第頁4.4對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)函數(shù)的概念1、定義：函數(shù)（，且）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域為．2、特殊的對數(shù)函數(shù)（1）常用對數(shù)函數(shù)：以10為底的對數(shù)函數(shù).（2）自然對數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù).二、對數(shù)函數(shù)的圖象a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0＜x＜1時，y＜0；當(dāng)x＞1時，y＞0當(dāng)0＜x＜1時，y＞0；當(dāng)x＞1時，y＜0單調(diào)性是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)【小結(jié)】當(dāng)時，圖象呈上升趨勢；當(dāng)時，圖象呈下降趨勢，又當(dāng)時，a越大，圖象向右越靠近x軸；時，a越小，圖象向右越靠近x軸.題型一對數(shù)函數(shù)的概念理解【例1】已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（）A．①②③B．③④⑤C．③④D．②④⑥【答案】C【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，不是對數(shù)函數(shù)；③中，是對數(shù)函數(shù)；④中，是對數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù).故選：C.【變式1-1】給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是對數(shù)函數(shù)的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】A【解析】①②不是對數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量x；③不是對數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對數(shù)函數(shù)，故選:A.【變式1-2】下列函數(shù)表達(dá)式中，是對數(shù)函數(shù)的有（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B【解析】由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上，①不是對數(shù)函數(shù)；由于②中底數(shù)不能保證，且，②不是對數(shù)函數(shù)；由于⑤⑦的真數(shù)分別為，，⑤⑦也不是對數(shù)函數(shù)；由于⑥中的系數(shù)為2，⑥也不是對數(shù)函數(shù)；只有③④符合對數(shù)函數(shù)的定義，故選：B.【變式1-3】下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】對數(shù)函數(shù)（且），其中為常數(shù)，為自變量．對于選項A，符合對數(shù)函數(shù)定義；對于選項B，真數(shù)部分是，不是自變量，故它不是對數(shù)函數(shù)；對于選項C，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)；對于選項D，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)．題型二求對數(shù)函數(shù)的解析式【例2】若對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則此函數(shù)的表達(dá)式為______.【答案】【解析】設(shè)對數(shù)函數(shù)為，，因為對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，解得，所以.【變式2-1】若對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4，－2)，則f(8)＝________.【答案】-3【解析】設(shè)（且），將代入得.所以，.【變式2-2】若函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題可知：函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，所以或，又且，所以，故選：B【變式2-3】已知對數(shù)函數(shù)，則______．【答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．題型三對數(shù)函數(shù)的定義域問題【例3】函數(shù)的定義域是（）A．或B．C．或D．【答案】D【解析】由題意得，，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：D【變式3-1】若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域是[1，3]，∴，解得．又，且，∴．故函數(shù)的定義域是．故選：C.【變式3-2】函數(shù)的定義域是__________．【答案】【解析】對于函數(shù)，由，即，解得.因此，函數(shù)的定義域為.【變式3-3】函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，，．故選：D．【變式3-4】若函數(shù)的定義域為，則（）A．3B．3C．1D．1【答案】A【解析】由，得，由題意可知上式的解集為，所以為方程的一個根，所以，得，故選：A【變式3-5】已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】根據(jù)條件可知在R上恒成立，則，且，解得，故a的取值范圍是.題型四對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題【例4】已知函數(shù)且，則該函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)所以函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點(diǎn).故選：B【變式4-1】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則M為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)，令，解得，此時，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)；故選：A【變式4-2】函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】，取∴時，，即過定點(diǎn)【變式4-3】函數(shù)（，且）恒過定點(diǎn)（3，2），則（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，當(dāng)時，即時，可得，即函數(shù)恒經(jīng)過點(diǎn)，又因為恒經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，所以.故選：C.【變式4-4】函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則（）A．16B．8C．4D．2【答案】A【解析】當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)記，則有，解得所以.故選：A題型五對數(shù)函數(shù)的圖象問題【例5】已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以又因為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸，所以，即又因為函數(shù)圖象與軸有交點(diǎn)，所以，所以，故選：D.【變式5-1】已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖象可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，令，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，所以，因此，故A錯誤；，又因為，所以，因此不一定成立，故B錯誤；因為，即，且，所以，故C正確；因為，所以，即，故D錯誤，故選：C.【變式5-2】已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)的圖象不經(jīng)過第四象限，則a的取值范圍是（）A．(0，1)B．(0，)C．(0，1]D．[1，+∞)【答案】D【解析】的圖象是由的圖象向左平移個單位所得．的圖象過點(diǎn)，函數(shù)為增函數(shù)，因此．故選：D．【變式5-3】如圖是對數(shù)函數(shù)的圖象，已知a值取，，，，則相應(yīng)的，，，的a值依次是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】B【解析】∵當(dāng)時，圖象呈上升趨勢；當(dāng)時，圖象呈下降趨勢，又當(dāng)時，a越大，圖象向右越靠近x軸；時，a越小，圖象向右越靠近x軸，故，，，對應(yīng)的a值依次是，，，．故選：B．【變式5-4】在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（且）的圖象關(guān)系可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】．由對數(shù)圖象知，此時直線的縱截距，矛盾，．由對數(shù)圖象知，此時直線的縱截距，矛盾，．由對數(shù)圖象知，此時直線的縱截距，保持一致，．由對數(shù)圖象知，此時直線的縱截距，矛盾，故選：．【變式5-5】設(shè)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示，則它們之間的大小關(guān)系錯誤的是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A：要判斷的是冪函數(shù)的圖像，根據(jù)的圖像可以判斷，故A正確；對于B：要判斷的是指數(shù)函數(shù)的圖像，作出x=1，看交點(diǎn)，交點(diǎn)高，底數(shù)越大，所以，故B正確；對于C、D：要判斷的是對數(shù)函數(shù)的圖像，作出y=1，看交點(diǎn)，交點(diǎn)越靠由，底數(shù)越大，所以，故D正確，C錯誤；題型六指對冪比較大小【例6】設(shè)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，，又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)時，底數(shù)越大，圖像越低，可得，所以，故選:D.【變式6-1】設(shè)，，，則三者大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以，因為，所以，故.故選：C【變式6-2】已知，，，則有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，，，是單調(diào)遞增，，，，，是單調(diào)遞增，，，，，是單調(diào)遞增，，，，，是單調(diào)遞增，，，綜上所述，，故選：D.【變式6-3】函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，若，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由偶函數(shù)知，又，，，顯然，又在單調(diào)遞增，則.故選：C.題型七對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性【例7】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題知的定義域為，令，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，關(guān)于單調(diào)遞減，關(guān)于單調(diào)遞減，當(dāng)時，關(guān)于單調(diào)遞增，關(guān)于單調(diào)遞增，故的遞增區(qū)間為．故選：D．【變式7-1】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，二次函數(shù)的對稱軸為：，所以二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，而函數(shù)是正實數(shù)集上的減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C【變式7-2】若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是___．【答案】【解析】由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，只需函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)時恒成立，所以滿足解得．【變式7-3】已知f（x）＝在區(qū)間[2，＋∞）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】（－4，4]【解析】二次函數(shù)的對稱軸為x＝，由已知，應(yīng)有≤2，且滿足當(dāng)x≥2時y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4<a≤4．故答案為：（－4，4]【變式7-4】已知函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則k的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)時單調(diào)遞增且，當(dāng)時也單調(diào)遞增，所以，即，所以，即；故選：B題型八解對數(shù)型不等式【例8】若實數(shù)x滿足不等式，則實數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【解析】，，解得或.【變式8-1】不等式的解集為______.【答案】【解析】由，可得，所以，解得：或，不等式的解集為.【變式8-2】設(shè)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．，【答案】C【解析】由，得：，因為，所以，取交集得：．所以的取值范圍是，故選：C.【變式8-3】不等式的解集是_______．【答案】當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為【解析】∵，∴原不等式等價于，當(dāng)>1時，，解得0＜x＜2．當(dāng)時，，解得2＜x＜4．∴當(dāng)>1時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為故答案為：當(dāng)>1時，解集為；當(dāng)時，解集為【變式8-4】已知實數(shù)，且滿足不等式，則不等式的解集為________．【答案】【解析】因為，所以，而，則，于是.【變式8-5】設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】方法一:由得，則，解得或.方法二:根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為，有，即函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)，則，在區(qū)間上，為增函數(shù)且，在區(qū)間上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，，解得或，故選：D．【變式8-6】已知函數(shù)，求不等式的解集．【答案】或【解析】，則不等式，即或，故或，所以不等式的解集為或．題型九對數(shù)型函數(shù)的就奇偶性問題【例9】已知函數(shù)，求函數(shù)的定義域，并判斷其奇偶性.【答案】；奇函數(shù)【解析】由解得或，所以的定義域為，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為奇函數(shù).【變式9-1】若函數(shù)是奇函數(shù)，則___________，___________.【答案】1；0【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，故，即，即.又，故，即，恒成立，故，所以或，當(dāng)時無意義.當(dāng)時滿足奇函數(shù).故綜上，，【變式9-2】若函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，則實數(shù)的值為______．【答案】4【解析】因為為定義域上的奇函數(shù)，，所以恒成立解得.【變式9-3】已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則實數(shù)a=______．【答案】1【解析】由題意，，即，所以，化簡得，解得．題型十對數(shù)型函數(shù)的值域問題【例10】已知函數(shù)，則的值域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，故選：D【變式10-1】若，則函數(shù)的值域為________.【答案】【解析】因為，，令，因此，即的值域為．【變式10-2】函數(shù)的最小值是（）．A．10B．1