清河班招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極小值，且f(1)=2，則a的取值范圍是？

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

2.設(shè)集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},則A∩B的元素個(gè)數(shù)為？

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公差為3，則第10項(xiàng)a_{10}的值為？

A.29

B.30

C.31

D.32

4.函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,2]上的最小值是？

A.0

B.1

C.2

D.不存在

5.若直線y=kx+1與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，則k的值為？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

6.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為？

A.0

B.1

C.2

D.無數(shù)

7.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，則該三角形的面積為？

A.6

B.12

C.15

D.24

8.設(shè)向量a=(1,2),b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角范圍是？

A.[0,π/2]

B.[π/2,π]

C.[π,3π/2]

D.[3π/2,2π]

9.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^3的虛部為？

A.0

B.1

C.-1

D.2

10.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，則f(x)的周期為？

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有？

A.y=x^3

B.y=e^x

C.y=-x

D.y=log_2(x)

2.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，且對(duì)稱軸為x=-1，則下列結(jié)論正確的有？

A.a>0

B.b=-2a

C.c可以是任意實(shí)數(shù)

D.f(0)>0

3.已知等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公比為2，則下列說法正確的有？

A.b_5=16

B.數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=2^n-1

C.數(shù)列的任意兩項(xiàng)之比均為常數(shù)

D.數(shù)列的通項(xiàng)公式為b_n=2^(n-1)

4.下列方程中，在平面直角坐標(biāo)系中表示圓的有？

A.x^2+y^2=1

B.x^2+y^2+2x-4y+5=0

C.x^2+y^2-2x+4y-4=0

D.x^2+y^2+4x+6y+9=0

5.下列不等式其中正確的有？

A.sin(π/4)>cos(π/4)

B.log_3(9)>log_3(8)

C.e^2>e^3

D.(-2)^3<(-1)^2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________。

2.若直線y=2x+b與圓(x+1)^2+(y-2)^2=5相切，則b的值為________。

3.設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為5，公差為-2，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S_{10}等于________。

4.計(jì)算：lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)=________。

5.若復(fù)數(shù)z=3+4i的模為|z|，則|z|^2的值為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{3x+2y=7

{x-y=1

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算極限：lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

5.已知向量a=(1,2,-1),b=(2,-1,1)，求向量a與向量b的向量積（叉積）a×b。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值，說明x=1是對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=-b/(2a)，所以-b/(2a)=1，即b=-2a。又因?yàn)閒(1)=a(1)^2+b(1)+c=2，代入b的表達(dá)式得a-2a+c=2，即c-a=2。由于是對(duì)稱軸，所以a必須大于0，否則函數(shù)在x=1處取得極大值。故選A。

2.B

解析：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同時(shí)屬于A和B的元素。通過觀察集合A和B，可以發(fā)現(xiàn)只有2和4是兩個(gè)集合的公共元素，所以A∩B的元素個(gè)數(shù)為2。故選B。

3.C

解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首項(xiàng)，d是公差。根據(jù)題目給出的首項(xiàng)為2，公差為3，要求第10項(xiàng)a_{10}，代入公式得a_{10}=2+(10-1)×3=2+27=29。故選C。

4.B

解析：函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,2]上的圖像是一個(gè)以點(diǎn)(1,0)為頂點(diǎn)的V形圖像。在區(qū)間[0,2]上，函數(shù)的最小值出現(xiàn)在x=1處，此時(shí)f(1)=|1-1|=0。故選B。

5.D

解析：直線y=kx+1與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，說明直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。將直線方程代入圓方程，得到(x-1)^2+(kx+1-2)^2=4，展開并整理得到x^2+(2k-3)x+k^2-3k+1=0。由于直線與圓相切，所以判別式Δ=(2k-3)^2-4(k^2-3k+1)=0，解得k=-2。故選D。

6.B

解析：函數(shù)f(x)=e^x-x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=e^x-1。在區(qū)間(-1,1)內(nèi)，f'(x)始終大于0，說明函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增。又因?yàn)閒(0)=e^0-0=1>0，f(-1)=e^{-1}-(-1)=1/e+1>0，所以函數(shù)在(-1,1)內(nèi)沒有零點(diǎn)。故選B。

7.B

解析：三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，滿足勾股定理，所以三角形ABC是一個(gè)直角三角形，直角邊分別為3和4。直角三角形的面積S=(1/2)×直角邊1×直角邊2=(1/2)×3×4=6。故選B。

8.B

解析：向量a與向量b的夾角θ滿足cosθ=(a·b)/(|a|×|b|)，其中a·b是向量a與向量b的數(shù)量積，|a|和|b|分別是向量a與向量b的模長(zhǎng)。計(jì)算得到a·b=1×3+2×(-4)=-5，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+(-4)^2)=5。所以cosθ=-5/(√5×5)=-1/√5。由于cosθ小于0，所以向量a與向量b的夾角范圍是[π/2,π]。故選B。

9.B

解析：復(fù)數(shù)z=1+i，z^3=(1+i)^3=1^3+3×1^2×i+3×1×i^2+i^3=1+3i+3(-1)+(-i)=-2+2i。所以z^3的虛部為2。故選B。

10.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)可以寫成f(x)=√2sin(x+π/4)，因?yàn)閟in(x+π/4)=sinx·cos(π/4)+cosx·sin(π/4)=(√2/2)sinx+(√2/2)cosx=(√2/2)(sinx+cosx)。所以f(x)的周期與sin(x)和cos(x)的周期相同，都是2π。故選B。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：函數(shù)y=x^3是單調(diào)遞增的，因?yàn)槠鋵?dǎo)數(shù)y'=3x^2始終大于0。函數(shù)y=e^x也是單調(diào)遞增的，因?yàn)槠鋵?dǎo)數(shù)y'=e^x始終大于0。函數(shù)y=-x是單調(diào)遞減的，因?yàn)槠鋵?dǎo)數(shù)y'=-1始終小于0。函數(shù)y=log_2(x)是單調(diào)遞增的，因?yàn)槠鋵?dǎo)數(shù)y'=1/(xln2)始終大于0。故選A,B,D。

2.A,B,C

解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，說明a>0。對(duì)稱軸為x=-b/(2a)，所以b=-2a。由于沒有給出c的具體值，所以c可以是任意實(shí)數(shù)。f(0)=c，與a的取值無關(guān)，所以不能確定f(0)是否大于0。故選A,B,C。

3.A,C,D

解析：等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公比為2，b_5=1×2^4=16。數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=1×(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。數(shù)列的任意兩項(xiàng)之比b_m/b_n=(a_1q^(m-1))/(a_1q^(n-1))=q^(m-n)，是常數(shù)q^(m-n)。數(shù)列的通項(xiàng)公式為b_n=a_1q^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1)。故選A,C,D。

4.A,B

解析：方程x^2+y^2=1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓。方程x^2+y^2+2x-4y+5=0可以化簡(jiǎn)為(x+1)^2+(y-2)^2=2，表示以(-1,2)為圓心，半徑為√2的圓。方程x^2+y^2-2x+4y-4=0可以化簡(jiǎn)為(x-1)^2+(y+2)^2=1，表示以(1,-2)為圓心，半徑為1的圓。方程x^2+y^2+4x+6y+9=0可以化簡(jiǎn)為(x+2)^2+(y+3)^2=4，表示以(-2,-3)為圓心，半徑為2的圓。故選A,B。

5.B,D

解析：sin(π/4)=√2/2，cos(π/4)=√2/2，所以sin(π/4)=cos(π/4)。log_3(9)=log_3(3^2)=2，log_3(8)<log_3(9)，所以log_3(9)>log_3(8)。e^2>e^3，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)e^x是單調(diào)遞增的，所以2<3時(shí)，e^2<e^3。(-2)^3=-8，(-1)^2=1，所以(-2)^3<(-1)^2。故選B,D。

三、填空題答案及解析

1.(2,-1)

解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3可以寫成f(x)=(x-2)^2-1，所以其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)。

2.-1或-9

解析：直線y=2x+b與圓(x+1)^2+(y-2)^2=5相切，說明直線到圓心的距離等于圓的半徑。圓心為(-1,2)，半徑為√5。直線到點(diǎn)(-1,2)的距離為|2(-1)+2+b|/√(2^2+1^2)=|b|/√5。令|b|/√5=√5，解得b=±5√5。但是b=5√5時(shí)，直線方程為y=2x+5√5，與圓相交，不滿足相切條件。所以b=-5√5。故答案為-1或-9。

3.-50

解析：等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為5，公差為-2，前10項(xiàng)和S_{10}=(10/2)×(2×5+(10-1)×(-2))=5×(10-14)=5×(-4)=-20。故答案為-50。

4.12

解析：lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x^2+2x+4))/(x-2)=lim(x→2)(x^2+2x+4)=2^2+2×2+4=4+4+4=12。故答案為12。

5.25

解析：復(fù)數(shù)z=3+4i的模為|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。所以|z|^2=5^2=25。故答案為25。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x^3/3+x^2+3x+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2+2x+3-x-1+x+1)/(x+1)dx=∫(x^2+x+2)/(x+1)dx=∫(x(x+1)+2)/(x+1)dx=∫(x+2)dx=x^2/2+2x+C。故答案為x^3/3+x^2+3x+C。

2.x=3,y=2

解析：解方程組：

{3x+2y=7

{x-y=1

由第二個(gè)方程得x=y+1，代入第一個(gè)方程得3(y+1)+2y=7，解得y=1。代入x=y+1得x=2。所以解為x=3,y=2。

3.最大值為3，最小值為0

解析：f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。所以最大值為3，最小值為0。

4.1/2

解析：lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)(e^x-