高斯求和小升初數(shù)學(xué)思維拓展計(jì)算問題專項(xiàng)訓(xùn)練（知識(shí)梳理+典題精講+專項(xiàng)訓(xùn)練）(a1+an)×n21、高斯求和公式就是等差求和公式：Sn=2、解題思路。先觀察數(shù)據(jù)的變化趨勢，然后套用高斯求和公式．【典例一】你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的結(jié)果是（）

A、100000

B、499000

C、499500

D、500000

【分析】算式1+2+3+4+…+999中的加數(shù)構(gòu)成一個(gè)公差為“1”的等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為999，項(xiàng)數(shù)為999．因此本題根據(jù)高斯求和公式進(jìn)行計(jì)算即可：等差數(shù)列和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2．

【解答】解：1+2+3+4+…+999

=（1+999）×999÷2，

=1000×999÷2，

=499500．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】高斯求和其它相關(guān)公式：末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差，項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，首項(xiàng)=末項(xiàng)-（項(xiàng)數(shù)-1）×公差．【典例二】100以內(nèi)的偶數(shù)和是（）

【分析】找出100以內(nèi)的偶數(shù)相加即可．

【解答】解：100以內(nèi)的偶數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50、52、54、56、58、60、62、64、66、68、70、72、74、76、78、80、82、84、86、88、90、92、94、96、98、100共50個(gè)，

2+4+6+8+…+92+94+96+98+100

=（2+100）×50÷2

=102×50÷2

=2550

答：100以內(nèi)的偶數(shù)和是2550．

故答案為：2550．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了偶數(shù)的定義，偶數(shù)是能被2整除的數(shù)，找出100以內(nèi)的偶數(shù)，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解．【典例三】為慶祝建國六十周年，羅東中心小學(xué)舉行了“我與祖國共奮進(jìn)”系列活動(dòng)，五年一班同學(xué)參加了詩歌朗誦．為了讓每一個(gè)人都不被前面的同學(xué)擋住，從第二排起，每一排都比前一排多站1人．第一排站了8人，共站了4排，五年一班同學(xué)參加詩歌朗誦共有多少人？【分析】已知第一排站了8人，又每排都要比前一排多站1人，共站滿了4排，所以最后一排站了人，所以共有人數(shù)為：人．【解答】解：（人答：五年一班同學(xué)參加詩歌朗誦共有38人．【點(diǎn)評(píng)】高斯求和公式為：（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)．一．選擇題（共6小題）1．你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么的結(jié)果是A．100000 B．499000 C．499500 D．5000002．與得數(shù)相同的算式是A． B． C．3．的和為A．135 B．145 C．155 D．1654．德國數(shù)學(xué)家高斯在計(jì)算“”時(shí)，他這樣算?！啊?、，，共有50個(gè)101，用”。以下式子可以用高斯的方法計(jì)算的有個(gè)。①②③④A．4 B．3 C．2 D．15．的計(jì)算結(jié)果是A．2311 B．2321 C．23316．觀察下列數(shù)列：；，；，，；，，，，，分?jǐn)?shù)是這列數(shù)中的第個(gè)。A．3112 B．6124 C．3124 D．6122二．填空題（共6小題）7．。8．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們要不斷培養(yǎng)自己敏銳的觀察能力，請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列算式后填空。。9．；和是數(shù)；；和是數(shù)；；和是數(shù)。10．。11．（1），計(jì)算結(jié)果的個(gè)位上的數(shù)字是。（2）計(jì)算：。12．，，，算一算。三．計(jì)算題（共2小題）13．計(jì)算下面各題，怎樣簡便就怎樣計(jì)算。14．計(jì)算。。（要求簡便計(jì)算）四．解答題15．幼兒園給小朋友們發(fā)玩具，共32個(gè)小朋友，每人一個(gè)，每個(gè)玩具上都有編號(hào)，已知最后一個(gè)小朋友玩具上的編號(hào)是98，前一個(gè)玩具的編號(hào)比后一個(gè)玩具的編號(hào)總少3，問第一個(gè)小朋友手上的玩具是多少號(hào)？16．淘氣和笑笑拍皮球，淘氣拍1下，笑笑拍2下；淘氣拍3下，笑笑拍4下；接著淘氣拍5下、7下、9下、、95下、97下、99下，笑笑拍6下、8下、10下、、96下、98下、100下，請(qǐng)問誰拍得多，多幾下？（你有幾種算法？17．有這樣一個(gè)百層球垛，這個(gè)球垛第一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，第五層有15個(gè)球第一百層有多少個(gè)球？18．珠算里有一道著名的練習(xí)題，叫做“打百子”：要求在算盤上把自然數(shù)從1加到100．通過這種訓(xùn)練，就能熟練掌握珠算的加法口訣．德國數(shù)學(xué)家高斯在小學(xué)四年級(jí)時(shí)用巧妙方法解答此題．請(qǐng)你也來試一試，要求寫出簡算過程．計(jì)算：．19．編號(hào)為的九個(gè)盒中共放有351粒米，已知每個(gè)盒子都比前一個(gè)盒子多同樣粒米，如果1號(hào)盒子內(nèi)放了11粒米，問后面的盒子比前一號(hào)的盒子多放幾粒米？20．有一天，大熊老師在黑板上寫了一列數(shù)字，然后他停下來，讓小兔妮妮和熊貓冰冰來猜一猜．（1）第25個(gè)數(shù)是幾？（2）這25個(gè)數(shù)的和是多少？1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，21．某學(xué)生將連續(xù)自然數(shù)1、2、3、逐個(gè)相加直到某自然數(shù)為止．由于計(jì)算漏加了一個(gè)自然數(shù)而出了錯(cuò)誤的和為2011，這個(gè)漏加的自然數(shù)是．22．合唱隊(duì)參加比賽，為了使每一個(gè)人都不被前面的同學(xué)擋住，從第二排起，每一排要比前一排多站1人，第一排站了9人，共站了4排。合唱隊(duì)一共有多少人？23．小糊涂對(duì)小博士說：“我想把54個(gè)圍棋子放進(jìn)十個(gè)盒子，每個(gè)盒子里都有棋子且每個(gè)盒子中的棋子數(shù)各不相同．”小博士聽了，笑著說：“小糊涂你又糊涂了，你說的情況根本辦不到．”小博士為什么能判斷出這種情況根本辦不到？說說你的理由．24．100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是8450，取出其中第一個(gè)，第三個(gè)，第五個(gè)，第九十九個(gè)（所有奇數(shù)個(gè)），再把這50個(gè)數(shù)相加，和是多少？

參考答案一．選擇題（共6小題）1．【分析】算式中的加數(shù)構(gòu)成一個(gè)公差為“1”的等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為999，項(xiàng)數(shù)為999．因此本題根據(jù)高斯求和公式進(jìn)行計(jì)算即可：等差數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】高斯求和其它相關(guān)公式：末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)公差，項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差，首項(xiàng)末項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)公差．2．【答案】【分析】將算式看作兩部分，和，兩部分運(yùn)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果，然后與三個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行比較?！窘獯稹拷猓焊鶕?jù)計(jì)算過程可知，選項(xiàng)正確。故選：。【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了加法的巧算，也可總結(jié)算式的規(guī)律，從1開始，連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方來求解。3．【答案】【分析】根據(jù)高斯求和公式：數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)解答即可。【解答】解：故選：?！军c(diǎn)評(píng)】高斯求和相關(guān)公式：末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)公差，項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差，首項(xiàng)末項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)公差，數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)。4．【答案】【分析】高斯求和是在等差數(shù)列中利用結(jié)合的方法，把數(shù)列中的數(shù)變成相同的數(shù)，再用相同的數(shù)乘項(xiàng)數(shù)的一半?！窘獯稹拷猓孩冖邰芄蔬x：?！军c(diǎn)評(píng)】熟悉高斯求和原理是解決本題的關(guān)鍵。5．【答案】【分析】，是從101到121連續(xù)的21個(gè)自然數(shù)的和，是第一個(gè)自然數(shù)加上最后一個(gè)自然數(shù)求出和，然后乘自然數(shù)的個(gè)數(shù)，再除以2即可。【解答】解：故選：。【點(diǎn)評(píng)】解決本題利用高斯求和的方法解決問題。6．【答案】【分析】第一組：，分子和分母和是2的一共1個(gè)分?jǐn)?shù)；第二組：，，分子和分母和是3的一共2個(gè)分?jǐn)?shù)第三組：，，，分子和分母和是4的一共3個(gè)分?jǐn)?shù)第四組：，，，，分子和分母和是5的一共4個(gè)分?jǐn)?shù)，分子和分母的和是112一共有111個(gè)分?jǐn)?shù)，根據(jù)分母從小到大，得出是這組數(shù)的第多少個(gè)，再加上前面111組的個(gè)數(shù)即可，計(jì)算時(shí)可以根據(jù)高斯求和的方法進(jìn)行計(jì)算。【解答】解：，分子和分母的和是112一共有111個(gè)分?jǐn)?shù)，是這組數(shù)的第19個(gè)；第：分?jǐn)?shù)是這列數(shù)中的第6124個(gè)。故選：。【點(diǎn)評(píng)】本題難度較大，求解的關(guān)鍵是找出規(guī)律；當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子和分母的和為的一組分?jǐn)?shù)有個(gè)；另外要掌握累加求和的計(jì)算方法。二．填空題（共6小題）7．【答案】85?！痉治觥扛鶕?jù)，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行解答。【解答】解：因?yàn)?；所以。故答案為?5?！军c(diǎn)評(píng)】主要考查了學(xué)生的分析、總結(jié)、歸納能力，規(guī)律型的習(xí)題一般是從所給的數(shù)據(jù)和運(yùn)算方法進(jìn)行分析，從特殊值的規(guī)律上總結(jié)出一般性的規(guī)律。8．【答案】200；5?！痉治觥肯鄬?duì)應(yīng)的前后兩項(xiàng)的和都是200，所以就相當(dāng)于求5個(gè)200是多少，用乘法計(jì)算即可?！窘獯稹拷猓?。故答案為：200；5?！军c(diǎn)評(píng)】解答本題關(guān)鍵是找到規(guī)律，再解答。9．【答案】奇，偶，奇?！痉治觥窟@個(gè)算式中有5個(gè)奇數(shù)，有4個(gè)偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加還是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)偶數(shù)相加還是偶數(shù)，最后奇數(shù)加偶數(shù)得到奇數(shù)。這個(gè)算式中全都是偶數(shù)，偶數(shù)相加還是得偶數(shù)。這個(gè)算式中有501個(gè)奇數(shù)，500個(gè)偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加還是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)偶數(shù)相加還是偶數(shù)，最后奇數(shù)加偶數(shù)是奇數(shù)?！窘獯稹拷猓?；和是奇數(shù)；；和是偶數(shù)；；和是奇數(shù)。故答案為：奇，偶，奇?！军c(diǎn)評(píng)】解決此題關(guān)鍵是先看算式中有幾個(gè)奇數(shù)、幾個(gè)偶數(shù)，再判斷和是什么數(shù)。10．【答案】169。【分析】，，，，由此可知從1開始的幾個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的和，等于這幾個(gè)奇數(shù)的個(gè)數(shù)的平方；是從1開始的連續(xù)的13個(gè)奇數(shù)相加，就等于，據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓汗蚀鸢笧椋?69。【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)，找出規(guī)律，然后再進(jìn)一步解答。11．【答案】2；5050。【分析】（1）要求加減混合運(yùn)算的計(jì)算結(jié)果的個(gè)位上的數(shù)字是幾，只需要考慮算式中的每個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字即可；（2）按首尾數(shù)字相加，，，，，共有50個(gè)101，化為乘法運(yùn)算即可?！窘獯稹拷猓海?），所以，計(jì)算結(jié)果的個(gè)位上的數(shù)字是2。（2）故答案為：2；5050?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查了高斯求和及數(shù)字問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)算式的特點(diǎn)找出簡算方法。12．【答案】116?！痉治觥扛鶕?jù)，，，，可得規(guī)律：從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方，據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓汗蚀鸢笧椋?16?！军c(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是觀察式子的規(guī)律，然后再利用這個(gè)變化規(guī)律去解決問題。三．計(jì)算題（共2小題）13．【答案】，，80，2500?！痉治觥浚?）先把除法變成乘法，再根據(jù)乘法分配律簡算；（2）先算小括號(hào)里面的減法，再算中括號(hào)里面的乘法，最后算括號(hào)外的乘法；（3）根據(jù)乘法分配律簡算；（4）根據(jù)高斯求和的方法求解?！窘獯稹拷猓海?）（2）（3）（4）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四則混合運(yùn)算，注意運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用所學(xué)的運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算。14．【答案】5050。【分析】根據(jù)高斯求和的方法，首先用1加上100，求出它們的和是多少；然后用所得的和乘所有的加數(shù)的個(gè)數(shù)，再除以2，求出算式的值是多少即可?！窘獯稹拷猓骸军c(diǎn)評(píng)】高斯求和屬于等差數(shù)列的求和，等差數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)。四．解答題15．【答案】5號(hào)。【分析】分析題意可知，此題為等差數(shù)列，回憶高斯求和公式；此題是求首項(xiàng)，公式為：首項(xiàng)末項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)公差；末項(xiàng)是98，項(xiàng)數(shù)是32，公差是3，代入公式計(jì)算即可。【解答】解：（號(hào)答：第一個(gè)小朋友手上的玩具是5號(hào)。【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高斯求和公式的靈活運(yùn)用。16．【答案】方法一：（個(gè)方法二：（個(gè)（方法不唯一?！痉治觥扛鶕?jù)題意可知笑笑每次拍得都比淘氣多1下，兩人一共拍了100次，則每人拍了50次；根據(jù)以上分析可得笑笑比淘氣拍得多，列式即可求得笑笑比淘氣多拍得數(shù)量；也可分別求出笑笑、淘氣拍皮球的數(shù)量，再作差即可解答此題?！窘獯稹拷猓悍椒ㄒ唬簜€(gè)（個(gè)方法二：（個(gè)答：笑笑拍得多，多50個(gè)。（方法不唯一）故答案為：方法一：（個(gè)方法二：（個(gè)（方法不唯一?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用。17．【答案】5050個(gè)?！痉治觥坑?，，，可知第層有個(gè)球；根據(jù)上步所述可得所求為，聯(lián)系等差數(shù)列的求和公式求解即可?！窘獯稹拷猓海▊€(gè)答：第一百層有5050個(gè)球?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的規(guī)律，觀察前四層球的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵。18．【分析】分別從數(shù)列的前后取數(shù)，組成兩個(gè)數(shù)的和，如：、、、共得到了50個(gè)相等的和，然后用乘法計(jì)算；據(jù)此解答．【解答】解：，，，；故答案為：5050．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高斯求和公式的實(shí)際應(yīng)用，相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是：和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)；首項(xiàng)末項(xiàng)公差（項(xiàng)數(shù)；末項(xiàng)首項(xiàng)公差（項(xiàng)數(shù)；項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差．19．【分析】已知每個(gè)盒子都比前一個(gè)盒子多同樣粒米，即編號(hào)為的九個(gè)盒中的粒數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，項(xiàng)數(shù)是9，設(shè)每個(gè)盒子都比前一個(gè)盒子多粒米，即公差是，根據(jù)高斯求和公式：和首項(xiàng)項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)（項(xiàng)數(shù)公差列方程解答即可．【解答】解：設(shè)每個(gè)盒子都比前一個(gè)盒子多粒米，答：后面的盒子比前一號(hào)的盒子多放7粒米．【點(diǎn)評(píng)】高斯求和相關(guān)公式：等差數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)，末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)公差，項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差，首項(xiàng)末項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)公差，高斯求和公式：和首項(xiàng)項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)（項(xiàng)數(shù)公差．20．【分析】（1）根據(jù)1、2、3三個(gè)數(shù)一組，2、3、4三個(gè)數(shù)一組，3、4、5三個(gè)數(shù)一組得出規(guī)律：每三個(gè)數(shù)一組，相應(yīng)的依此加1的連續(xù)自然數(shù)，第幾組的開頭數(shù)字就是幾；要求第25個(gè)數(shù)是幾，用25除以3看是第幾組數(shù)，余數(shù)是幾，即可得解．（2）由（1）可知，左起第25個(gè)數(shù)是第9組數(shù)的第1個(gè)數(shù)，是9；那么前8組每組的和就組成了一個(gè)首項(xiàng)是，末項(xiàng)是，公差為3，項(xiàng)數(shù)為8的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：（首數(shù)尾數(shù)）項(xiàng)數(shù)和可求得前24個(gè)數(shù)的和，再加上第25個(gè)數(shù)9即可得解．【解答】解：（1）所以左起第25個(gè)數(shù)是第9組數(shù)的第1個(gè)數(shù)，是9；答：第25個(gè)數(shù)是9．（2）答：這25個(gè)數(shù)的和是141．【點(diǎn)評(píng)】認(rèn)真分析題意，得出數(shù)列的規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵，要明確等差數(shù)列通項(xiàng)公式：（首數(shù)尾數(shù)）項(xiàng)數(shù)和．21．【分析】本題可據(jù)高斯求和公式進(jìn)行推理分析，等差數(shù)列的和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)．【解答】解：設(shè)這個(gè)等差數(shù)列和共有項(xiàng)，則末項(xiàng)也應(yīng)為，這