馬鞍山市2024～2025學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)和班級(jí)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【詳解】由，，則，有3個(gè)元素.故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.3 B.4 C. D.【答案】B【詳解】由，則，所以的虛部為4.故選：B.3.如果，是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，而；當(dāng)時(shí)，若，則，所以，而，則；若，則，所以，而，則.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知兩個(gè)非零向量與的夾角為，我們把數(shù)量叫作向量與的叉乘的模，記作，即.若向量，，則（）A. B.1 C.0 D.【答案】D【詳解】由，，則，由，所以，則，所以.故選：D.5.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，，則使的的最大值為（）A.1012 B.1013 C.2024 D.2025【答案】A詳解】由，則，因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差，所以，則，，即，所以數(shù)列是前1012項(xiàng)為正數(shù)，從第1013項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)的遞減數(shù)列，則使的的最大值為1012.故選：A.6.圓錐的側(cè)面積等于和它等高等底的圓柱的側(cè)面積，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題意，設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，高為,則圓錐母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積為，而圓柱的側(cè)面積為，則，即，則，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為.故選：A.7.已知函數(shù)在上的所有極值點(diǎn)從小到大依次記為，，，，則（）A.12 B.15 C.18 D.24【答案】D【詳解】由，則，令，得或.如圖，畫出圖象，結(jié)合圖象可得函數(shù)的極值點(diǎn)有8個(gè).則互為相反數(shù)，因，則，又注意到，則.故選：D.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且點(diǎn)在第一象限，線段的中點(diǎn)在的左支上，，則雙曲線的離心率為（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)，漸近線，依題意，點(diǎn)在直線上，設(shè)，則，由點(diǎn)在的左支上，得，整理得，由，得，整理得，消去得，解得，所以雙曲線的離心率.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中正確的有（）A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)就越接近1B.已知隨機(jī)變量，若，則C.數(shù)據(jù)，，，，，，，的第75百分位數(shù)為9D.若事件，滿足，，則【答案】BD【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，因?yàn)?，所以，則，故B正確；對(duì)于C，由，則第75百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，所以，故D正確.故選：BD.10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【詳解】對(duì)于AB，展開式的通項(xiàng)公式為，，令，得，所以，故A錯(cuò)誤，令，得，所以，令，得，所以，則，故B正確；對(duì)于C，由，令，得，令，得，則，故C正確；對(duì)于D，令，得，由C得，兩式相減得，，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離的乘積為2，點(diǎn)的軌跡如圖所示，則（）A.過點(diǎn)B.關(guān)于直線和直線均對(duì)稱C.到原點(diǎn)距離的最大值為D.直線與相切【答案】ABC【詳解】由題意，，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程為.對(duì)于A，將點(diǎn)代入方程得，則過點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，將代入方程得，將代入方程得，所以關(guān)于直線和直線均對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，由B知，關(guān)于直線和直線均對(duì)稱，則的中心點(diǎn)為，結(jié)合圖象可知，當(dāng)在直線上，且在右上角時(shí)，到原點(diǎn)距離最大，設(shè)，此時(shí)到原點(diǎn)距離為，到距離為，由題意得，，解得（其它值舍去），則到原點(diǎn)距離的最大值為，故C正確；對(duì)于D，由BC知，的中心點(diǎn)為，且在右上角處的點(diǎn)為，則在點(diǎn)出的切線方程為，由于，且直線與直線平行，所以直線與不相切，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.12.已知，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】分析，即，根號(hào)下的數(shù)需非負(fù)：，兩邊平方：，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)要求得：.分析，當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)楹瘮?shù)遞增，真數(shù)的大小關(guān)系與對(duì)數(shù)的大小關(guān)系一致，即：，結(jié)合前提，此情況的解為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，真數(shù)關(guān)系與對(duì)數(shù)關(guān)系相反，即：，結(jié)合前提，此情況的解為：；綜合以上信息可知當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足兩個(gè)不等式.故答案為：.13.若把滿足的正整數(shù)組稱為“勾股數(shù)組”，則在不大于14的正整數(shù)中，隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，能組成“勾股數(shù)組”的概率為______.【答案】【詳解】由題意可知基本事件的總數(shù)為，能組成“勾股數(shù)組”的有，共3個(gè)，故所求概率為.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______.【答案】【詳解】，設(shè)向量，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，所以的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).15.已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.（1）求角的大?。唬?）若邊上中線，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【小問1詳解】由，因?yàn)椋?，則，即時(shí)，取得最大值，則.【小問2詳解】因?yàn)闉檫叺闹芯€，則，則，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，則面積的最大值為.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面，，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，在正方形中，為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所有，又平面，所有平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，易得平面的一個(gè)法向量為，則，解得，則，，即，所以點(diǎn)到平面的距離為.17.已知，.（1）曲線與直線相切，求的值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1（2）【小問1詳解】由，，則，設(shè)切點(diǎn)為，，則，則，又，所以，則，即，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又則時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，則.【小問2詳解】由，，則，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得，故上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，需，則，解得，而，，當(dāng)時(shí)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，所以，由零點(diǎn)存在性定理可知，在與上分別存在唯一零點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知拋物線的焦點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng).（1）求拋物線方程；（2）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，（在的右側(cè)）.點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過作拋物線的另一條切線，切點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn).求證：為定值，并求定值.【答案】（1）（2）證明見解析，定值為【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，由橢圓，則，即右焦點(diǎn)為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由題意，得，解得，則拋物線方程為.【小問2詳解】設(shè)過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為，由，可得，則，解得，則，解得，則，則直線：，直線：，設(shè)，，設(shè)直線：，，由，可得，由，則，可得或（舍去），則，解得，則，直線：．由，解得，即，故為定值．19.在某項(xiàng)趣味籃球游戲中，每個(gè)參與者投籃若干次，根據(jù)投籃情況獲取相應(yīng)積分，得分規(guī)則如下：第一次投籃，投中得2分，未投中得1分；從第二次投籃開始，投中得上一次所得分?jǐn)?shù)的2倍，未投中得1分.已知甲每次投籃投中的概率均為，且每次投籃結(jié)果互不影響.（1）求甲投籃3次得分總和為4分的概率；（2）記甲第次（）投籃的得分為，甲投（）次籃的得分總和為.（i）求，，，并寫出（）時(shí)，與的關(guān)系式（不需證明）；（ii）已知結(jié)論：，為兩個(gè)隨機(jī)變量，則.利用這個(gè)結(jié)論求.【答案】（1）；（2）（?。?，，；（ⅱ）.【小問1詳解】甲投籃3次得分總和為4分的事件，即為學(xué)生甲前三次投籃中僅投中一次的事件，所以.【小問2詳解】（?。W(xué)生甲