20222023學年小學三年級思維拓展舉一反三精編講義專題10簡單枚舉知識精講知識精講專題簡析：枚舉是一種常見的分析問題、解決問題的方法。一般地，要根據(jù)問題要求，一一列舉問題解答。運用枚舉法解應(yīng)用題時，必須注意無重復、無遺漏，因此必須有次序、有規(guī)律地進行枚舉。運用枚舉法解題的關(guān)鍵是要正確分類，要注意以下兩點：一是分類要全，不能造成遺漏；二是枚舉要清，要將每一個符合條件的對象都列舉出來。典例分析典例分析【典例分析01】從小華家到學校有3條路可走，從學校到文峰公園有4條路可走。從小華家到文峰公園，有幾種不同的走法？為了幫助理解題意，我們可以畫出如上示意圖。我們把小華的不同走法一一列舉如下：根據(jù)列舉可知，從小明家經(jīng)學校到文峰公園，走①路有4種不同走法，走②路有4種不同走法，走③路也有4種不同走法，共有4×3=12種不同走法。【典例分析02】用紅、綠、黃三種信號燈組成一種信號，可以組成多少種不同的信號？思路導航：要使信號不同，要求每一種信號顏色的順序不同，我們可以把這些信號進行列舉：從上面可以看出，紅色信號燈排在第一個位置時，有兩種不同的信號，綠色信號燈排在第一個位置時，也有兩種不同的信號，黃色信號燈排在第一個位置時，也有兩種不同的信號，因而共有3個2種不同排列方法，即2×3=6種?！镜淅治?3】一個長方形的周長是22米，如果它的長和寬都是整米數(shù)，那么這個長方形的面積有多少種可能？思路導航：由于長方形的周長是22米，可知它的長與寬之和為11米。下面列舉出符合這個條件的各種長方形：【典例分析04】有4位小朋友，寒假中互相通一次電話，他們一共打了多少次電話？思路導航：把4個小朋友分別編號：A、B、C、D，A與其他小朋友打電話，應(yīng)該打3次，同樣B小朋友也應(yīng)打3次電話，同樣C、D應(yīng)該各打3次電話。4個小朋友，共打了3×4=12次。但題目要求兩個小朋友之間只要通一次電話，那么A打電話給B時，A、B兩人已經(jīng)通過話了，所以B沒有必要再打電話給A，照這樣計算，12次電話中，有一半是重復計算的，所以實際打電話的次數(shù)是3×4÷2=6次?！镜淅治?5】一條鐵路，共有10個車站，如果每個起點站到終點站只用一種車票（中間至少相隔5個車站），那么這樣的車票共有多少種？我們可以利用列舉的方法：如果起點站是1，那么終點站只能是7、8、9或10；如果起站站是2，那么終點站只能是8、9或10；如果起點站是3，那么終點站只能是9或10；如果起點站是4，終點站只能是10；如果起點站是5、6時，就找不到與它至少相隔5站的終點站了；如果起點站是7，終點站只能是1；如果起點站是8，那么終點站是2或1；如果起點站是9，那么終點站是3、2或1；如果起點站是10，那么終點站是4、3、2或1。所以，起點到終點至少相隔5個車站的車票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20種。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?汝州市期末）趙羽有10元和5元的人民幣若干張。他買文具要從中拿30元錢，有（）種不同的拿法。A．2 B．4 C．6【思路引導】利用列舉的方法，組合成30元，最多有3張10元，據(jù)此列舉即可。從都是5元的開始找，逐漸增加10元的張數(shù)，直到都是10元?！疽?guī)范解答】解：（1）10元的3張；（2）10元的2張，5元2張；（3）10元1張，5元4張；（4）5元6張。答：有4種不同的拿法。故選：B?！究键c評析】此題也可以設(shè)5元的有x張，10元的有y張，列出方程5x+10y＝30，據(jù)此求出x、y的正整數(shù)解的數(shù)量即可解答問題。2．（2分）（2022秋?官渡區(qū)期末）學校勞動課上運土種樹，一共要運34千克土。男生每次運5千克，女生每次運3千克，男生運____次，女生運____次，以下方案中土不能恰好運完的是（）A．5，3 B．2，8 C．3，4【思路引導】把34拆分為幾個5與幾個3的和即可?！疽?guī)范解答】解：34＝5×5+3×334＝5×2+3×85×3+3×4＝27所以以上方案中土不能恰好運完的是男生運3次，女生運4次。故選：C。【考點評析】本題考查了整數(shù)的拆分，關(guān)鍵是明確拆分方法。3．（2分）（2021秋?黃陵縣期末）32名同學去公園劃船，大船限坐6人，小船限坐4人，如果每條船都坐滿，有（）種租船方案。A．2 B．3 C．4【思路引導】根據(jù)坐船的總?cè)藬?shù)與大船和小船可以乘坐的人數(shù)，利用拆分法找到符合題意的答案即可。【規(guī)范解答】解：32＝4×8，即可以租8條小船；32＝6×2+4×5，即可以租2條大船和5條小船；32＝6×4+4×2，即可以租4條大船和2條小船；答：有3種租船方案。故選：B。【考點評析】本題主要考查最優(yōu)化問題，關(guān)鍵是根據(jù)總?cè)藬?shù)和每條船所坐人數(shù)，把32進行拆分解決。4．（2分）（2019秋?安陽縣期末）一批貨物要從甲地運往乙地，有大卡車和小卡車兩種車可供使用。每輛大卡車載質(zhì)量6噸，每輛小卡車載質(zhì)量4噸，如果每輛車都裝滿，有（）種安排方案能恰好運完24噸貨物。A．1 B．2 C．3【思路引導】根據(jù)4×6＝24可以得到兩個方案，再根據(jù)4和6的最小公倍數(shù)為12，3×4＝2×6，所以每減少兩輛大卡車需要補上三輛小卡車，據(jù)此提出方案?！疽?guī)范解答】解：因為4×6＝24，所以，可以4輛大卡車或6輛小卡車，又因為3×4＝2×6，減少兩輛大車，補上三輛小卡車，即兩輛大卡車三輛小卡車，共有3種方案。故選：C。【考點評析】本題主要考查了篩選與枚舉，根據(jù)兩種卡車載重量的公倍數(shù)提出第三種方案是本題解題的關(guān)鍵。5．（2分）（2019秋?北川縣期末）28個同學到公園坐船，小船限坐4人，大船限坐6人。如果28個同學都坐上船，每條船都坐滿，那么租船的方案有（）A．2種 B．3種 C．4種【思路引導】根據(jù)坐船的總?cè)藬?shù)與大船和小船可以乘坐的人數(shù)，確定坐船的方案：28＝4×7；28＝4×4+6×2；28＝4×1+6×4，據(jù)此確定方案即可。【規(guī)范解答】解：方案一：28＝4×7，租7條小船；方案二：28＝4×4+6×2，租4條小船和2條大船；方案三：28＝4×1+6×4，租1條小船4條大船；答：租船的方案有3種。故選：B?！究键c評析】抓住題干中的大、小兩個船乘坐的人數(shù)不同，把28進行拆分，即可解決此類問題。二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）（2022春?安新縣期末）用3、5、0、8寫出沒有重復數(shù)字，小于1而小數(shù)部分是三位的所有小數(shù)0.358、0.385、0.853、0.835、0.539、0.583?！舅悸芬龑А啃∮?，則整數(shù)部分只能是0。據(jù)此枚舉出符合條件的三位小數(shù)即可?！疽?guī)范解答】解：用3、5、0、8寫出沒有重復數(shù)字，小于1而小數(shù)部分是三位的所有小數(shù)：0.358、0.385、0.853、0.835、0.539、0.583。故答案為：0.358、0.385、0.853、0.835、0.539、0.583?！究键c評析】此題主要考查了小數(shù)的寫法，要熟練掌握。7．（2分）（2022春?靖江市校級期中）一種小蟲，每天的體長是前一天的2倍。第8天長到了6厘米，第11天長到48厘米?！舅悸芬龑А棵刻斓捏w長是前一天的2倍，用前一天的長度乘2就是第二天的長度，據(jù)此列舉即可?！疽?guī)范解答】解：第8天長到了6厘米，第9天長到：6×2＝12（厘米）第10天長到：12×2＝24（厘米）第11天長到：24×2＝48（厘米）答：第11天長到48厘米。故答案為：11。【考點評析】解決此題的關(guān)鍵是理解題意，注意：從8天算起，不要考慮8天以前的問題。8．（2分）（2021春?寧安市期末）把5塊蛋糕分給小洋、小慧、小可，每人至少分1塊，有6種分法?！舅悸芬龑А棵總€人都分到蛋糕，每人至少有1塊，最多3塊，據(jù)此列舉即可?！疽?guī)范解答】解：每個人都分到蛋糕，每人至少有1塊，最多3塊，有：（1，2，2）、（2、2、1）、（2，1，2）、（3，1，1）、（1，3，1）、（1，1，3），共6種。答：有6種分法。故答案為：6?！究键c評析】列舉時要按照一定的順序，不要重復寫和漏寫。本題也可以先滿足每人分1塊，然后剩下的2塊有3+2+1＝6（種）分法。9．（2分）把5塊餅干全部分給李明、張亮、王紅，每人至少分1塊，有6種分法?！舅悸芬龑А堪?塊餅干全部分給李明、張亮、王紅，至少有1塊，最多3塊，這樣，有：（1、2、2）、（2、2、1）、（2、1、2）、（3、1、1）、（1、3、1）、（1、1、3），共6種?！疽?guī)范解答】解：每個人至少有一塊餅干，最多有3塊餅干，這樣，有：（1、2、2）、（2、2、1）、（2、1、2）、（3、1、1）、（1、3、1）、（1、1、3），共6種。答：有6種分法。故答案為：6?！究键c評析】列舉時要按照一定的順序，不要重復寫和漏寫。本題也可以先滿足每人分1塊，然后剩下的2塊有3+2+1＝6（種）分法。10．（2分）（2020春?福田區(qū)期末）有52名游客需要乘車出游，請設(shè)計一個沒有剩余座位的乘車方案，填入如表的表格中．大車（限乘8人）小車（限乘3人）方案5（或2）輛4（或12）輛【思路引導】根據(jù)題意，結(jié)合每車所坐人數(shù)和總?cè)藬?shù)，利用列舉法，找到合適的租車方案即可?！疽?guī)范解答】大車（限乘8人）小車（限乘3人）總?cè)藬?shù)方案一6254方案二5452√方案三4753方案四31054方案五21252√方案六11553方案七01854所以：大車（限乘8人）小車（限乘3人）方案5（或2）輛4（或12）輛故答案為：5（或2）輛，4（或12）輛。【考點評析】本題主要考查最優(yōu)化問題，關(guān)鍵根據(jù)每車所坐人數(shù)和總?cè)藬?shù)，結(jié)合每車都坐滿，利用列舉法，找到合適的方案。11．（2分）（2019秋?資中縣期末）某煤廠安排一輛載重2噸和一輛載重3噸卡車運煤，如果每次每種載重量的車輛都裝滿，兩種方案能恰好運完10噸煤?！舅悸芬龑А恳驗?0÷2＝5，所以可以用5輛兩噸車來運；因為2和3的最小公倍數(shù)為6，即2×3＝3×2，所以，每減少3輛2噸車，需要補上兩輛3噸車，即可滿足恰好運完10噸煤，據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：10÷2＝5（輛）所以，可以用5輛兩噸車來運；又因為2×3＝3×2，所以每減少3輛2噸車，需要補上2輛3噸車，即2輛2噸車，2輛3噸車來運，共有兩種方案。故答案為：兩?！究键c評析】本題主要考查了篩選與枚舉，根據(jù)整除的特性以及公倍數(shù)的性質(zhì)來進行篩選可以簡化問題。12．（2分）（2020秋?廈門期末）50人租船，大船每條坐6人，小船每條坐4人，租1（或3或5或7）條大船和11（或8或5或2）條小船，剛好坐滿?！舅悸芬龑А看蟠織l坐6人，小船每條坐4人，每條船都坐滿，把50分解成6的倍數(shù)和4的倍數(shù)和，即可求出需要大船和小船的條數(shù)。【規(guī)范解答】解：50＝1×6+11×4＝3×6+8×4＝5×6+5×4＝7×6+2×4可以租1條大船和11條小船剛好坐滿；可以租3條大船和8條小船剛好坐滿．故答案為：1（或3或5或7）；11（或8或5或2）。【考點評析】解決本題關(guān)鍵是正確的把50分解成6的倍數(shù)和4的倍數(shù)和，再進一步求解。13．（2分）（2020秋?沁陽市期中）三（3）班有28名同學去天鵝湖劃船，如果每條船都坐滿，需要租2條大船，2條小船。大船限坐：8人小船限坐：6人【思路引導】一條大船和一條小船可以乘坐：8+6＝14（人），14剛好能整除28，據(jù)此計算即可?！疽?guī)范解答】解：一條大船和一條小船可以乘坐：8+6＝14（人）28÷14＝2（條）答：需要租2條大船，2條小船。故答案為：2，2?！究键c評析】本題主要考查了篩選與枚舉，根據(jù)兩條船可乘坐的人數(shù)和剛好能整除學生的人數(shù)來簡化問題是本題解題的關(guān)鍵，也可采用枚舉法，一一列舉出所有的租船方案，找到剛好能都坐滿的方案。三．應(yīng)用題（共16小題，滿分74分）14．（4分）（2022秋?攸縣期末）小麗有4張10元面值的人民幣和8張5元面值的人民幣，如果要買一個40元的玩具，有幾種恰好付給40元的方案？【思路引導】可用列表法分別求出10元人民幣分別為4、3、2、1、0張時，5元人民幣的張數(shù)，據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：付錢方案??10元???5元總錢數(shù)張數(shù)4040張數(shù)3240張數(shù)2440張數(shù)1640張數(shù)0840答：有5種恰好付給40元的方案?！究键c評析】本題考查了錢幣問題，利用列表法解決此類問題是常用的方法之一。15．（4分）（2022秋?衡陽期末）育才小學三年一班28名同學準備租船游湖，小船限坐4人，大船限坐6人，如果每條船都坐滿。可以怎樣租船？【思路引導】根據(jù)坐船的總?cè)藬?shù)與大船和小船可以乘坐的人數(shù)，確定坐船的方案：28＝4×7；28＝4×4+6×2；28＝4×1+6×4，據(jù)此確定方案即可?！疽?guī)范解答】解：方案一：28＝4×7，租7條小船；方案二：28＝4×4+6×2，租4條小船和2條大船；方案三：28＝4×1+6×4，租1條小船和4條大船；答：租7條小船或租4條小船和2條大船或租1條小船和4條大船。【考點評析】抓住題干中的大小兩個船的人數(shù)不同，把28進行拆分，即可解決此類問題。16．（4分）（2021秋?富縣期中）3個老師帶27個同學去乘船游玩，規(guī)定每條大船可坐7人，每條小船可坐4人，怎樣租船可以使每條所租的船剛好坐滿？【思路引導】一共有27+3＝30（人），由于30÷7＝4（條）……2（人），要足夠坐，最多租5條大船就可坐下，據(jù)此列表把不同的方案列出來即可?！疽?guī)范解答】解：27+3＝30（人）大船（7人）小船（4人）可乘坐的人數(shù)503541323333243016310832根據(jù)上表可以看出，租2條大船、4條小船可以使每條所租的船剛好坐滿?！究键c評析】本題考查了運用列表法解決不定方程問題的。17．（4分）（2021春?新田縣期末）有人民幣10元、5元、1元、2角各一張，每次取兩張人民幣，取出的錢共有哪幾種情況？請寫出來?！舅悸芬龑А繉⑷我馊〕?張組成的幣值列舉出來即可，據(jù)此解題?！疽?guī)范解答】解：10元+5元＝15元10元+1元＝11元10元+2角＝10元2角5元+1元＝6元5元+2角＝5元2角2角+1元＝1元2角共有6種情況?！究键c評析】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)題意，能利用所給的幣值，找出組成的不同情況時，一定不要重復和遺漏。18．（4分）（2020秋?懷仁市期中）我們有10人，如果每條船都坐滿，可以怎樣租船？【思路引導】先從2人船有1條，開始列舉，然后確定總?cè)藬?shù)是否合適?！疽?guī)范解答】解：2人船4人船總?cè)藬?shù)1條2條103條1條105條0條10答：可以租5條2人船；也可以租1條4人船和3條2人船；也可以租2條4人船和1條2人船?！究键c評析】通過把符合要求的一一列舉出來，從而得到答案，這種解答問題的方法叫做“枚舉法”，通常也稱為“窮舉法”，在解答很多有趣的數(shù)學問題時，經(jīng)常用到這種方法。19．（4分）（2021秋?奉化區(qū)期末）小明有5元和2元面值的人民幣各10張，如果要買一盒20元的蠟筆，有幾種恰好20元的付錢方式？（把下面列表補充完整，并列出付錢的所有方法）方案5元2元錢數(shù)答：付錢方法一共有3種。方案①、③、⑤都恰好20元?！舅悸芬龑А坑?元和2元兩種面額的人民幣可供選擇，可以只用一種面額的人民幣，也可以用兩種面額的人民幣。用列表的方法把不同的付錢方法一一列舉出來解答。【規(guī)范解答】解：方案5元2元錢數(shù)①4張0張4×5＝20元②3張3張3×5+3×2＝21元③2張5張2×5+5×2＝20元④1張8張5+8×2＝21元⑤0張10張2×10＝20元答：付錢方法一共有3種。方案①、③、⑤都恰好20元。故答案為：3，①、③、⑤。【考點評析】根據(jù)已知條件和數(shù)量關(guān)系將所有可能的方案一一列舉出來，然后再從各種方案中選擇最優(yōu)方案。20．（5分）（2021秋?單縣期中）有載質(zhì)量是10噸和5噸的卡車各5輛。如果要一次運輸50噸的沙石料，有多少種不同的運輸方式？請寫出過程?！舅悸芬龑А恳淮芜\完，不能空車，每輛車都要裝滿。方案一：5輛10噸的卡車；方案二：4輛10噸卡車，2輛5噸卡車；方案三：3輛10噸卡車，4輛5噸卡車?！疽?guī)范解答】解：方案一：5輛10噸的卡車10×5＝50（噸）方案二：4輛10噸卡車，2輛5噸卡車10×4+5×2＝40+10＝50（噸）方案三：3輛10噸卡車，4輛5噸卡車10×3+5×4＝30+20＝50（噸）【考點評析】運輸原則要一次運完不能空車，明確這一原則是解決本題的關(guān)鍵。21．（5分）（2020秋?新城區(qū)校級期末）學校為參加“校長杯”足球賽的學生們買食品補充能量。食品種類礦泉水牛奶巧克力錢數(shù)（元）166元225元558元（1）估一估，體育老師帶1000元，買這些食品夠嗎？（2）體育老師實際花了多少錢？（3）比賽結(jié)束后，體育老師要安排所有人坐車返回學校，除司機外每輛商務(wù)車可乘坐6人，每輛小轎車可乘坐4人，如果每輛車都坐滿，怎樣派車能恰好把28名師生一次都送回學校？（借助表格來思考）派車方案商務(wù)車（6人）小轎車（4人）總?cè)藬?shù)①②③④⑤⑥⑦【思路引導】（1）求三種食品價格的和，估算即可。（2）計算三種食品的價格的和即可。（3）根據(jù)每種車所坐人數(shù)及所有人數(shù)，利用列舉法找到合適的租車方案?！疽?guī)范解答】解：（1）166+225+558≈170+230+560＝960（元）960＜1000答：體育老師帶1000元，買這些食品夠。（2）166+225+558＝391+558＝949（元）答：體育老師實際花了949元。（3）派車方案商務(wù)車（6人）小轎車（4人）總?cè)藬?shù)①5030②4128③3330④2428⑤1630⑥0728⑦答：租4輛商務(wù)車和1輛小轎車，或租2輛商務(wù)車和4輛小轎車，或租7輛小轎車都能恰好把28名師生一次都送回學校?！究键c評析】本題主要考查枚舉法解決問題，關(guān)鍵按規(guī)律列舉，不遺漏，不重復。22．（5分）（2020秋?大洼區(qū)月考）明明有5元和2元面值的人民幣各8張。如果買一盒40元的油畫棒，怎樣付錢可以不用找零錢？【思路引導】可用列表法分別求出5元人民幣分別為8、7、6、5張時，2元人民幣的張數(shù)是幾種，正好滿足它們的和是40元的情況，據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：付錢方案5元2元總錢數(shù)①8張0張40元②7張3張41元③6張5張40元④5張8張41元答：8張5元的人民幣或6張5元的人民幣和5張2元的人民幣付錢不用找零錢?！究键c評析】本題考查了篩選和枚舉，運用列表法解決此類問題是常用的方法之一。23．（5分）（2022秋?慈溪市期末）三（1）班第一小隊的13位同學去露營，可以租用營地的兩種帳篷，怎樣租，13人剛好住滿帳篷？【思路引導】根據(jù)總?cè)藬?shù)是13人，將13分別按4人帳篷和3人帳篷進行列舉人數(shù)，據(jù)此解題。【規(guī)范解答】解：根據(jù)分析，填表如下：根據(jù)分析，填表如下：根據(jù)分析，填表如下：方案4人帳篷3人帳篷人數(shù)①404×4＝16（人）②313×4+1×3＝15（人）③222×4+2×3＝14（人）④131×4+3×3＝13（人）⑤055×3＝15（人）答：需要1頂4人帳篷和3頂3人帳篷剛好住滿?！究键c評析】本題主要考查了優(yōu)化問題的靈活應(yīng)用。24．（5分）（2022秋?廣水市期中）王老師帶著三（1）班35名同學去劃船，大船限坐8人，小船限坐6人。如果每條船都坐滿，可以怎樣租船？【思路引導】要求每條船都坐滿，即沒有多余的船也沒有空位，王老師帶著三（1）班35名同學，那么共有36人，然后把36拆分成含有8和6的乘加算式即可?！疽?guī)范解答】解：1+35＝36（人）36＝8×3+6×2，即租3條大船2條小船；36＝6×6，即租6條小船。答：如果每條船都坐滿，可以租3條大船2條小船或租6條小船。【考點評析】抓住題干中的大小兩個船的人數(shù)不同，把36進行拆分，即可解決此類問題。25．（5分）（2020秋?椒江區(qū)期末）小剛有10張1元人民幣，2張5元人民幣，1張10元人民幣，如果要買一個14元的文具盒，有幾種恰好付14元的方式？（用列表法解決問題）付錢方案1元（張）5元（張）10元（張）付錢總數(shù)（元）140114242014391014【思路引導】因買文縣盒用的錢是14元錢，所以10元的錢最多取一張，5元的張最多取2張，據(jù)此可用列表法進行解答?！疽?guī)范解答】解：付錢方案1元（張）5元（張）10元（張）付錢總數(shù)（元）140114242014391014故答案為：4，0，1，14；4，2，0，14；9，1，0，14?！究键c評析】此題考查了利用枚舉法解決實際問題的靈活應(yīng)用，利用列表法使解決問題的過程更加簡潔明了。26．（5分）（2021秋?富陽區(qū)期末）樂樂的媽媽有6張50元的人民幣和3張100元的人民幣。她要買一條300元的裙子，你能想出幾種不同的付錢方案？請你用列表的方法想一想，填一填。方案50元的張數(shù)100元的張數(shù)付出的總錢數(shù)【思路引導】方案一，付6張50元；方案二，付4張50元，1張100元；方案三，付2張50元，2張100元；方案四，付3張100元?！疽?guī)范解答】解：【考點評析】明確各種付錢方案是解決本題的關(guān)鍵。27．（5分）（2022春?仙游縣期末）三（1）班37名同學在班主任老師的帶領(lǐng)下乘車去郊游，可供租用的車有兩種：甲種車可乘6人，乙種車可乘4人．要求不能有空座，請你寫出至少3種不同的租車方案．第一種方案：甲種車2