第1頁/共1頁2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘分值：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.30 B.20 C.12 D.6【答案】B【解析】【分析】先由組合的運算公式計算出的值，再代入中，由排列公式即可得解.【詳解】因為，則，所以，解得（負值舍去），所以故選：B.2.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C.(0，3) D.【答案】C【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，最后令，解之即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為：，因為，令并且，得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，3).故本題正確答案為C.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.3.若的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則不可能取值（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，直接求出的取值，即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)偶數(shù)時，二項式系數(shù)最大項為第項，又由題知展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，所以，解得，當(dāng)為奇數(shù)時，二項式系數(shù)最大項為第項和第項，由題有或，得到或，故選：D.4.在某項志愿服務(wù)中，需從來自甲、乙兩個單位的10名志愿者（甲單位6名、乙單位4名）中選出4名志愿者組成志愿者服務(wù)小組，所選4名志愿者不全來自同一個單位的選法種數(shù)為（）A.156 B.180 C.194 D.672【答案】C【解析】【分析】利用組合公式得出所選4名志愿者來自同一單位的選法，再由求解即可.【詳解】所選4名志愿者來自同一單位的共有種選法，則所選4名志愿者不全來自同一個單位的選法種數(shù)為.故選：C5.已知在8個電子元件中，有2個次品，6個合格品，每次任取一個測試，測試完后不再放回，直到2個次品都找到為止，則經(jīng)過3次測試恰好將2個次品全部找出的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由互斥加法公式、獨立事件的概率公式與古典概型概率計算公式即可求解.【詳解】若經(jīng)過3次測試恰好將2個次品全部找出，則第一次抽一個合格品、第二次抽一個次品、第三次抽一個次品，或第一次抽一個次品、第二次抽一個合格品、第三次抽一個次品，則經(jīng)過3次測試恰好將2個次品全部找出的概率為.故選：A.6.在某地區(qū)進行流行病調(diào)查，隨機調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，發(fā)現(xiàn)該100名患者中有35名的年齡位于區(qū)間內(nèi).已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，年齡位于區(qū)間內(nèi)人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?現(xiàn)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間內(nèi)，則此人患該疾病的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)此人年齡位于區(qū)間為事件，此人患病為事件，分別求出,根據(jù)條件概率可得結(jié)果.【詳解】設(shè)此人年齡位于區(qū)間為事件，此人患病為事件.則所求概率為.故選：D.7.，，當(dāng)時，都有，則實數(shù)的最小值為（）A B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由題意分析可知：上單調(diào)遞減，求導(dǎo)，可得在上恒成立，結(jié)合恒成立問題分析求解.【詳解】因為，，當(dāng)時，都有，即，可得，令，，則恒成立，即在上單調(diào)遞減，且，可知在上恒成立，即在上恒成立，又因為在上單調(diào)遞減，所以最大值1，即實數(shù)的最小值為1.故選：D8.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：由，得，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又因，且，所以，即，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選錯得0分.9.下列命題正確的有（）A.若，則或B.若，則C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的階乘公式以及性質(zhì)依次判斷各個選項的正誤即可.【詳解】若，則或，故A對；，故B錯；，故C正確，，故D正確；故選:ACD10.已知隨機事件，的概率分別為，，且，，，則（）A.事件與事件相互對立 B.事件與事件相互獨立C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用對立事件的概率公式判斷A；利用條件概率公式與對立事件的概率公式求得，從而利用獨立事件的概率公式判斷B；利用事件的概率公式判斷C；利用條件概率公式判斷D.【詳解】對A，因為，不滿足，所以事件與事件不是相互對立事件，故A錯誤；對B，根據(jù)題意可得，由條件概率公式可得，，又，，所以，又易知，所以；即滿足，所以事件與事件相互獨立，故B正確；對C，易知，故C正確；對D，由條件概率公式可得，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)的圖象過點的切線方程為C.函數(shù)既存在極大值又存在極小值，且其極大值大于其極小值D.方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)值的定義及求過點處的切線方程的步驟，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟及將方程有兩個不等實根轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，再利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可知對于A，由得，故A正確；對于B，設(shè)切點為切線方程代入點，得，化簡整理得，令所以函數(shù)在的切線方程為，因為函數(shù)圖象連續(xù)不斷，所以存在使得，所以過點的直線與函數(shù)在之間存在切點，所以過點的切線不止一條，故B錯誤；對于C，的定義域為令即，解得或當(dāng)時，當(dāng)時，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.當(dāng)時，取得極大值為，當(dāng)時，取得極小值為，因為所以極大值小于極小值，故C錯誤；對于D，由C選項知，作出的圖象如圖所示要使方程有兩個不等實根，只需要與有兩個交點，由圖可知，所以實數(shù)的取值范圍為.故D正確.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是利用求過點處的切線方程的方法及零點的存在性定理判斷方程的根，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值及作出函數(shù)的大致圖象，將方程有兩個不等實根轉(zhuǎn)化為與有兩個交點即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若隨機變量的分布列為01230.1020.20.30.10.1則當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的分布列，求出即可求出的取值范圍.【詳解】由分布列知，，，而，所以.故答案為：13.已知的展開式中含的項的系數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】由，再寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【詳解】因為，其中展開式的通項為（且），所以的展開式中含的項的系數(shù)為.

故答案為：14.對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)，請你根據(jù)上面的探究結(jié)果，解答以下問題：①函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為______；②計算______.【答案】①.②.2023【解析】【分析】①先對函數(shù)求二階導(dǎo)，得到，根據(jù)題意求出拐點，即可得出結(jié)果；②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出結(jié)果.【詳解】①因為，所以，所以，由得，此時，由題意可得，即為函數(shù)的對稱中心；②由①知，函數(shù)關(guān)于中心對稱，所以，即，因此；記，則，所以.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是理解三次函數(shù)對稱中心與拐點的關(guān)系，從而得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.現(xiàn)有編號為，，的3個不同的紅球和編號為，的2個不同的白球.（1）若將這些小球排成一排，要求球排在正中間，且，不相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則有多少種不同的放法？（注：請列出解題過程，結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）16（2）150【解析】【分析】（1）由特殊元素優(yōu)先的原則，先排球，再排，兩球，其余小球任意排；（2）把5個小球分成3組，再進入3個盒子中.【小問1詳解】將這些小球排成一排，要求球排在正中間，且，不相鄰，則先把安在正中間位置，從的兩側(cè)各選一個位置插入、，其余小球任意排，方法有種.【小問2詳解】將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則先把5個小球分成3組，再進入3個盒子中.若按311分配，方法有種，若按221分配，方法有種.綜上可得，方法共有種.16.已知展開式的二項式系數(shù)和為512，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求被8整除的余數(shù).【答案】（1）672；（2）2；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二項式定理，由展開式的二項式系數(shù)和為512，可求出，再將代入中，變形可得，則為其展開式中的系數(shù)，由二項式定理可得答案；（2）由（1）的結(jié)論，用賦值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，從而可得答案；（3）根據(jù)題意，可得，由二項式定理展開式可得，進而由整除的性質(zhì)分析可得答案.【小問1詳解】因為展開式的二項式系數(shù)和為512，所以，解得，因為，所以；【小問2詳解】在中，令，則，令，可得，所以；【小問3詳解】所以被8整除的余數(shù)為.17.已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）是否存在實數(shù)，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無極大值；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，求得，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、遞減區(qū)間以及極值；（2）求得，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的最小值為可求得實數(shù)的值.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的極小值為，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無極大值；（2）假設(shè)存在實數(shù)，使，的最小值是，，.①當(dāng)時，因為，所以，在上單調(diào)遞減，所以，解得（舍去）；②當(dāng)時，即時，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，解得，滿足條件；③當(dāng)時，即時，對任意的，，在上單調(diào)遞減，所以，解得（舍去）.綜上，存在實數(shù)，使得當(dāng)時，的最小值為.【點睛】易錯點點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題時，已知極值點求出參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義，防止漏掉驗證導(dǎo)致錯誤，討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即的正負；求函數(shù)的最大（?。┲禃r，要將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值進行比較，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，防止錯解.18.第24屆冬季奧林匹克運動會（TheXXIVOlympicWinterGames），即2022年北京冬季奧運會，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運會設(shè)7個大項，15個分項，109個小項．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項目；張家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項目．某運動隊擬派出甲、乙、丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進入決賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和，其中．（1）甲、乙、丙三人中，誰進入決賽的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，求p的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)進入決賽的人數(shù)為，求的分布列．【答案】（1）甲進入決賽可能性最大（2）（3）分布列見解析【解析】【分析】（1）分別求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪均獲勝的概率，然后比較即可；（2）利用相互獨立事件的概率的求法分別求出甲和乙進入決賽的概率、乙和丙進入決賽的概率、甲和丙進入決賽的概率，即可通過甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，列方程求解；（3）先確定進入決賽的人數(shù)為的取值，依次求出每一個值所對應(yīng)的概率，列表即可.【小問1詳解】甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：∵，∴，∴∴甲進入決賽可能性最大．【小問2詳解】整理得，解得或，又∵，∴；【小問3詳解】由（2）得，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：，進入決賽的人數(shù)為可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為0123P19.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求值；（2）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)（）是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）由題意可得切點為，代入中可求出的值；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再利用零點存在性定理可求出零點的范圍，從而可求出的值；（3）對函數(shù)求導(dǎo)后，由題意可得方程有兩個不相等的正實根，則，，再結(jié)合可得，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可求出的取值范圍，從而可求出的最大值【小問1詳解】因為曲線在處的切線方程為，所以切點為，所以，得【小問2詳解】由（1）得，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，上遞增，所以當(dāng)時，取得極