}\)時取等號，所以最小值為\(3+2\sqrt{2}\)。2.求函數(shù)\(y=x^2+\frac{4}{x^2+1}\)的最小值。答案：令\(t=x^2+1(t\geq1)\)，則\(y=t+\frac{4}{t}-1\)。由基本不等式\(t+\frac{4}{t}\geq2\sqrt{t\cdot\frac{4}{t}}=4\)，當且僅當\(t=\frac{4}{t}\)即\(t=2\)（\(x=\pm1\)）時取等號，所以\(y\)最小值為\(4-1=3\)。3.已知\(x,y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x\geq1\\x+y\leq3\\y\geqx-1\end{cases}\)，求\(z=2x+y\)的最大值。答案：畫出可行域，可行域是由點\((1,0)\)，\((1,2)\)，\((2,1)\)圍成的三角形區(qū)域。分別將這三點代入\(z=2x+y\)，\(z(1,0)=2\)，\(z(1,2)=4\)，\(z(2,1)=5\)，所以\(z\)最大值為\(5\)。4.若\(a,b\)為正實數(shù)，且\(a+b=1\)，求\((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1})\)的最小值。答案：\((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1})=ab+\frac{a}+\frac{a}+\frac{1}{ab}=ab+\frac{1}{ab}+\frac{a^2+b^2}{ab}=ab+\frac{1}{ab}+\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=ab+\frac{1}{ab}+\frac{1-2ab}{ab}=ab+\frac{2}{ab}-2\)。由\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2=\frac{1}{4}\)，令\(t=ab(0<t\leq\frac{1}{4})\)，\