全國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽二次函數(shù)專題訓(xùn)練一、引言二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是全國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽（如全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）的重點(diǎn)考查對象。其知識點(diǎn)覆蓋圖像與性質(zhì)、根的分布、最值問題等，且常與不等式、幾何、數(shù)論等內(nèi)容綜合，考查學(xué)生的邏輯推理、分類討論及轉(zhuǎn)化能力。扎實(shí)掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識，是競賽取得好成績的關(guān)鍵。二、專題講解與典型例題（一）專題一：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)的一般形式為\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），頂點(diǎn)式為\(f(x)=a(x-h)^2+k\)（頂點(diǎn)坐標(biāo)\((h,k)\)，對稱軸\(x=h\)），交點(diǎn)式為\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(x_1,x_2\)為根）。1.基本性質(zhì)開口方向：\(a>0\)時開口向上，\(a<0\)時開口向下；對稱軸：\(x=-\frac{2a}\)；頂點(diǎn)坐標(biāo)：\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)；y軸截距：\(f(0)=c\)；根的個數(shù)：由判別式\(\Delta=b^2-4ac\)決定，\(\Delta>0\)有兩個不等實(shí)根，\(\Delta=0\)有一個實(shí)根（頂點(diǎn)在x軸），\(\Delta<0\)無實(shí)根。2.圖像變換平移：\(y=ax^2\toy=a(x-h)^2+k\)，向左平移\(h\)單位（\(h>0\)），向上平移\(k\)單位（\(k>0\)）；對稱：關(guān)于x軸對稱得\(y=-ax^2-bx-c\)，關(guān)于y軸對稱得\(y=ax^2-bx+c\)，關(guān)于原點(diǎn)對稱得\(y=-ax^2+bx-c\)；伸縮：\(|a|\)越大，圖像越“陡”；\(|a|\)越小，圖像越“平緩”。3.典型例題例1：已知二次函數(shù)\(f(x)\)過點(diǎn)\((1,0)\)、\((0,3)\)，對稱軸為\(x=2\)，求其解析式。解：設(shè)頂點(diǎn)式\(f(x)=a(x-2)^2+k\)，代入點(diǎn)得：\[\begin{cases}a(1-2)^2+k=0\\a(0-2)^2+k=3\end{cases}\implies\begin{cases}a+k=0\\4a+k=3\end{cases}\impliesa=1,k=-1.\]故\(f(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+3\)。（二）專題二：二次方程根的分布二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根\(x_1,x_2\)的分布問題，需結(jié)合判別式、對稱軸位置、端點(diǎn)函數(shù)值符號綜合分析。1.常見根分布條件（以\(a>0\)為例）根的分布條件兩根都在\((m,n)\)內(nèi)\(\Delta\geq0\),\(m<-\frac{2a}<n\),\(f(m)>0\),\(f(n)>0\)兩根都小于\(m\)\(\Delta\geq0\),\(-\frac{2a}<m\),\(f(m)>0\)兩根都大于\(m\)\(\Delta\geq0\),\(-\frac{2a}>m\),\(f(m)>0\)一根在\((m,n)\)內(nèi)\(f(m)\cdotf(n)<0\)2.典型例題例2：方程\(x^2+2mx+2m+1=0\)的兩根都在\((-1,0)\)內(nèi)，求\(m\)的范圍。解：\(a=1>0\)，需滿足：\(\Delta=4m^2-4(2m+1)\geq0\impliesm^2-2m-1\geq0\impliesm\geq1+\sqrt{2}\)或\(m\leq1-\sqrt{2}\)；對稱軸\(-m\in(-1,0)\implies0<m<1\)；\(f(-1)=1-2m+2m+1=2>0\)（恒成立）；\(f(0)=2m+1>0\impliesm>-\frac{1}{2}\)。綜合得\(m\in(-\frac{1}{2},1-\sqrt{2}]\)（\(1-\sqrt{2}\approx-0.414\)，滿足\(0<m<1\)）。（三）專題三：二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)的最值分為全局最值（頂點(diǎn)處取得）和區(qū)間最值（需考慮對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系）。1.區(qū)間最值分析（以\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\([p,q]\)上為例）對稱軸\(x_0=-\frac{2a}\in[p,q]\)：\(a>0\)時最小值為\(f(x_0)\)，最大值為\(\max\{f(p),f(q)\}\)；\(a<0\)時相反。對稱軸\(x_0<p\)：\(a>0\)時最小值\(f(p)\)，最大值\(f(q)\)；\(a<0\)時相反。對稱軸\(x_0>q\)：\(a>0\)時最小值\(f(q)\)，最大值\(f(p)\)；\(a<0\)時相反。2.典型例題例3：求\(f(x)=-x^2+2x+3\)在區(qū)間\([t,t+2]\)上的最大值。解：對稱軸\(x=1\)，開口向下，分情況討論：\(t+2\leq1\impliest\leq-1\)：區(qū)間在對稱軸左側(cè)，函數(shù)遞增，最大值\(f(t+2)=-(t+2)^2+2(t+2)+3=-t^2-2t+3\)；\(t\geq1\)：區(qū)間在對稱軸右側(cè)，函數(shù)遞減，最大值\(f(t)=-t^2+2t+3\)；\(-1<t<1\)：頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，最大值\(f(1)=4\)。（四）專題四：二次函數(shù)綜合應(yīng)用二次函數(shù)常與幾何（拋物線、面積）、代數(shù)（不等式、恒成立）綜合，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。1.幾何應(yīng)用例4：拋物線\(y=x^2-2x-3\)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，求\(\triangleABC\)的面積。解：令\(y=0\)，得\(x^2-2x-3=0\impliesx=3\)或\(x=-1\)，故\(AB=4\)；令\(x=0\)，得\(y=-3\)，故\(C(0,-3)\)。面積為\(\frac{1}{2}\timesAB\times|y_C|=\frac{1}{2}\times4\times3=6\)。2.代數(shù)綜合（恒成立問題）例5：已知\(f(x)=x^2+ax+b\)，對任意\(x\in[0,1]\)，有\(zhòng)(|f(x)|\leq1\)，求\(a,b\)的取值范圍。解：考慮區(qū)間端點(diǎn)與中點(diǎn)：\(f(0)=b\implies|b|\leq1\)；\(f(1)=1+a+b\implies|1+a+b|\leq1\)；\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{a}{2}+b\implies\left|\frac{1}{4}+\frac{a}{2}+b\right|\leq1\)。聯(lián)立得\(a\in[-2,0]\)，\(b\in[-1,1]\)（如\(a=-2,b=1\)時，\(f(x)=(x-1)^2\)，滿足條件）。三、專題訓(xùn)練題（一）圖像與性質(zhì)1.已知二次函數(shù)過點(diǎn)\((2,5)\)、\((0,5)\)，對稱軸為\(x=1\)，求解析式。2.函數(shù)\(y=-3(x+2)^2-1\)的開口方向?yàn)開_____，頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，對稱軸為______。（二）根的分布1.方程\(2x^2-kx+1=0\)的兩根都在\((1,2)\)內(nèi)，求\(k\)的范圍。2.方程\(x^2+ax+2=0\)有一根在\((0,1)\)內(nèi)，另一根在\((2,3)\)內(nèi)，求\(a\)的范圍。（三）最值問題1.求\(f(x)=x^2-6x+8\)在\([2,5]\)上的最值。2.求\(f(x)=-2x^2+4x+1\)在\([t,t+1]\)上的最大值。（四）綜合應(yīng)用1.拋物線\(y=x^2+bx+c\)過點(diǎn)\((1,0)\)、\((3,0)\)，求其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。2.證明：對任意實(shí)數(shù)\(x\)，\(x^2-2x+2\geq1\)。四、訓(xùn)練題答案提示（一）圖像與性質(zhì)1.設(shè)\(f(x)=a(x-1)^2+k\)，代入得\(a=1,k=4\)，故\(f(x)=(x-1)^2+4=x^2-2x+5\)。2.向下；\((-2,-1)\)；\(x=-2\)。（二）根的分布1.\(k\in(2\sqrt{2},\frac{9}{2})\)（提示：\(f(1)>0\),\(f(2)>0\),\(1<\frac{k}{4}<2\),\(\Delta\geq0\)）。2.\(a\in(-\frac{11}{3},-3)\)（提示：\(f(0)>0\),\(f(1)<0\),\(f(2)<0\),\(f(3)>0\)）。（三）最值問題1.最小值\(f(3)=-1\)，最大值\(f(5)=3\)。2.對稱軸\(x=1\)，分情況：\(t\leq0\)時最大值\(f(t+1)=-2t^2+3\)；\(0<t<1\)時最大值\(f(1)=3\)；\(t\geq1\)時最大值\(f(t)=-2t^2+4t+1\)。（四）綜合應(yīng)用1.由根與系數(shù)關(guān)系得\(b=-4\),\(c=3\)，故與y軸交點(diǎn)為\((0,3)\)。2.\(x^2-