人教新版

八上

數(shù)學(xué)同步課件

2025年秋人教新版八上數(shù)學(xué)情境課堂教學(xué)課件第十三章

三角形13.3三角形的內(nèi)角與外角13.3.2三角形的外角主題情境·足球傳給誰(shuí)足球場(chǎng)上，一支足球隊(duì)正在進(jìn)行緊張的賽前訓(xùn)練，足球員在E處受到阻擋需要傳球，請(qǐng)幫助作出選擇，應(yīng)傳給在C處的球員還是D處的球員，其射門不易射偏？

ABCDE傳球應(yīng)該傳給C還是D更容易射門呢？射門角度越大射進(jìn)去的可能性越大！將球員站位和足球門抽象成幾何圖形：ABCDE

只要知道C和D誰(shuí)到球門的角度更大，就知道該傳給誰(shuí).問(wèn)題1∠C是△ACD的內(nèi)角，那么∠BDA是△ACD的什么角？ABCD把△ACD的一邊CD延長(zhǎng)，得到∠BDA.像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫作三角形的外角.思考1(1)延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，除了∠BDA，你還能找出△ACD其他的外角嗎？ABCDF∠CDF是△ACD的一個(gè)外角.思考1(2)畫出△ACD中的所有外角，數(shù)一數(shù)△ACD共有多少個(gè)外角？BCDFA①△ACD有6個(gè)外角；②每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對(duì)頂角.

想要知道球傳給誰(shuí)，就要知道外角∠BDA和內(nèi)角∠C的大小關(guān)系.問(wèn)題2填空：(1)∠BDA+∠ADC=________()(2)在△ACD中，∠A+∠ADC+∠C=________.

鄰補(bǔ)角互補(bǔ)180°180°問(wèn)題3觀察上面兩個(gè)式子，你能得到∠BDA和∠C的大小關(guān)系嗎？∵∠BDA+∠ADC=180°，∴∠BDA=180°-∠ADC =180°-(180°-∠A-∠C)=∠A+∠C

∴∠BDA＞∠C.

足球應(yīng)該傳給在D處的球員.思考2通過(guò)上述證明過(guò)程，你還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？∵∠BDA+∠ADC=180°，∴∠BDA=180°-∠ADC=180°-(180°-∠A-∠C)=∠A+∠C

，∴∠BDA＞∠C.①∠BDA=∠C+∠A；②三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.探究

任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角是否都有這種關(guān)系？已知:∠ACD

是△ABC

的一個(gè)外角，求證:∠ACD=∠A+∠B.解法一：證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB+∠ACD=180°∴∠ACD=180°-∠ACB =180-(180°-∠A-∠B) =∠A+∠B.DCBA已知:∠ACD

是△ABC

的一個(gè)外角，求證:∠ACD=∠A+∠B.解法二：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C

作直線l，使l//AB.∵

l//AB，∴∠1=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠2=∠5(兩直線平行，同位角相等).∵∠ACD=∠4+∠5.∴∠ACD=

∠1+∠2.即∠ACD=

∠A+∠B.lACB12345D歸納總結(jié)一般地，由三角形的內(nèi)角和定理可以推出下面的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.推論是由定理直接推出的結(jié)論.和定理一樣，推論可以作為進(jìn)一步推理的依據(jù).問(wèn)題4如圖，順次延長(zhǎng)△ABC的三邊，求∠FAC，∠DBA，∠ECB是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠FAC=∠2+∠3，∠DBA=∠1+∠3，∠ECB=∠1+∠2.又∠1+∠2+∠3=180°，所以∠FAC+

∠DBA+

∠ECB=2(∠1+∠2+∠3)=360°.

你還能給出其它的解法嗎？解法二：由∠1+∠FAC=180°，

∠2+∠ABD=180°，

∠3+∠ECB

=180°，得∠1

+∠2+∠3+∠FAC+∠ABD+∠ECB

=540°，由∠1

+∠2+∠3=180°，得∠FAC

+∠ABD

+∠ECB=540°-180°=360°.問(wèn)題4如圖，順次延長(zhǎng)△ABC的三邊，求∠FAC，∠DBA，∠ECB是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？問(wèn)題4如圖，順次延長(zhǎng)△ABC的三邊，求∠FAC，∠DBA，∠ECB是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解法三：過(guò)點(diǎn)A作AH∥BC.∵AH∥BC，∴∠FAH=∠2，∠HAC=∠3，又∵∠2+∠ABD=180°，∠3+∠BCE=180°，∴∠FAH+∠ABD=180°，∠HAC

+∠BCE=180°，∴∠FAH+∠ABD

+∠HAC

+∠BCE=∠FAC+∠ABD

+

∠BCE=360°.H歸納總結(jié)三角形的外角和定理：在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，三個(gè)不同頂點(diǎn)處的外角的和叫作三角形的外角和.三角形的外角和為360°.溫馨提示：三角形的外角和是指從與每個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中分別取一個(gè)相加得到的和，而不是三角形的六個(gè)外角之和.例

如圖，在△ABC中，若外角∠CBE與外角∠BCF的平分線交于點(diǎn)P，∠P=50°，求∠A的度數(shù).解：∵BP平分∠CBE(已知)，∴∠CBP=

∠CBE=(∠A+∠ACB)(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)，同理可得：∠BCP=(∠A+∠ABC).∵∠P+∠CBP+∠BCP=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)，ABCPEF∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP(等式的性質(zhì))=180°-(∠A+∠ACB)-(∠A+∠ABC)=180°-(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-(∠A+180°)=90°-

∠A，又∵∠P=50°(已知)，∴∠A=80°.ABCPEF變式

如圖，在△ABC中，∠ABC

的平分線BP與外角∠ACD的平分線CP相交于點(diǎn)P，試找出∠P與∠A之間的關(guān)系.解：∵∠ACD是△ABC的外角(已知)，∠PCD是△PBC的外角(已知)，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC(三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)，∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠P=∠PCD-∠PBC(等式的性質(zhì))，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD(已知)，∴∠PBC=

∠ABC，∠PCD=

∠ACD，∴∠P=

∠ACD-

∠ABC=

(∠ACD-∠ABC)=∠A(等量代換).ABCDP(1)如圖，在△ABC中，外角∠CBE與外角∠BCF的平分線交于點(diǎn)P，那么∠P=90°-

∠A；(2)如圖，在△ABC中，∠ABC

的平分線BP與外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，∠P=

∠A.歸納總結(jié)1.(2024廣東)如圖，一把直尺、兩個(gè)含30°的三角尺拼接在一起，則∠ACE的度數(shù)為(

)A.120°B.90°C.60°

D.30°C2.如圖，∠α的度數(shù)為(

)A.30°B.40°C.50°

D.60°B3.如圖，∠1＝120°，∠2＝130°，則∠3的度數(shù)為(

)AA.110°B.120°C.140°

D.260°4.(真實(shí)問(wèn)題情境)如圖①是某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖，如圖②是它的示意圖，行李箱的側(cè)面可看成一個(gè)矩形，點(diǎn)F，C，D在同一直線上，為了拉箱時(shí)的舒適度，現(xiàn)將∠ABD調(diào)整為75°，∠D保持不變，則圖中∠ECF應(yīng)________(填“增加”或“減少”)________°.增加205.(解題方法型閱讀理解題)已知AB和AC相交于點(diǎn)A，BD和CD相交于點(diǎn)D，探究∠BDC與∠B，∠C，∠BAC之間的關(guān)系．

小明的思路

小穎的思路

解：如圖①，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作射線AD，…

解：如圖②，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，…(1)請(qǐng)選擇其中一種思路求出∠BDC與∠B，∠C，∠BAC之間的關(guān)系；(1)請(qǐng)選擇其中一種思路求出∠BDC與∠B，∠C，∠BAC之間的關(guān)系；

小明的思路

解：如圖①，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作射線AD，…

解：按小明的思路：以點(diǎn)A為端點(diǎn)作射線AD，∵∠1是△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠BAD，同理∠2＝∠C＋∠CAD，∴∠1＋∠2＝∠B＋∠BAD＋∠C＋∠CAD，即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.(1)請(qǐng)選擇其中一種思路求出∠BDC與∠B，∠C，∠BAC之間的關(guān)系；按小穎的思路：延長(zhǎng)

BD

交

AC

于點(diǎn)

E

，∵∠

BDC

是△

EDC

的外角，∴∠

BDC

＝∠

C

＋∠

CED

，∵∠

CED

是△

ABE

的外角，∴∠

CED

＝∠

BAC

＋∠

B

，∴∠

BDC

＝∠

C

＋∠

BAC

＋∠

B.

(答案不唯一，選擇一種即可)

小穎的思路

解：如圖②，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，…

(2)如圖③，∠ABD