9/9《相似形》要點回顧與考點透視告訴你一個事實：給我一塊巴掌大的玉石，我能在上面雕刻出古典名著《紅樓夢》，也許你會覺得太離譜了，也許你會瞠目結(jié)舌：那樣的話所寫的字該有多小啊？這太難了！但我可以借助于放大鏡.其實在放大鏡下的玉石和實際的玉石只是大小不同，然而形狀卻完全相同.你看這是多么神奇啊！為了能弄清問題的本質(zhì)，讓我和同學(xué)們一起走進相似的圖形世界吧.希望同學(xué)們能感興趣.一、知識網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的兩個多邊形是相似多邊形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的兩個多邊形是相似多邊形相似三角形的識別方法和性質(zhì)線段的比相似圖形相似三角形相似圖形知識的應(yīng)用圖形的放大與縮小黃金分割比例的基本性質(zhì)二、要點回顧1.在同一單位下，兩條線段的長度的比叫做這兩條線段的比，求線段的比時，兩條線段的長度單位一定要統(tǒng)一，不過在同一單位下的線段長度的比與選用的單位又無關(guān).在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.就是說在四條線段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么，這四條線段叫做成比例線段或簡稱比例線段.2.式子＝，或a∶b＝c∶d叫做比例式.即比例式是由兩個比值相等的比用等號連接而成的，并且在比例式＝，或a∶b＝c∶d中，a、b、c、d稱為比例的項.其中，a、d叫做比例外項；b、c叫做比例內(nèi)項；d叫做第四比例項.特別地，若比例中兩個比例內(nèi)項相等時，我們把這一項叫做另外兩項的比例中項。即若a∶b＝c∶d，則b叫做a、c的比例中項.比例的基本性質(zhì)是：如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc.比例的基本性質(zhì)反過來也成立，即：如果ad＝bc，那么a∶b＝c∶d(ad≠0)；特別地，如果a∶b＝b∶c，那么b2＝ac；反過來也有如果b2＝ac，那么a∶b＝b∶c(bc≠0).3.把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.此時還有，即AC∶AB≈0.618∶1.黃金分割在自然、社會、生活等多方面有著重要的應(yīng)用，同學(xué)們在復(fù)習(xí)時應(yīng)注意理解.4.對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.其中對應(yīng)邊的比叫做相似比.相似比應(yīng)講究一個順序性.5.識別兩個三角形相似常有以下幾種方法：①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似；②如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；③如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且這兩條邊的夾角也對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；④如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似；⑤平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）截得的三角形與原三角形相似.特別地對于直角三角形相似，除了運用一般地三角形相似的判定方法外，還有其特殊的判定方法，即：①如果一個直角三角形的一個銳角與另一個直角三角形的一個銳角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形相似；②如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似；③直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原直角三角形相似.6.相似三角形有以下幾個重要性質(zhì)：①相似三角形的對角相等，對應(yīng)邊成比例；②相似三角形對應(yīng)線段的比等于它們的相似比，即相似三角形對應(yīng)邊的比、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)高、對應(yīng)周長的比都等于相似比；③相似三角形的對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.7.利用相似三角形的有關(guān)知識可以測量一些建筑物的高度.如測量旗桿的高度：方法1：利用太陽光的影子.即如圖1，讓一名同學(xué)站立于旗桿的影子的末端D處，測出旗桿影長BD，再測出這名同學(xué)的高度C和影長在BD，由于此時△ABD∽△CDE，即可求出旗桿高AB.圖3DC圖3DCMAB圖2DCEABEC圖1ABD方法2：利用標桿.即如圖2，選一名同學(xué)作為觀測者，在觀測者與旗桿之間的地面上直立一根高度適當?shù)臉藯U，當旗桿的頂部、標桿的頂端與人的眼睛恰好在一條直線上時，分別測出觀測者的腳到標桿底部的距離DE和到旗桿底部的距離BE，再測出標桿的高CD，利用相似三角形的知識即可求出旗桿的高AB.方法3：利用鏡子的反射.即如圖3，選一名同學(xué)作為觀測者，在觀測者與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標記，當觀測者看到旗桿的頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合時，測出觀測者的腳到鏡子的距離DM和旗桿底部到鏡子的距離BM，再測出觀測者的高CD，由于∠AMB=∠CMD，易得△AMB∽△CMD，即可求出旗桿高AB.8.相似多邊形的周長比等于它們的相似比，相似多邊形的面積比等于它們的相似比的平方，相似多邊形對應(yīng)對角線的比也等于它們的相似比.9.兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，像這樣的相似圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.利用位似的方法，可以把一個多邊形放大或縮小，在作位似變換時，可以把位似中心取在多邊形的外部、內(nèi)部、多邊形的邊或頂點上.三、方法導(dǎo)引1.比例的基本性質(zhì)是比例式變形、求值、證明的重要依據(jù)．在比例式變形、求值、證明中，引人參數(shù)k的方法能化繁為簡、化難為易.2.靈活運用相似三角形的判定條件解決有關(guān)問題，關(guān)鍵是確定相似三角形，通常按下列思路分析：①若已有一組角相等，可再找另一組角相等；或者再找這組角的兩邊對應(yīng)成比例.②若已有兩組邊對應(yīng)成比例，可再找夾角相等；或者再找第三組邊也對應(yīng)成比例.難點在于找準對應(yīng)關(guān)系.一般地圖形中的對頂角、公共角、同角（等角）的余角（或補角）相等或者已知相等的兩個角，可能是對應(yīng)角.最大的邊（角）的對角（邊）可能是對應(yīng)角（邊），最小的邊（角）的對角（邊）可能是對應(yīng)角（邊），余下的第三對邊（角）的對角（邊）可能是對應(yīng)角（邊）.3.由待求的比例式可按如下步驟分析：“橫找三角形，豎找對應(yīng)邊，再找對應(yīng)角”.或也可按“豎找三角形，橫找對應(yīng)邊，再找對應(yīng)角”的方法分析，找出待證的相似三角形.在應(yīng)用上述方法無法解決時，可利用中間量（中間線段、中間比、中間積等）進行代換，轉(zhuǎn)化為容易解決的問題.四、考點解析所選例題均出版2009年全國部分省市中考試卷.考點1線段成比例例1（上海市)如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）A.＝ B.＝ C.＝ D.＝分析由平行線分線段成比例的意義逐一對照即求.解因為AB∥CD∥EF，所以＝.故應(yīng)選A.說明由平行線寫出的成比例線段時，一定要對照圖形，按照一定的順序進行，切不可以隨便亂寫一通，從而造成錯誤.考點2黃金分割例2美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感.如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）A.4cm B.6cm C.8cm D.分析若設(shè)出穿的高跟鞋的高度為acm，由條件可先求出x的值，進而利用黃金分割的意義列式求解.解若設(shè)出穿的高跟鞋的高度為acm，因為某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，所以＝0.60，解得x＝0.60×165.又由黃金分割的意義，得＝0.618，即＝0.618，解得a≈8.故應(yīng)選C.說明求解本題時除了要能靈活運用黃金分割的概念外，還必須弄清楚各個量的意義，不能弄錯.考點3相似三角形的性質(zhì)例3已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，則AB∶A′B′＝______.分析已知兩個三角形相似，且知道面積之比，要求對應(yīng)邊的比，于是可利用相似三角形的性質(zhì)使線段之比轉(zhuǎn)化成面積比即可求解.解因為△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，所以＝＝，即＝，所以AB∶A′B′＝1∶.說明本題是逆用相似三角形的性質(zhì)求解.考點4相似三角形的判定例4如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4分析利用相似三角形的判定，結(jié)合圖形特征求解.解由相似三角形的條件，并由圖形特征可知①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；④AC2＝AD·AB；都能單獨判定△ABC∽△ACD.故應(yīng)選C.說明求解此類問題一定要注意從圖形中及時發(fā)現(xiàn)隱含條件.如，本題中的∠A是兩個三角形的公共角.考點5相似三角形的實際應(yīng)用例5小明想利用太陽光測量樓高，他帶著皮尺來到一棟樓下，發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設(shè)計了一種測量方案，具體測量情況如下：如示意圖，小明邊移動邊觀察，發(fā)現(xiàn)站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同.此時，測得小明落在墻上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（點A、E、C在同一直線上）.已知小明的身高EF是1.7m，請你幫小明求出樓高AB（結(jié)果精確到0.1m）.分析要求樓高AB，由太陽光所成影子的特點，可通過輔助線構(gòu)造出三角形，加上人和大樓都垂直于地面，可得到相關(guān)的三角形相似，從而列式求解.解過點D作DG⊥AB，分別交AB、EF于點G、H，則EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，F(xiàn)H＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5.因為EF∥AB，所以△DHF∽△DGB，所以＝，即＝，解之，得BG＝18.75.所以AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0.答：樓高AB約為20.0米.說明本題是利用相似三角形的知識解決生活中的高度測量問題，求解時應(yīng)通過適當?shù)妮o助線將問題及時轉(zhuǎn)化，從而運用相似三角形的性質(zhì)列式求解.考點6相似多邊形例6如圖，在長為8cm、寬為4cm的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下矩形的面積是（）A.2cm2B.4cm2C.8cm2D分析依題意，原矩形的面積等于8×4＝32（cm2），留下的矩形長剛好是原矩形的寬，即兩個矩形的相似比等于4∶8，此時，要求陰影部分的面積，利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方求得.解設(shè)圖中陰影部分的面積為xcm2，因為兩個矩形相似，所以＝，解得x＝8.故應(yīng)選C.說明研究相似多邊形時，應(yīng)注意哪是對應(yīng)邊，哪是對應(yīng)角，否則就容易出現(xiàn)錯誤.考點7圖形的位似例7如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2∶3，已知AB＝4，則DE的長為_______.分析利用位似圖形對應(yīng)邊的比等于位似比列式求解.解因為△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2∶3，所以AB∶DE＝2∶3，而AB＝4，所以4∶DE＝2∶3，解得DE＝6.說明本題考查位似圖形，解題時，可通過觀察圖形結(jié)合所給數(shù)據(jù)和位似比直接計算結(jié)果.考點8動點與圖形的相似例8已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上，且滿足（如圖1所示）.（1）當AD＝2，且點Q與點B重合時（如圖2所示），求線段PC的長；（2）在圖1中，聯(lián)結(jié)AP.當AD＝，且點Q在線段AB上時，設(shè)點B、Q之間的距離為x，＝y(tǒng)，其中S△APQ表示△APQ的面積，S△PBC表示△PBC的面積，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；（3）當AD＜AB，且點Q在線段AB的延長線上時（如圖3所示），求∠QPC的大小.AADPCBQ圖1DAPCB（Q））圖2圖3CADPBQFFEEE分析（1）由題意，結(jié)合圖形容易知道∠D＝45°，進而求解.（2）從＝y(tǒng)出發(fā)，可引進參數(shù)，將這兩個三角形的面積都用k來表示，從而求解.（3）易得Rt△ABD∽Rt△EPB，進而得到Rt△PQF∽Rt△PCE，于是可得∠QPC＝90°.解（1）如圖2，因為Rt△ABD中，AB＝2，AD＝2，所以＝＝1，∠D＝45°，所以PQ＝PC，即PB＝PC，過點P作PE⊥BC，則BE＝BC＝.而∠PBC＝∠D＝45°，所以PC＝PB＝.（2）在圖1中，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥AB于點F.因為∠A＝∠PEB＝90°，∠D＝∠PBE，所以Rt△ABD∽Rt△EPB，所以＝＝÷2＝.設(shè)EB＝3k，則EP＝4k，PF＝EB