遼寧省莊河市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編專題測試考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm2、如圖，△ABC中，，以其三邊分別向外側(cè)作正方形，然后將整個(gè)圖形放置于如圖所示的長方形中，若要求圖中兩個(gè)陰影部分面積之和，則只需知道（

）A．以BC為邊的正方形面積 B．以AC為邊的正方形面積C．以AB為邊的正方形面積 D．△ABC的面積3、勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（

）A．直角三角形的面積B．最大正方形的面積C．較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積D．最大正方形與直角三角形的面積和4、如圖，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于，于，為中點(diǎn)，則的最小值為（

）.A． B． C． D．5、在△ABC中，，那么△ABC是（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形6、如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈達(dá)到點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要（

）A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm7、如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，在中，，于點(diǎn)D．E為線段BD上一點(diǎn)，連結(jié)CE，將邊BC沿CE折疊，使點(diǎn)B的對稱點(diǎn)落在CD的延長線上．若，，則的面積為__________．2、如圖，CD是△ABC的中線，將△ACD沿CD折疊至，連接交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．若的面積為12，，則點(diǎn)F到AC的距離為______．3、如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．4、如圖，已知四邊形中，，則四邊形的面積等于________.5、如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它爬的最短距離是_____．6、如圖，圓柱形無蓋玻璃容器，高18cm，底面周長為60cm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口1cm的F處有一蒼蠅，則急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度為__________cm（容器壁厚度忽略不計(jì)）．7、《九章算術(shù)》中記載著這樣一個(gè)問題：已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7步/分，乙的速度為3步/分，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？解：如圖，設(shè)甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇．根據(jù)勾股定理可列得方程為______．8、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為_____尺．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、2020年春季“新冠肺炎”在武漢全面爆發(fā)，蔓延全國，危及到人民生命安全，為了積極響應(yīng)國家防控政策，雙流區(qū)某鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行宣傳防控措施，如圖，筆直公路的一側(cè)點(diǎn)處有一村莊，村莊到公路的距離為600米，假設(shè)宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路上沿方向行駛時(shí)：（1）請問村莊能否聽到宣傳，請說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是200米/分鐘，那么村莊總共能聽到多長時(shí)間的宣傳？2、如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DCE；（2）連結(jié)AE，當(dāng)BC＝5，AC＝12時(shí)，求AE的長．3、如圖，中，，，是邊上一點(diǎn)，且，若．求的長．4、若的三邊，，滿足條件，試判斷的形狀.5、點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與它到點(diǎn)A(-8,2)的距離都等于13,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。6、已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判定△ABC的形狀．7、如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且，，.（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求的度數(shù).-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】三級臺(tái)階平面展開圖為長方形，長為20dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故選B．【考點(diǎn)】本題考查了平面展開——最短路徑問題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．2、D【解析】【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，證明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，則，即可推出由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面積的面積即可求出陰影部分的面積，故選D【考點(diǎn)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．3、C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得到c2=a2+b2，根據(jù)正方形的面積公式、長方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)直角三角形的斜邊長為c，較長直角邊為b，較短直角邊為a，由勾股定理得，c2=a2+b2，陰影部分的面積=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），較小兩個(gè)正方形重疊部分的長=a-（c-b），寬=a，則較小兩個(gè)正方形重疊部分底面積=a（a+b-c），∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積，故選C．【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．4、D【解析】【分析】先根據(jù)矩形的判定得出AEPF是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】解：如圖，連接AP，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn)．∵當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最?。逜P?BC=AB?AC，∴AP?BC=AB?AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=，∴AM=．故選：D．【考點(diǎn)】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是求出AP的最小值．5、D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形狀即可．【詳解】∵a：b：c=1：1：，∴三角形ABC是等腰三角形．設(shè)三邊長為a,a,∵，∴三角形ABC是直角三角形．綜上所述：△ABC是等腰直角三角形．故選D．【考點(diǎn)】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理．此題關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理解答．6、B【解析】【詳解】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．解：將長方體展開,連接AB′，則AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6cm，∴AB′=cm.故選B..7、D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的知識(shí)，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認(rèn)真觀察，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點(diǎn)，重點(diǎn)還是在于勾股定理的熟練掌握．二、填空題1、【解析】【分析】在△ABC中由等面積求出，進(jìn)而得到，設(shè)BE=x，進(jìn)而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．【詳解】解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，設(shè)BE=x，由折疊可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入數(shù)據(jù)：∴，解得，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理求線段長、折疊的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練使用勾股定理求線段長．2、【解析】【分析】過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，由翻折的性質(zhì)可知S△AA'D=24，由D為AB的中點(diǎn)，則S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通過AAS證明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的長，最后通過面積法即可求出FH的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，根據(jù)翻折的性質(zhì)得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D為AB的中點(diǎn)，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F為A'E的中點(diǎn)，∴A'F=EF，在△A'BF與△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA?HF=AF?CE，∴HF==，即點(diǎn)F到AC的距離為，故答案為：．【考點(diǎn)】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用等積法求垂線段的長是解題的關(guān)鍵．3、【解析】【分析】設(shè)，在中利用勾股定理求出x即可解決問題．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【考點(diǎn)】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問題，屬于中考常考題型．4、36【解析】【分析】連接AC，先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀，最后利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】連接AC，如下圖所示：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=，在△ACD中，AC2+AD2=25+144=169=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四邊形ABCD=AB?BC+AC?AD=×3×4+×5×12=36.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.5、25【解析】【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖所示：臺(tái)階平面展開圖為長方形，根據(jù)題意得：，，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：，即，∴，故答案為：25．【考點(diǎn)】本題主要考查了平面展開圖—最短路徑問題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．6、34【解析】【分析】首先展開圓柱的側(cè)面，即是矩形，接下來根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知CF的長即為所求；然后結(jié)合已知條件求出DF與CD的長，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】如圖為圓柱形玻璃容器的側(cè)面展開圖，線段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根據(jù)題意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），∴（cm），即蜘蛛所走的最短路線的長度是34cm.故答案為34.【考點(diǎn)】此題是有關(guān)最短路徑的問題，關(guān)鍵在于把立體圖形展開成平面圖形，找出最短路徑；7、【解析】【分析】設(shè)甲、乙二人出發(fā)后相遇的時(shí)間為x，然后利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)x秒二人在C處相遇，這時(shí)乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形．8、13【解析】【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度（尺，答：蘆葦長13尺．故答案為：13．【考點(diǎn)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．三、解答題1、（1）村莊能聽到宣傳，理由見解析；（2）村莊總共能聽到8分鐘的宣傳．【解析】【分析】（1）直接比較村莊到公路的距離和廣播宣傳距離即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理運(yùn)算出廣播影響村莊的路程，再除以速度即可得到時(shí)間．【詳解】解：（1）村莊能聽到宣傳，理由：∵村莊到公路的距離為600米1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到點(diǎn)開始影響村莊，行駛點(diǎn)結(jié)束對村莊的影響，則米，米，∴（米），∴米，∴影響村莊的時(shí)間為：（分鐘），∴村莊總共能聽到8分鐘的宣傳．【考點(diǎn)】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，勾股定理，仔細(xì)審題獲取相關(guān)信息合理作出圖形是解題的關(guān)鍵．2、（1）見解析；（2）13【解析】【分析】根據(jù)題意可知，本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，根據(jù)判定定理，運(yùn)用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等再通過AAS以及勾股定理進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）∵∴在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中【考點(diǎn)】本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，熟練掌握判定定理運(yùn)用以及平行的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．3、AC2=CE2+AE2=102+24∴AC=26，26÷5=5.2（s）．答：它至少需要5.2s才能趕回巢中．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，同時(shí)注意：時(shí)間=路程÷速度．2．2【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，結(jié)合可得出，進(jìn)而可得出，在中，利用勾股定理可求出的長，即，結(jié)合可求出的長．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．，，，．，，．在中，∵，，即，，．又，，．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，在中，利用勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．4、三角形為直角三角形,理由見解析【解析】【分析】這是一道有關(guān)勾股定理的逆定理、完全平方公式的解答題．把已知條件寫成三個(gè)完全平方式的和的形式，再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得三邊，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀.【詳解】，，即．，，，，，．，，．，，該三角形為直角三角形．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式