幻燈片1：標題頁標題：22.2二次函數(shù)與一元二次方程——探尋函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系副標題：通過圖象理解關(guān)系，運用關(guān)系解決問題配套元素：背景圖：展示二次函數(shù)圖象與x軸交點的示意圖，突出交點坐標與方程解的對應(yīng)關(guān)系。署名：學科、年級、教師姓名幻燈片2：學習目標知識與技能目標：理解二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)（\(aa?

0\)）的圖象與一元二次方程\(ax?2+bx+c=0\)（\(aa?

0\)）的根的關(guān)系。能夠根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷一元二次方程根的個數(shù)，以及根據(jù)方程根的情況分析函數(shù)圖象的特征。會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解，掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法。過程與方法目標：通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況，經(jīng)歷從具體到抽象的過程，培養(yǎng)觀察分析能力和抽象概括能力。在探究函數(shù)與方程關(guān)系的過程中，體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，提升綜合運用知識解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀目標：感受數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，激發(fā)對數(shù)學探究的興趣，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣。體驗通過圖象分析解決方程問題的直觀性和便捷性，增強學好數(shù)學的信心?；脽羝?：復(fù)習回顧——銜接舊知二次函數(shù)回顧：二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)（\(aa?

0\)）的圖象是一條拋物線，其與x軸的交點坐標滿足函數(shù)值\(y=0\)。一元二次方程回顧：一元二次方程\(ax?2+bx+c=0\)（\(aa?

0\)）的解（根）是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，其解的情況可以通過判別式\(\Delta=b?2-4ac\)判斷：當\(\Delta>0\)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。當\(\Delta=0\)時，方程有兩個相等的實數(shù)根。當\(\Delta<0\)時，方程沒有實數(shù)根。提問引入：二次函數(shù)和一元二次方程都含有\(zhòng)(ax?2+bx+c\)的形式，它們之間是否存在某種聯(lián)系？二次函數(shù)的圖象能否幫助我們理解一元二次方程的根的情況？本節(jié)課我們就來探究這些問題。幻燈片4：探究一——二次函數(shù)圖象與x軸交點和方程根的關(guān)系實例分析：對于二次函數(shù)\(y=x?2-2x-3\)，當\(y=0\)時，得到方程\(x?2-2x-3=0\)，解方程得\(xa??=-1\)，\(xa??=3\)。觀察其圖象，發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸交于點\((-1,0)\)和\((3,0)\)，交點的橫坐標恰好是方程的兩個根。對于二次函數(shù)\(y=x?2-4x+4\)，當\(y=0\)時，方程\(x?2-4x+4=0\)的解為\(xa??=xa??=2\)。其圖象與x軸只有一個交點\((2,0)\)，交點的橫坐標是方程的兩個相等的根。對于二次函數(shù)\(y=x?2-2x+2\)，當\(y=0\)時，方程\(x?2-2x+2=0\)，判別式\(\Delta=(-2)?2-4??1??2=4-8=-4<0\)，方程沒有實數(shù)根。觀察其圖象，發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸沒有交點。展示三個函數(shù)的圖象及對應(yīng)的方程求解過程，直觀呈現(xiàn)關(guān)系。結(jié)論：二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)的圖象與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程\(ax?2+bx+c=0\)的實數(shù)根?；脽羝?：歸納總結(jié)——交點個數(shù)與方程根的情況對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系：當二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)的圖象與x軸有兩個不同的交點時，一元二次方程\(ax?2+bx+c=0\)有兩個不相等的實數(shù)根，此時判別式\(\Delta=b?2-4ac>0\)。當二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)的圖象與x軸有一個交點（即相切）時，一元二次方程\(ax?2+bx+c=0\)有兩個相等的實數(shù)根，此時判別式\(\Delta=b?2-4ac=0\)。當二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)的圖象與x軸沒有交點時，一元二次方程\(ax?2+bx+c=0\)沒有實數(shù)根，此時判別式\(\Delta=b?2-4ac<0\)。用表格形式清晰呈現(xiàn)三者之間的對應(yīng)關(guān)系，并配有不同情況的圖象示例。注意事項：這里的對應(yīng)關(guān)系是針對實數(shù)根而言的，判別式的符號決定了方程根的情況，也決定了二次函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)?；脽羝?：探究二——利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解方法講解：對于一些難以直接求解的一元二次方程，可以通過畫出對應(yīng)的二次函數(shù)圖象，找到圖象與x軸交點的橫坐標，從而得到方程的近似解。例題：求方程\(x?2-2x-1=0\)的近似解（精確到\(0.1\)）。解題步驟：構(gòu)造函數(shù)：令\(y=x?2-2x-1\)，則方程\(x?2-2x-1=0\)的解就是函數(shù)\(y=x?2-2x-1\)的圖象與x軸交點的橫坐標。繪制圖象：用描點法畫出函數(shù)\(y=x?2-2x-1\)的圖象，觀察圖象與x軸的交點位置，大致在\(xa??-0.4\)和\(xa??2.4\)附近。精確估算：在\(x=-0.4\)時，\(y=(-0.4)?2-2??(-0.4)-1=0.16+0.8-1=-0.04\)。在\(x=-0.3\)時，\(y=(-0.3)?2-2??(-0.3)-1=0.09+0.6-1=-0.31\)。因為\(x=-0.4\)時\(y\)更接近\(0\)，所以一個近似解為\(xa??-0.4\)。在\(x=2.4\)時，\(y=2.4?2-2??2.4-1=5.76-4.8-1=-0.04\)。在\(x=2.3\)時，\(y=2.3?2-2??2.3-1=5.29-4.6-1=-0.31\)。所以另一個近似解為\(xa??2.4\)。展示函數(shù)圖象及估算過程，強調(diào)估算的方法?；脽羝?：例題解析——根據(jù)方程根的情況分析函數(shù)圖象特征例題：已知關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x?2-2x+m=0\)有兩個不相等的實數(shù)根，求二次函數(shù)\(y=x?2-2x+m\)的圖象與x軸的交點個數(shù)及\(m\)的取值范圍。解題步驟：分析方程根的情況：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以判別式\(\Delta=(-2)?2-4??1??m>0\)，即\(4-4m>0\)，解得\(m<1\)。確定函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)：根據(jù)前面總結(jié)的對應(yīng)關(guān)系，當\(\Delta>0\)時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點。結(jié)論：二次函數(shù)\(y=x?2-2x+m\)的圖象與x軸有兩個不同的交點，\(m\)的取值范圍是\(m<1\)。拓展提問：若方程有兩個相等的實數(shù)根，函數(shù)圖象與x軸有幾個交點？\(m\)的值是多少？（答案：1個交點，\(m=1\)）幻燈片8：例題解析——根據(jù)函數(shù)圖象解決方程問題例題：二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)的圖象如圖所示（假設(shè)圖象與x軸交于\((-1,0)\)和\((3,0)\)，與y軸交于\((0,-3)\)），求關(guān)于\(x\)的方程\(ax?2+bx+c=0\)的根及\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。解題步驟：求方程的根：因為函數(shù)圖象與x軸交于\((-1,0)\)和\((3,0)\)，所以方程\(ax?2+bx+c=0\)的根是\(xa??=-1\)，\(xa??=3\)。求函數(shù)解析式：設(shè)二次函數(shù)的交點式為\(y=a(x+1)(x-3)\)，將點\((0,-3)\)代入得：\(a(0+1)(0-3)=-3\)，即\(-3a=-3\)，解得\(a=1\)。展開解析式求\(b\)、\(c\)：\(y=(x+1)(x-3)=x?2-2x-3\)，所以\(b=-2\)，\(c=-3\)。方法總結(jié)：當已知二次函數(shù)圖象與x軸的交點時，可先確定方程的根，再利用交點式求出函數(shù)解析式，進而得到系數(shù)的值?；脽羝?：課堂練習（分層完成）基礎(chǔ)題：二次函數(shù)\(y=x?2-5x+6\)的圖象與x軸交點的坐標是______，對應(yīng)的一元二次方程\(x?2-5x+6=0\)的根是______。已知一元二次方程\(2x?2-4x+1=0\)，判別式\(\Delta=\)，該方程根的情況是，對應(yīng)的二次函數(shù)\(y=2x?2-4x+1\)的圖象與x軸交點的個數(shù)是______。提升題：若二次函數(shù)\(y=x?2-2x+k\)的圖象與x軸只有一個交點，求\(k\)的值及交點坐標。利用二次函數(shù)的圖象求方程\(x?2-3x+1=0\)的近似解（精確到\(0.1\)）。要求：學生獨立完成后，小組內(nèi)交流答案和解題思路，選取代表展示解題過程，教師進行點評和講解。幻燈片10：易錯點提醒常見錯誤：混淆二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標和縱坐標，錯誤地認為交點坐標就是方程的根。不能正確理解判別式與函數(shù)圖象和x軸交點個數(shù)的關(guān)系，導致根據(jù)方程根的情況判斷交點個數(shù)時出錯。在利用函數(shù)圖象求方程近似解時，估算不夠精確，誤差較大。已知函數(shù)圖象與x軸交點求解析式時，忘記設(shè)交點式，而是直接設(shè)一般式，增加計算難度。避坑技巧：明確方程的根是交點的橫坐標，而非交點坐標本身。牢記判別式、方程根的情況、函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)三者之間的對應(yīng)關(guān)系，可通過舉例加深理解。估算近似解時，多計算幾個鄰近點的函數(shù)值，找到函數(shù)值由正變負或由負變正的區(qū)間，再逐步縮小范圍。已知交點坐標時，優(yōu)先選擇交點式求解析式，簡化計算。幻燈片11：課堂小結(jié)核心收獲：二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)的圖象與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程\(ax?2+bx+c=0\)的實數(shù)根。三者對應(yīng)關(guān)系：\(\Delta>0\)?方程有兩個不相等實根?函數(shù)圖象與x軸有兩個交點；\(\Delta=0\)?方程有兩個相等實根?函數(shù)圖象與x軸有一個交點；\(\Delta<0\)?方程無實根?函數(shù)圖象與x軸無交點。可利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。方法提煉：解決二次函數(shù)與一元二次方程相關(guān)問題時，要善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，或?qū)⒎匠虇栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，充分利用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問題?；脽羝?2：作業(yè)布置必做題：教材PXX頁習題22.2第2、4、6題，要求結(jié)合函數(shù)圖象進行分析和解答。選做題：已知二次函數(shù)\(y=x?2+bx+c\)的圖象與x軸交于\((1,0)\)，且當\(x=2\)時，\(y=3\)，求該函數(shù)的解析式及對應(yīng)的一元二次方程的另一個根。拓展題：二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)的圖象經(jīng)過點\((0,1)\)，且當\(x=1\)時，\(y\)有最小值\(-1\)，求該函數(shù)的解析式，并判斷對應(yīng)的一元二次方程\(ax?2+bx+c=0\)根的情況。幻燈片13：結(jié)束頁寄語：函數(shù)與方程緊密相連，圖象是理解它們關(guān)系的橋梁。愿你能熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想，在函數(shù)與方程的世界中自由穿梭！致謝：感謝聆聽，下次課再見！2025-2026學年人教版數(shù)學九年級上冊授課教師：

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22.2二次函數(shù)與一元二次方程第22章

二次函數(shù)aiTujmiaNg1.知道拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點情況與一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的根的情況之間的關(guān)系.2.了解用圖象法求一元二次方程的近似根.思考：你如何看待等式2x-1=0?你能求出x的值嗎?等式2x-1=0方程角度一元一次方程2x-1=0的解函數(shù)觀點一次函數(shù)y=2x-1，當y=0時對應(yīng)的自變量x的值數(shù)2x=1一次函數(shù)y=2x與常數(shù)函數(shù)y=1，當函數(shù)值相等時，對應(yīng)的自變量x的值直線y=2x與直線y=1交點的橫坐標直線y=2x-1與x軸交點的橫坐標形方程角度一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解直線y=ax+b(a≠0)與x軸交點的橫坐標形函數(shù)觀點一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)，當y=0時對應(yīng)的自變量x的值數(shù)那么，二次函數(shù)與一元二次方程是否也有類似的關(guān)系呢？問題：如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t-5t2.考慮以下問題：（1）球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？Ohth=20t-5t2解：令h=15，則15=20t-5t2.解得t1=1，t2=3.當球飛行1s或3s時，它的高度為15m.你能結(jié)合圖指出為什么在兩個時間小球的高度為15m嗎？1513（2）球的飛行高度能否達到20m？如果能，需要多少飛行時間？Ohth=20t-5t2解：令h=20，則20=20t-5t2.解得t1=t2=2.當球飛行2s時，它的高度為20m.你能結(jié)合圖指出為什么只在一個時間小球的高度為20m嗎？202（3）球的飛行高度能否達到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？Ohth=20t-5t2解：令h=20.5，則20.5=20t-5t2.即t2-4t+4.1=0.∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴次方程無實數(shù)根.即小球的飛行高度不能達到20.5m.你能結(jié)合圖形指出為什么球不能達到20.5m的高度？20.5（4）小球從飛出到落地要用多少時間？Ohth=20t-5t2解：令h=0，則0=20t-5t2.解得t1=0，t2=4.當球飛行0s和4s時，它的高度為0m.即0s時球地面飛出，4s時球落回地面.從上面發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）何時為一元二次方程?為一個常數(shù)（定值）一般地，當y取定值且a≠0時，二次函數(shù)為一元二次方程.如：y=5時，則5=ax2+bx+c（a≠0）就是一個一元二次方程.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：y=ax2+bx+c一元二次方程y取定值且a≠0已知二次函數(shù)中因變量的值，求自變量的值求相應(yīng)的一元二次方程的根例：已知二次函數(shù)y=-x2+4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．反過來，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2-4x+3的值為0，求自變量x的值．思考：下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？當x取公共點的橫坐標時，函數(shù)值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.先畫出函數(shù)圖象：（1）y=x2+x-2；

（2）y=x2-6x+9；

（3）y=x2-x+1.無公共點公共點的函數(shù)值為

.00=x2-x+1.0=x2+x-20=x2-6x+9x1=-2，x2=1.二次函數(shù)圖象與x軸的公共點的橫坐標是多少？x1=x2=3.對應(yīng)一元二次方程的根是多少？有兩個不等的實根有兩個相等的實根方程無實數(shù)根由上述問題，你可以得到什么結(jié)論呢？方程角度一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解拋物線y=ax2+b+c(a≠0)與x軸交點的橫坐標形函數(shù)觀點二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，當y=0時對應(yīng)的自變量x的值數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有兩個交點有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac>0有一個交點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac=0沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac<0練一練(1)證明：∵m≠0，∴Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0，∴Δ≥0，因此拋物線與x軸總有兩個交點.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有交點；(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．練一練已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有交點；(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．(2)解：令y=0，則(x-1)(mx-2)=0，即x-1=0或mx-2=0，解得x1=1，x2=.當m為正整數(shù)1或2時，x2的值為整數(shù).又∵當m為2時，Δ=0，拋物線與x軸只有一個交點，∴正整數(shù)m的值為1.例利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實數(shù)根（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.解：畫出函數(shù)y=x2-2x-2的圖象，如圖所示.它與x軸的公共點的橫坐標大約是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的實數(shù)根為x1≈-0.7，x2≈2.7.我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根，由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的．練一練利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.解：畫出函數(shù)y=2x2+x-15的圖象，如圖所示.它與x軸的公共點的橫坐標大約是-3，2.5.所以方程2x2+x-15=0的實數(shù)根為x1≈-3，x2≈2.5.問題1：函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么方程ax2+bx+c=0的根是____________；x1=-1，x2=3不等式ax2+bx+c>0的解集是____________；x<-1或x>3不等式ax2+bx+c<0的解集是____________.-1<x<3問題2：如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切實數(shù)，那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有____個交點，坐標是__________.方程ax2+bx+c=0的根是______.問題3：如果方程ax2+bx+c=0(