全國卷三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤0或x≥2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<3}

B.{x|x≤0}

C.{x|x≥2}

D.{x|2<x<3}

2.若復(fù)數(shù)z滿足z2=1，則z等于（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

3.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+1)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[0,2]

C.(-∞,1]∪[1,+∞)

D.R

4.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5，a?=13，則其通項公式為（）

A.a?=3n+2

B.a?=2n+3

C.a?=4n+1

D.a?=5n-2

5.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則φ等于（）

A.kπ

B.kπ+π/2

C.2kπ

D.2kπ+π/2

6.已知圓O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為1，則圓O與直線l的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

7.若函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為M和m，則M-m等于（）

A.8

B.10

C.12

D.14

8.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，則向量a+b的模長等于（）

A.√10

B.√13

C.√15

D.√17

9.已知直線l?:ax+by+c=0與直線l?:2x-y+1=0垂直，則a的值為（）

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

10.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且事件A與事件B互斥，則P(A∪B)等于（）

A.0.3

B.0.9

C.0.13

D.0.1

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=log?(1/x)

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像如圖所示（開口向上，對稱軸為x=-1，且過點(0,1)），則下列結(jié)論正確的有（）

A.a>0

B.b=2

C.c=1

D.Δ=b2-4ac>0

3.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，則下列說法正確的有（）

A.三棱錐P-ABC的高為2

B.直線PA與直線BC所成角的正弦值為√3/3

C.二面角A-BC-P的余弦值為1/2

D.三棱錐P-ABC的體積為√3

4.已知函數(shù)f(x)=e?的圖像與直線y=x相交于點A，則下列結(jié)論正確的有（）

A.點A的橫坐標是0

B.點A的縱坐標是1

C.函數(shù)f(x)=e?在點A處的切線斜率為1

D.函數(shù)f(x)=e?在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減

5.在一項調(diào)查中，隨機抽取了100名學(xué)生，調(diào)查他們是否喜歡數(shù)學(xué)，結(jié)果如下：喜歡數(shù)學(xué)的有60人，不喜歡數(shù)學(xué)的有40人?，F(xiàn)從中隨機抽取2名學(xué)生，則下列事件中，屬于互斥事件的有（）

A.事件M：“抽到的2名學(xué)生都喜歡數(shù)學(xué)”

B.事件N：“抽到的2名學(xué)生都不喜歡數(shù)學(xué)”

C.事件P：“抽到的2名學(xué)生中，一名喜歡數(shù)學(xué)，一名不喜歡數(shù)學(xué)”

D.事件Q：“抽到的2名學(xué)生中，至少有一名喜歡數(shù)學(xué)”

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知直線l的傾斜角為120°，則直線l的斜率k等于_______.

2.在等比數(shù)列{a?}中，a?=6，a?=162，則該數(shù)列的通項公式a?等于_______.

3.計算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=_______.

4.已知圓的方程為x2+y2-6x+8y-11=0，則該圓的圓心坐標為_______，半徑長為_______.

5.從5名男生和4名女生中隨機選取3人參加活動，則選取的3人中恰好有1名男生的概率為_______.

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.已知向量a=(3,-1,2)，向量b=(-1,2,1)。求向量a與向量b的夾角θ的余弦值。

3.解方程：2^(x+1)+2^(x-1)=5。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知a=3，b=4，C=60°。求邊c的長度。

5.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，次品率為10%?，F(xiàn)從中隨機抽取5件產(chǎn)品，求至少有一件次品的概率。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C解：A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且(x≤0或x≥2)}={x|2<x<3}

2.A,B解：z2=1，則z=±1

3.C解：x2-2x+1=(x-1)2≥0，故定義域為{x|x≠1}

4.A解：由a?=a?+4d，得13=5+4d，解得d=2，故a?=a?+(n-1)d=5+2(n-1)=3n+2

5.A解：f(x)為奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，或關(guān)于y軸對稱時為偶函數(shù)。圖像關(guān)于y軸對稱，故sin(ωx+φ)是偶函數(shù)，ωx+φ=kπ+π/2(k∈Z)，即ωx=kπ+π/2-φ，φ=kπ+π/2，由于周期性，可取φ=kπ

6.A解：圓心到直線的距離d=1<半徑r=2，故相交

7.D解：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0，得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。最大值M=3，最小值m=-1，M-m=3-(-1)=4

8.B解：|a+b|=√((1+3)2+(2-1)2)=√(42+12)=√(16+1)=√17

9.B解：l?垂直l?，則k?*k?=-1。l?的斜率k?=2。故k?*(-1)=-1，k?=2。即a/b=2，若b=1，則a=2；若b=-1，則a=-2。由于2x-y+1=0的斜率為2，故l?的斜率也為2，a=2

10.B解：A與B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3。但概率最大為1，故此題按標準答案B處理，可能題目設(shè)置有誤，若理解為非獨立，則P(至少一個發(fā)生)=1-P(都不發(fā)生)=1-(1-0.6)*(1-0.7)=1-0.4*0.3=1-0.12=0.88。若理解為獨立，則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.6*0.7=1.3-0.42=0.88。題目條件不明確，選B最符合集合運算

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,D解：f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)。A：f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。B：f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。C：f(-x)=(-x)2+1=x2+1≠-f(x)，不是奇函數(shù)。D：f(-x)=log?(1/(-x))=log?(x?1)=-log?(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

2.A,B,C解：圖像開口向上，a>0。對稱軸x=-1，即-x=-b/2a，故b=2a。過點(0,1)，即c=1。Δ=b2-4ac=(2a)2-4a*1=4a2-4a。不能確定Δ>0，例如a=1時，Δ=0。但a>0，b=2a，c=1確定。

3.A,B,C解：高為PA=2。直線PA與BC所成角為∠PBC。在Rt△PBC中，BC=2，PC=√(PB2+BC2)=√(22+22)=√8=2√2。sin∠PBC=對邊/斜邊=PA/PC=2/(2√2)=1/√2=√2/2。cos∠A-BC-P=cos(π-∠PBC)=-cos∠PBC=-√2/2。體積V=(1/3)Bh=(1/3)×(√3/4)×22×2=4√3/3。故C錯誤，A、B、D正確。

4.A,B,C解：y=e?與y=x相交，代入x=e?得e?=x，唯一解x=0。故A對。交點為(0,1)。故B對。f'(x)=e?，f'(0)=e?=1。故C對。f(x)=e?在R上單調(diào)遞增。故D錯誤。

5.B,C解：A與D是“至少有一名喜歡”和“至少有一名不喜歡”的關(guān)系，不是互斥。B與C是“兩名都喜歡”和“一男一女”的關(guān)系，不能同時發(fā)生，是互斥。A與C也是互斥的。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.-√3解：k=tan(傾斜角)=tan(120°)=tan(180°-60°)=-tan(60°)=-√3

2.2^(n-1)解：設(shè)公比為q。a?=a?*q3，162=6*q3，q3=27，q=3。a?=a?*q^(n-2)=6*3^(n-2)=6*3^(n-2)=2*3^(n-1)=2^(1)*3^(n-1)=2^(1+n-1)=2^(n)

3.4解：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x+2)(x-2)/(x-2))=lim(x→2)(x+2)=2+2=4

4.(3,-4),5解：配方：x2-6x+(y2+8y+16)=11+16，(x-3)2+(y+4)2=25。圓心(3,-4)，半徑√25=5。

5.5/12解：P(恰好1男2女)=C(5,1)*C(4,2)/(C(9,3))=(5*6)/(84)=30/84=5/14。檢查：C(5,1)=5,C(4,2)=6,C(9,3)=84。5/14。修正：計算P(1男2女)=C(5,1)*C(4,2)/C(9,3)=5*6/84=30/84=5/14。原答案5/12有誤。應(yīng)選5/14。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x2=1，x=±1。f(-2)=-23-3*(-2)+2=-8+6+2=0。f(-1)=-13-3*(-1)+2=-1+3+2=4。f(1)=13-3*1+2=1-3+2=0。f(3)=33-3*3+2=27-9+2=20。比較端點和駐點函數(shù)值，最大值M=20，最小值m=0。

2.解：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=3*(-1)+(-1)*2+2*1=-3-2+2=-3。|a|=√(32+(-1)2+22)=√(9+1+4)=√14。|b|=√((-1)2+22+12)=√(1+4+1)=√6。cosθ=-3/(√14*√6)=-3/(√84)=-3/(2√21)=-3√21/42=-√21/14。

3.解：原式等價于2*2^x+1/2*2^x=5。設(shè)t=2^x，則2t+t/2=5。5t/2=5。t=2。2^x=2。x=1。

4.解：由余弦定理，c2=a2+b2-2ab*cosC。c2=32+42-2*3*4*cos60°=9+16-24*(1/2)=25-12=13。c=√13。

5.解：方法一（直接法）：至少一件次品包括：1次品2正品，2次品1正品，3次品，4次品，5次品。P(至少1次品)=P(1次品2正品)+P(2次品1正品)+P(3次品)+P(4次品)+P(5次品)。P(1次品2正品)=C(5,1)*C(90,2)/C(100,3)=5*(90*89)/(100*99*98)=5*8100/(970200)=40500/970200=405/9702。P(2次品1正品)=C(10,2)*C(90,1)/C(100,3)=45*90/(100*99*98)=4050/970200=405/9702。P(3次品)=C(10,3)/C(100,3)=120/(100*99*98)=120/970200=6/48510。P(4次品)=C(10,4)/C(100,3)=210/(100*99*98)=210/970200=21/48510。P(5次品)=C(10,5)/C(100,3)=252/(100*99*98)=252/970200=63/485100。P(至少1次品)=405/9702+405/9702+6/48510+21/48510+63/485100。通分計算較復(fù)雜。方法二（間接法）：P(至少1次品)=1-P(全是正品)。全是正品=從90個正品中選3個/C(100,3)=C(90,3)/C(100,3)=90*89*88/(100*99*98)=8100*88/(970200)=352800/970200=88/245。P(至少1次品)=1-88/245=157/245。方法三（二項分布）：記次品率為p=0.1，正品率為q=0.9。X~B(3,0.1)。P(至少1次品)=1-P(0次品)=1-(0.9)3=1-0.729=0.271。

6.解：設(shè)A=“至少有一件次品”。則A的對立事件ā=“沒有次品”，即3件都是正品。C(5,3)=10。C(9,3)=84。P(至少有一件次品)=1-P(沒有次品)=1-C(5,3)/C(9,3)=1-10/84=74/84=37/42。

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點分類和總結(jié)：

本試卷主要考察了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，涵蓋了集合、復(fù)數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、概率統(tǒng)計等多個知識點。

一、集合：考察了集合的包含關(guān)系、交集、并集、補集運算，以及奇偶性的判斷。

二、復(fù)數(shù)：考察了復(fù)數(shù)的運算和平方根求解。

三、函數(shù)：考察了函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、圖像變換、與直線相交、極限等。

四、數(shù)列：考察了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通