—引言矩陣作為代數(shù)學(xué)中的主要的研究對象，是數(shù)學(xué)學(xué)科中很重要的基本概念之一，是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的主要工具．文獻(xiàn)[1]給出了行列式的余子式和伴隨矩陣的定義和它的有關(guān)的性質(zhì)．文獻(xiàn)[2,3,4,5,6，7]給出了方陣的伴隨矩陣的若干個(gè)性質(zhì)和它們的應(yīng)用．文獻(xiàn)[8]給出了用Crammer規(guī)則給出了伴隨矩陣的方程組解的公式表示，Crammer規(guī)則的解釋基于伴隨矩陣的概念及其性質(zhì)，文獻(xiàn)[9,10]給出了伴隨矩陣在其他方面的應(yīng)用及相關(guān)研究．本文在方陣的伴隨矩陣的定義和基本的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，談?wù)摿税殡S矩陣的相關(guān)性質(zhì)，還提出了伴隨矩陣與原矩陣的關(guān)系，談?wù)摿税殡S矩陣的性質(zhì)，以及將伴隨矩陣推廣到m重．以上結(jié)論是在是方陣的前提下提出的，而不是方陣時(shí)有許多性質(zhì)．本文將討論伴隨矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用，這不僅有幫助于教師的教學(xué)，也有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)．從而可以采用伴隨矩陣的相關(guān)性質(zhì)來解決線性代數(shù)中的有關(guān)問題，擴(kuò)大伴隨矩陣在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用．二、基礎(chǔ)知識2.1方陣的伴隨矩陣定義2.1.1REF_Ref15017\r\h[1]在行列式，中劃去元素所在的第行與第列，剩下的個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成一個(gè)級的行列式，稱為元素的余子式，記為．行列式的計(jì)算公式為：（1）（2）定義2.2REF_Ref15017\r\h[1]設(shè)是階方陣，行列式、中第元素的代數(shù)余子式，則稱下列方陣為的伴隨矩陣：．A的伴隨矩陣通常記為．定理2.1REF_Ref15017\r\h[1]若，則矩陣可逆，且，其中為矩陣的伴隨矩陣.證明已知，因，故有，所以，按逆矩陣的定義可知可逆，且有.2.2方陣的伴隨矩陣性質(zhì)及證明性質(zhì)1REF_Ref17109\r\h[3]伴隨矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)可逆，；證明，，故．性質(zhì)2REF_Ref17109\r\h[3]如果伴隨矩陣可逆，則；證明由性質(zhì)；得，當(dāng)時(shí)，A可逆，且，所以有得以證明性質(zhì)3REF_Ref17109\r\h[3]若A是階矩陣，對的秩有；；；；證明若時(shí)，矩陣A可逆，由定理的，即有；若時(shí)，也就是中有階非零子式，中非零元素，從而．由定理即．故．若時(shí)，則中所有階子式全為0，即為零矩陣，故性質(zhì)4REF_Ref15289\r\h[4]；證明若，由，兩邊同時(shí)去行列式；性質(zhì)5REF_Ref15416\r\h[5]若k為常數(shù)，則；證明．性質(zhì)6REF_Ref15481\r\h[7]可逆當(dāng)且僅當(dāng)可逆，若可逆，則；證明，，故．性質(zhì)7REF_Ref15481\r\h[7]，其中表示矩陣得轉(zhuǎn)置矩陣；證明設(shè)，則的第行第列元素為，的第行第列元素為，的第行第列元素為，的第行第列元素為，因此．性質(zhì)8REF_Ref15481\r\h[7]；證明1）當(dāng)，時(shí)，有．，時(shí)，令，，只要足夠大，與都是可逆的，則．上述式子中的元素都是關(guān)于的多項(xiàng)式，由足夠大的時(shí)侯對應(yīng)的元素相等，則對應(yīng)元素是相等的多項(xiàng)式，即都成立，取時(shí)，得．三、方陣的伴隨矩陣性質(zhì)的應(yīng)用3.1利用定義求解設(shè)方陣，是的伴隨矩陣，求．解因?yàn)樾辛惺綖橄氯切辛惺?，則，AA*=|A|E=10E，得，所以.點(diǎn)評:此題如果按照先求，再求;或者即使利用性質(zhì).也需要求，再求,都是比較不容易的．本題利用定義法，設(shè)而不求，解題簡便很多．設(shè)是階非零矩陣,是的伴隨矩陣,是的轉(zhuǎn)置矩陣,當(dāng)時(shí)，證明:.

證明由公式及有,若,則,設(shè)的行向量為,則.即,于是與是非零矩陣矛盾點(diǎn)評:當(dāng)時(shí),可逆，由，兩端左乘得:.設(shè)為階矩陣，為階矩陣，求分塊對角陣的伴隨矩陣：.解設(shè)，元素的余子式和代數(shù)余子式分別為和；，元素的余子式和代數(shù)余子式分別為和.利用Laplace定理可以容易地計(jì)算出：當(dāng)時(shí)，的第元素的代數(shù)余子式為；當(dāng)時(shí)，的第元素的代數(shù)余子式為；當(dāng)屬于其他范圍時(shí)，的第元素的代數(shù)余子式等于零，因此.設(shè)矩陣,，則解，.點(diǎn)評:當(dāng)時(shí),可逆,由,兩端左乘得:.3.2由伴隨矩陣推導(dǎo)原矩陣設(shè)矩陣A的伴隨矩陣，求A．解下三角行列式，于是A*可逆，所以A也可逆．根據(jù)，，得，，所以.已知三階矩陣的逆矩陣為，試求伴隨矩陣的逆矩陣.分析涉及伴隨矩陣的問題，注意利用公式.解因?yàn)?，所?于是.由，有.因此.3.3伴隨矩陣方程求解設(shè)4階實(shí)矩陣的伴隨矩陣為，如果，求矩陣Y．解因?yàn)?，所以是可逆矩陣．于是也是可逆矩陣，并?因?yàn)槭?階矩陣，所以由性質(zhì)(4)可知，，又因?yàn)槭?階矩陣，所以．由此可得．在等式兩邊左乘，右乘，得：于是．因此．提示:分塊矩陣結(jié)論.設(shè)是3階矩陣，X是滿足等式的三階矩陣，求X．解在等式兩邊右乘矩陣，得到（1）因?yàn)椴⑶?，所以等式?）可以得到，即．因此，；．設(shè)是n階矩陣，是得伴隨矩陣，求．解令．因?yàn)?，所以是可逆矩陣．根?jù)伴隨矩陣的性質(zhì)；．于是，．因此，．3.4伴隨矩陣秩的求解設(shè)是正整數(shù)，是階矩陣．如果，證明,．證明因?yàn)?，所以．于是．設(shè)得個(gè)列為．因?yàn)椋远际驱R次方程組得解，即．于是，．.因?yàn)?，所以根?jù)定理中存在階非零子式．于是．由此可得．因此．說明：設(shè)設(shè)是正整數(shù)，是階矩陣．如果，那么．于是是可逆矩陣．因此．如果，那么的所有階子式都等于零．于是．因此．試求出滿足的一切階矩陣．分析解①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有．②當(dāng)時(shí)，則，即，此時(shí)．③當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，即．因?yàn)槿?，則，于是，這與矛盾.故此時(shí)．④當(dāng)時(shí)，則，由可得，僅當(dāng)時(shí)．綜上可得，滿足的矩陣是：零矩陣以及滿足的可逆矩陣．設(shè)三階矩陣，若的伴隨矩陣的秩等于1，則必有（）或（B）或（C）且（D）且應(yīng)選（C）.分析由可知，可以求得，于是，當(dāng)且時(shí)，.3.5伴隨矩陣基本性質(zhì)的直接應(yīng)用設(shè)為3階矩陣，其逆矩陣為，求，．解．故，由伴隨矩陣的性質(zhì)；．此時(shí)．由伴隨矩陣性質(zhì)；．設(shè)為階矩陣，求證:.證明設(shè).記分別是中的第原書的余子式.則，，的第元素為，而的第元素就是.由Cauchy-Binet公式可得，.設(shè)是任一階方陣，是其伴隨矩陣，又為常熟，且，則有....應(yīng)選（B）分析本體可采用加強(qiáng)條件的技巧，若可逆，則由，可知，于是所以以應(yīng)選（B）.題設(shè)，主要是為了做到4個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)是正確的.如果不可逆，也能得到相應(yīng)的結(jié)論，只是稍微復(fù)雜一點(diǎn)，要用到的定義，設(shè)，其元素的代數(shù)余子式記作，則矩陣，若其元素的代數(shù)余子式記作，由行列式性質(zhì)由.從而.3.6伴隨矩陣與特征根設(shè)矩陣為階可逆矩陣，非零常數(shù)是的一個(gè)特征根，則的伴隨矩陣的特征根之一是()....解因?yàn)槭堑囊粋€(gè)特征根，所以，使得,左乘,得,然而,于是，所以是伴隨矩陣的特征根之一。故選().設(shè)均為階方陣，求證.證明（1）當(dāng)時(shí)，且，由公式，可以得到.（2）當(dāng)時(shí)，考慮矩陣，，由于和都最多只有有限個(gè)特征值，因此存在無窮多個(gè)，使得，.由上面（1）的結(jié)論有.令，.由上式.即有無窮多個(gè)使得上式成立，但，都是多項(xiàng)式，從而上式對一切都成立.特別令，這時(shí)有.結(jié)論伴隨矩陣是矩陣?yán)碚摵途€性代數(shù)中的一個(gè)重要的基本概念．它是數(shù)學(xué)很多分會的主要解題工具．經(jīng)過知識整理和探討做了以下工作：伴隨矩陣的性質(zhì)與伴隨矩陣性質(zhì)在解題中的具體應(yīng)用之間的關(guān)系．引入行列式的代數(shù)余子式和伴隨矩陣，研究了運(yùn)算乘法矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)．伴隨矩陣與矩陣與矩陣的共存和每個(gè)元素的代數(shù)余子式的矩陣的行列式伴隨矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念,它是原來的矩陣和逆矩陣有著密切關(guān)系．探討伴隨矩陣的相關(guān)性質(zhì)、求解及其應(yīng)用對數(shù)學(xué)問題具有重要意義．參考文獻(xiàn)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)[M]．（第四版）北京：高等教育出版社，2013．韓成茂.伴隨矩陣性質(zhì)研究[D].山東大學(xué)，2008.董改芳．關(guān)于伴隨矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用的研究[J]．太原學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2018，36(03):17-19．張艷桃.非奇異矩陣的高重伴隨矩陣的若干性質(zhì)[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，34（05）:李小霞，樂肇?zé)槪畁階方陣的伴隨矩陣的幾個(gè)性質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016(09):130．郭竹梅．伴隨矩陣與m次伴隨矩陣的對應(yīng)性質(zhì)[J]．宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，36(12):35-36．張麗麗.伴隨矩陣的若干性質(zhì)及其在解題中的應(yīng)[J