小學(xué)數(shù)學(xué)建模入門與案例分析引言《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確將“模型觀念”列為核心素養(yǎng)之一，強(qiáng)調(diào)“學(xué)生能從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論其意義”。小學(xué)數(shù)學(xué)建模并非高深莫測(cè)的“學(xué)術(shù)活動(dòng)”，而是將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，通過數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的思維過程。它能幫助學(xué)生打破“數(shù)學(xué)=計(jì)算”的認(rèn)知誤區(qū)，體會(huì)“數(shù)學(xué)是生活的工具”，真正實(shí)現(xiàn)“學(xué)以致用”。本文結(jié)合小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率），系統(tǒng)梳理建模入門的核心邏輯，并通過4個(gè)典型案例展示建模的具體步驟，為教師教學(xué)、家長(zhǎng)引導(dǎo)或?qū)W生自主探究提供可操作的參考。一、小學(xué)數(shù)學(xué)建模的核心概念與基本步驟（一）核心概念界定小學(xué)數(shù)學(xué)建模是“現(xiàn)實(shí)問題→數(shù)學(xué)模型→解決問題→回歸現(xiàn)實(shí)”的循環(huán)過程：現(xiàn)實(shí)問題：來自生活的具體場(chǎng)景（如購物、行程、測(cè)量）；數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)符號(hào)（數(shù)字、圖形、方程等）表示問題中的數(shù)量關(guān)系（如“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”）；解決問題：通過計(jì)算、推理求出模型的結(jié)果；回歸現(xiàn)實(shí)：驗(yàn)證結(jié)果是否符合實(shí)際，或推廣到類似場(chǎng)景。簡(jiǎn)言之，建模的本質(zhì)是“用數(shù)學(xué)語言翻譯生活”。（二）基本步驟拆解小學(xué)數(shù)學(xué)建模的步驟無需嚴(yán)格遵循學(xué)術(shù)規(guī)范，但需符合兒童的認(rèn)知邏輯，可簡(jiǎn)化為以下5步：1.問題聚焦：從復(fù)雜的生活場(chǎng)景中提煉關(guān)鍵問題（如“怎樣買文具最劃算？”）；2.假設(shè)簡(jiǎn)化：忽略次要因素（如“不考慮商店距離、文具質(zhì)量差異”），明確已知條件（如“A店筆記本5元/本，買3送1；B店筆記本4.5元/本，無優(yōu)惠”）；3.建立模型：用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系（如設(shè)購買筆記本數(shù)量為\(x\)，A店總價(jià)為\(5\times\lceilx/4\rceil\times3\)，B店總價(jià)為\(4.5x\)）；4.求解模型：通過計(jì)算、比較得出結(jié)果（如當(dāng)\(x=5\)時(shí)，A店總價(jià)=5×2×3=30元，B店總價(jià)=4.5×5=22.5元，選B店）；5.驗(yàn)證與應(yīng)用：檢查結(jié)果是否合理（如“買5本時(shí)B店更便宜，那買4本呢？”），并推廣到類似問題（如“買飲料、書籍時(shí)如何選優(yōu)惠”）。二、小學(xué)數(shù)學(xué)建模典型案例分析（一）數(shù)與代數(shù)：購物場(chǎng)景——最優(yōu)方案模型問題背景：小明需要買10支鉛筆，A商店每支0.8元，買4送1；B商店每支0.7元，滿5元減1元。哪種方案更劃算？步驟1：?jiǎn)栴}聚焦比較A、B兩店購買10支鉛筆的總價(jià)，選更低者。步驟2：假設(shè)簡(jiǎn)化不考慮鉛筆品牌、包裝差異；優(yōu)惠規(guī)則嚴(yán)格執(zhí)行（如“買4送1”即每5支為一組，每組付4支的錢）。步驟3：建立模型設(shè)購買數(shù)量為\(n=10\)支；A店：每組5支，每組價(jià)格=4×0.8=3.2元，組數(shù)=10÷5=2組，總價(jià)=2×3.2=6.4元；B店：原價(jià)=10×0.7=7元，滿5元減1元，總價(jià)=7-1=6元。步驟4：求解模型A店總價(jià)6.4元，B店總價(jià)6元，故B店更劃算。步驟5：驗(yàn)證與應(yīng)用驗(yàn)證：若買8支，A店=2組（8支）×3.2=6.4元，B店=8×0.7=5.6元（滿5元減1元，總價(jià)=5.6-1=4.6元），仍選B店；應(yīng)用：推廣到“買牛奶、零食的優(yōu)惠比較”，引導(dǎo)學(xué)生用“總價(jià)=優(yōu)惠后單價(jià)×數(shù)量”或“分組計(jì)算”建立模型。（二）圖形與幾何：測(cè)量場(chǎng)景——鋪地磚面積模型問題背景：教室長(zhǎng)8米、寬6米，要鋪邊長(zhǎng)為0.5米的正方形地磚，需要多少塊？步驟1：?jiǎn)栴}聚焦計(jì)算教室面積與地磚面積的比值，得到所需地磚數(shù)量。步驟2：假設(shè)簡(jiǎn)化教室地面為規(guī)則長(zhǎng)方形，無凹凸；地磚無損耗（忽略切割浪費(fèi)）。步驟3：建立模型教室面積=長(zhǎng)×寬=8×6=48平方米；地磚面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=0.5×0.5=0.25平方米；所需地磚數(shù)量=教室面積÷地磚面積=48÷0.25。步驟4：求解模型48÷0.25=192塊。步驟5：驗(yàn)證與應(yīng)用驗(yàn)證：用另一種方法計(jì)算（沿長(zhǎng)鋪：8÷0.5=16塊，沿寬鋪：6÷0.5=12塊，總數(shù)=16×12=192塊），結(jié)果一致；應(yīng)用：推廣到“鋪草坪、貼瓷磚”問題，引導(dǎo)學(xué)生用“總面積÷單位面積=數(shù)量”建立模型，同時(shí)思考“有損耗時(shí)如何調(diào)整（如增加5%的備用量）”。（三）行程問題：相遇場(chǎng)景——路程與時(shí)間模型問題背景：小紅和小明同時(shí)從家出發(fā)相向而行，小紅每分鐘走60米，小明每分鐘走70米，兩家相距1300米，多久后相遇？步驟1：?jiǎn)栴}聚焦求兩人相遇的時(shí)間，即“共同走完1300米所需的時(shí)間”。步驟2：假設(shè)簡(jiǎn)化兩人勻速行走，無中途停留；行走路線為直線，忽略地形影響。步驟3：建立模型設(shè)相遇時(shí)間為\(t\)分鐘；小紅走的路程=60\(t\)米，小明走的路程=70\(t\)米；總路程=小紅路程+小明路程，即\(60t+70t=1300\)。步驟4：求解模型合并同類項(xiàng)得\(130t=1300\)，解得\(t=10\)分鐘。步驟5：驗(yàn)證與應(yīng)用驗(yàn)證：10分鐘后，小紅走了600米，小明走了700米，合計(jì)1300米，符合題意；應(yīng)用：推廣到“追及問題（如小明落后小紅100米，多久能追上？）”，模型調(diào)整為\(70t-60t=100\)，引導(dǎo)學(xué)生理解“相對(duì)速度”的概念。（四）統(tǒng)計(jì)與概率：數(shù)據(jù)場(chǎng)景——生日分布模型問題背景：班級(jí)有40名同學(xué)，想知道哪個(gè)月份生日的人最多，如何統(tǒng)計(jì)？步驟1：?jiǎn)栴}聚焦用統(tǒng)計(jì)方法描述生日的月份分布，找出眾數(shù)（出現(xiàn)次數(shù)最多的月份）。步驟2：假設(shè)簡(jiǎn)化同學(xué)如實(shí)提供生日；忽略閏年2月29日的特殊情況。步驟3：建立模型數(shù)據(jù)收集：設(shè)計(jì)表格記錄每個(gè)同學(xué)的生日月份；數(shù)據(jù)整理：用條形統(tǒng)計(jì)圖表示各月份的人數(shù)（橫軸為月份，縱軸為人數(shù)）；數(shù)據(jù)分析：找出條形最高的月份（眾數(shù)）。步驟4：求解模型收集數(shù)據(jù)：如1月3人、2月2人、3月5人……12月4人；繪制統(tǒng)計(jì)圖：3月的條形最高（5人）；結(jié)論：3月生日的人最多。步驟5：驗(yàn)證與應(yīng)用驗(yàn)證：檢查數(shù)據(jù)記錄是否有誤（如重復(fù)或遺漏）；應(yīng)用：推廣到“統(tǒng)計(jì)班級(jí)身高分布、興趣愛好”，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)據(jù)收集→整理→分析”的模型解決實(shí)際問題，培養(yǎng)“數(shù)據(jù)意識(shí)”。三、小學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)施建議（一）素材選擇：貼近學(xué)生生活優(yōu)先選擇“校園場(chǎng)景”（如班級(jí)采購、教室布置）、“家庭場(chǎng)景”（如超市購物、水電費(fèi)計(jì)算）、“社會(huì)場(chǎng)景”（如社區(qū)垃圾分類統(tǒng)計(jì)），讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)就在身邊”。例如，用“學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)徑賽項(xiàng)目的時(shí)間計(jì)算”替代抽象的“行程問題”，更易激發(fā)興趣。（二）步驟引導(dǎo)：從“扶”到“放”低年級(jí)學(xué)生（1-3年級(jí)）需教師全程引導(dǎo)，如“買文具”問題中，教師可先幫學(xué)生明確“優(yōu)惠規(guī)則”，再一起計(jì)算總價(jià)；中高年級(jí)學(xué)生（4-6年級(jí)）可逐步放手，讓學(xué)生自主提出假設(shè)、建立模型，教師僅在“模型驗(yàn)證”環(huán)節(jié)點(diǎn)撥（如“有沒有考慮滿減的門檻？”）。（三）評(píng)價(jià)重點(diǎn)：過程而非結(jié)果建模的價(jià)值在于“思維訓(xùn)練”，而非“答案正確”。評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否能：從場(chǎng)景中提煉問題（如“怎樣最劃算？”）；合理簡(jiǎn)化條件（如“忽略質(zhì)量差異”）；用數(shù)學(xué)語言表達(dá)關(guān)系（如“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”）；驗(yàn)證結(jié)果的合理性（如“買5本時(shí)B店更便宜，那買4本呢？”）。（四）多元拓展：跨學(xué)科融合建?？膳c科學(xué)、語文等學(xué)科結(jié)合，如“統(tǒng)計(jì)校園樹木種類”（數(shù)學(xué)+科學(xué)）、“計(jì)算作文本的紙張數(shù)量”（數(shù)學(xué)+語文），讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)是跨學(xué)科的工具”。例如，“統(tǒng)計(jì)校園內(nèi)櫻花樹的數(shù)量”，需用“抽樣調(diào)查”（數(shù)學(xué)）+“識(shí)別櫻花特征”（科學(xué)），提升綜合能力。結(jié)語小學(xué)數(shù)學(xué)建模不是“額外的負(fù)擔(dān)”，而是讓數(shù)學(xué)“活”起來的關(guān)鍵。它能幫助學(xué)生從“被動(dòng)計(jì)算”轉(zhuǎn)向“主動(dòng)思考”，從“解決數(shù)學(xué)題”轉(zhuǎn)向“解決生活問題”。正如數(shù)學(xué)家華羅庚所說：