函數(shù)奇偶性教學(xué)課件第一章：函數(shù)奇偶性的基本概念函數(shù)奇偶性是函數(shù)的一種重要性質(zhì)，它反映了函數(shù)在自變量取正值和負(fù)值時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性，我們可以更深入地理解函數(shù)的本質(zhì)特征，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。什么是函數(shù)的奇偶性？奇函數(shù)定義對(duì)于定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意x∈定義域，都有：f(-x)=-f(x)則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)定義對(duì)于定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意x∈定義域，都有：f(-x)=f(x)則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。函數(shù)奇偶性的幾何意義偶函數(shù)的幾何特征偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。這意味著如果點(diǎn)(x,y)在函數(shù)圖像上，那么點(diǎn)(-x,y)也在函數(shù)圖像上。奇函數(shù)的幾何特征奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。這意味著如果點(diǎn)(x,y)在函數(shù)圖像上，那么點(diǎn)(-x,-y)也在函數(shù)圖像上。課堂互動(dòng)：判斷下列函數(shù)的奇偶性1f(x)=x2代入-x得：f(-x)=(-x)2=x2因?yàn)閒(-x)=f(x)，所以f(x)=x2是偶函數(shù)2f(x)=x3代入-x得：f(-x)=(-x)3=-x3因?yàn)閒(-x)=-f(x)，所以f(x)=x3是奇函數(shù)3f(x)=x+1代入-x得：f(-x)=-x+1而f(x)=x+1章節(jié)小結(jié)核心知識(shí)點(diǎn)奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱判斷奇偶性的前提：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱下一步學(xué)習(xí)第二章：奇偶函數(shù)的判定方法在掌握了函數(shù)奇偶性的基本概念后，我們需要學(xué)習(xí)如何有效地判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性。本章將介紹三種常用的判定方法：代入法、圖像觀察法和表達(dá)式分析法。方法一：代入法驗(yàn)證代入法步驟將函數(shù)表達(dá)式中的x替換為-x，得到f(-x)化簡f(-x)的表達(dá)式比較f(-x)與f(x)的關(guān)系：若f(-x)=f(x)，則為偶函數(shù)若f(-x)=-f(x)，則為奇函數(shù)若都不滿足，則既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)例題分析判斷函數(shù)f(x)=x?-3x2+2的奇偶性計(jì)算f(-x)：f(-x)=(-x)?-3(-x)2+2=x?-3x2+2=f(x)方法二：圖像觀察法奇函數(shù)圖像特征奇函數(shù)y=sinx的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果將圖像沿原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，圖像形狀保持不變。偶函數(shù)圖像特征偶函數(shù)y=cosx的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。如果將圖像沿y軸翻折，圖像形狀保持不變。方法三：利用函數(shù)表達(dá)式的性質(zhì)多項(xiàng)式函數(shù)奇偶性判定規(guī)則若多項(xiàng)式函數(shù)只含偶次冪項(xiàng)，則為偶函數(shù)若多項(xiàng)式函數(shù)只含奇次冪項(xiàng)，則為奇函數(shù)若多項(xiàng)式函數(shù)同時(shí)含有奇次冪和偶次冪項(xiàng)，則既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)例題：判斷f(x)=x?-x3+x的奇偶性分析：函數(shù)中只包含x的奇次冪項(xiàng)（x?、x3、x）根據(jù)多項(xiàng)式函數(shù)奇偶性判定規(guī)則，僅含奇次冪的多項(xiàng)式函數(shù)為奇函數(shù)驗(yàn)證：f(-x)=(-x)?-(-x)3+(-x)=-x?+x3-x=-(x?-x3+x)=-f(x)課堂練習(xí)：判定以下函數(shù)奇偶性f(x)=|x|計(jì)算f(-x)=|-x|=|x|=f(x)因?yàn)閒(-x)=f(x)，所以f(x)=|x|是偶函數(shù)f(x)=x/(1+x2)計(jì)算f(-x)=(-x)/(1+(-x)2)=-x/(1+x2)=-f(x)因?yàn)閒(-x)=-f(x)，所以f(x)=x/(1+x2)是奇函數(shù)f(x)=e^x計(jì)算f(-x)=e^(-x)而f(x)=e^x章節(jié)小結(jié)代入法將-x代入函數(shù)表達(dá)式，比較f(-x)與f(x)的關(guān)系，是最基礎(chǔ)也是最可靠的判定方法。圖像觀察法通過觀察函數(shù)圖像的對(duì)稱性，直觀判斷函數(shù)的奇偶性，適合復(fù)雜函數(shù)的判斷。表達(dá)式分析法根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)快速判斷，特別適用于多項(xiàng)式、三角函數(shù)等常見函數(shù)類型。第三章：奇偶函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算在掌握了函數(shù)奇偶性的基本概念和判定方法后，我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)奇偶函數(shù)在運(yùn)算中的性質(zhì)規(guī)律。了解這些性質(zhì)不僅有助于我們更深入理解函數(shù)奇偶性，還能幫助我們簡化復(fù)雜函數(shù)的奇偶性判斷。性質(zhì)一：奇偶函數(shù)的加減法偶函數(shù)加偶函數(shù)若f(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則：h(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù)證明：h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x)奇函數(shù)加奇函數(shù)若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則：h(x)=f(x)+g(x)是奇函數(shù)證明：h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-h(x)奇函數(shù)與偶函數(shù)相加若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則：h(x)=f(x)+g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)性質(zhì)二：奇偶函數(shù)的乘法偶函數(shù)乘偶函數(shù)若f(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則：h(x)=f(x)·g(x)是偶函數(shù)證明：h(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x)=h(x)奇函數(shù)乘奇函數(shù)若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則：h(x)=f(x)·g(x)是偶函數(shù)證明：h(-x)=f(-x)·g(-x)=(-f(x))·(-g(x))=f(x)·g(x)=h(x)奇函數(shù)乘偶函數(shù)若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則：h(x)=f(x)·g(x)是奇函數(shù)證明：h(-x)=f(-x)·g(-x)=(-f(x))·g(x)性質(zhì)三：奇偶函數(shù)的復(fù)合與商復(fù)合函數(shù)奇偶性設(shè)f(x)和g(x)為兩個(gè)函數(shù)，h(x)=f(g(x))為它們的復(fù)合函數(shù)，則：若f(x)為偶函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)若f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則h(x)為奇函數(shù)若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則h(x)為奇函數(shù)商函數(shù)奇偶性設(shè)f(x)和g(x)為兩個(gè)函數(shù)，h(x)=f(x)/g(x)為它們的商函數(shù)，則：若f(x)為偶函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)若f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則h(x)為奇函數(shù)若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則h(x)為奇函數(shù)例題演示：計(jì)算并判斷函數(shù)的和與積的奇偶性例題：判斷f(x)=x2和g(x)=x3的和與積的奇偶性已知：f(x)=x2是偶函數(shù)，g(x)=x3是奇函數(shù)和函數(shù)：h?(x)=f(x)+g(x)=x2+x3由奇偶函數(shù)的加法性質(zhì)可知，偶函數(shù)與奇函數(shù)的和既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。驗(yàn)證：h?(-x)=(-x)2+(-x)3=x2-x3而h?(x)=x2+x3因此h?(-x)≠h?(x)且h?(-x)≠-h?(x)結(jié)論：h?(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)積函數(shù)：h?(x)=f(x)·g(x)=x2·x3=x?由奇偶函數(shù)的乘法性質(zhì)可知，偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù)。驗(yàn)證：h?(-x)=(-x)2·(-x)3=x2·(-x3)=-x?而h?(x)=x?因此h?(-x)=-h?(x)課堂互動(dòng)：設(shè)計(jì)函數(shù)表達(dá)式，判斷其奇偶性1設(shè)計(jì)一個(gè)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式思考：函數(shù)f(x)同時(shí)滿足f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)意味著什么？解答：f(x)=f(-x)=-f(x)，得到f(x)=-f(x)，即f(x)=0結(jié)論：只有f(x)=0這個(gè)零函數(shù)同時(shí)滿足奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義2設(shè)計(jì)一個(gè)由基本初等函數(shù)構(gòu)成的奇函數(shù)可以選擇奇函數(shù)的基本組合方式：單個(gè)奇函數(shù)：f(x)=sinx兩個(gè)奇函數(shù)的和：f(x)=x3+x奇函數(shù)與偶函數(shù)的積：f(x)=x·cosx驗(yàn)證：以f(x)=x·cosx為例f(-x)=(-x)·cos(-x)=(-x)·cos(x)=-(x·cosx)=-f(x)章節(jié)小結(jié)加減法偶+偶=偶奇+奇=奇奇+偶=非奇非偶乘法偶×偶=偶奇×奇=偶奇×偶=奇復(fù)合與商復(fù)合遵循特定規(guī)則商函數(shù)奇偶性取決于分子分母第四章：典型函數(shù)奇偶性分析在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到一些典型函數(shù)，如多項(xiàng)式函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等。了解這些常見函數(shù)的奇偶性特征，能夠幫助我們更好地理解和應(yīng)用這些函數(shù)。多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性只含偶次冪項(xiàng)的多項(xiàng)式函數(shù)形如f(x)=a?+a?x2+a?x?+...+a??x^(2n)這類函數(shù)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱例如：f(x)=3+2x2-x?只含奇次冪項(xiàng)的多項(xiàng)式函數(shù)形如f(x)=a?x+a?x3+a?x?+...+a????x^(2n+1)這類函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱例如：f(x)=x-2x3+x?混合項(xiàng)多項(xiàng)式函數(shù)同時(shí)包含奇次冪和偶次冪項(xiàng)的多項(xiàng)式函數(shù)這類函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)三角函數(shù)的奇偶性基本三角函數(shù)的奇偶性sinx是奇函數(shù)：sin(-x)=-sinxcosx是偶函數(shù)：cos(-x)=cosxtanx是奇函數(shù)：tan(-x)=-tanxcotx是奇函數(shù)：cot(-x)=-cotxsecx是偶函數(shù)：sec(-x)=secxcscx是奇函數(shù)：csc(-x)=-cscx這些奇偶性可以通過三角恒等式進(jìn)行驗(yàn)證，也可以從圖像上直觀觀察。復(fù)合三角函數(shù)的奇偶性對(duì)于復(fù)合三角函數(shù)，可以應(yīng)用奇偶函數(shù)運(yùn)算規(guī)則判斷：sin2x是偶函數(shù)（奇函數(shù)的平方）cos2x是偶函數(shù)（偶函數(shù)的平方）sinx·cosx是奇函數(shù)（奇函數(shù)乘偶函數(shù)）指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性指數(shù)函數(shù)基本指數(shù)函數(shù)f(x)=a?（a>0且a≠1）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)驗(yàn)證：f(-x)=a??=1/(a?)≠±a?特殊情況：f(x)=e^x+e^(-x)是偶函數(shù)驗(yàn)證：f(-x)=e^(-x)+e^x=f(x)對(duì)數(shù)函數(shù)基本對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)（a>0且a≠1）定義域?yàn)?0,+∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因此無法討論其奇偶性擴(kuò)展函數(shù)：f(x)=log_a|x|的定義域?yàn)镽\{0}，仍不滿足奇偶性判斷條件雙曲函數(shù)雙曲正弦：sinhx=(e^x-e^(-x))/2是奇函數(shù)雙曲余弦：coshx=(e^x+e^(-x))/2是偶函數(shù)課堂練習(xí)：判斷以下函數(shù)的奇偶性1f(x)=x?-x?+x2分析：函數(shù)中只包含x的偶次冪項(xiàng)（x?、x?、x2）根據(jù)多項(xiàng)式函數(shù)奇偶性判定規(guī)則，僅含偶次冪的多項(xiàng)式函數(shù)為偶函數(shù)驗(yàn)證：f(-x)=(-x)?-(-x)?+(-x)2=x?-x?+x2=f(x)結(jié)論：f(x)為偶函數(shù)2f(x)=sinx+cosx分析：sinx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)根據(jù)奇偶函數(shù)的加法性質(zhì)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的和既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)驗(yàn)證：f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=-sinx+cosx而f(x)=sinx+cosx因此f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)結(jié)論：f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3f(x)=e^x+e^(-x)分析：需要通過代入法驗(yàn)證計(jì)算f(-x)=e^(-x)+e^(-(-x))=e^(-x)+e^x而f(x)=e^x+e^(-x)因此f(-x)=f(x)章節(jié)小結(jié)100%偶函數(shù)只含偶次冪的多項(xiàng)式cosx,secx|x|,x2e^x+e^(-x),coshx100%奇函數(shù)只含奇次冪的多項(xiàng)式sinx,tanx,cotx,cscxx3,x/(1+x2)e^x-e^(-x),sinhx100%非奇非偶含混合次冪的多項(xiàng)式sinx+cosxe^x,logxx+1,x2+x第五章：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用與拓展函數(shù)的奇偶性不僅是函數(shù)的一種性質(zhì)，更是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具。通過利用函數(shù)的奇偶性，我們可以簡化計(jì)算、預(yù)測(cè)函數(shù)行為、分析函數(shù)圖像等。奇偶性在函數(shù)圖像繪制中的應(yīng)用減少繪圖工作量對(duì)于奇函數(shù)和偶函數(shù)，我們只需繪制一半圖像（x≥0的部分），然后根據(jù)對(duì)稱性補(bǔ)全另一半圖像即可。偶函數(shù)：沿y軸對(duì)稱復(fù)制奇函數(shù)：沿原點(diǎn)中心對(duì)稱復(fù)制這種方法不僅可以減少工作量，還能提高繪圖的準(zhǔn)確性。例題演示：繪制y=x3-x的圖像分析：函數(shù)f(x)=x3-x