前言本習題集圍繞微積分核心知識點（極限、導數(shù)、積分及應用）編排，旨在幫助讀者鞏固基礎、提升解題邏輯與技巧。內(nèi)容分為基礎題（鞏固知識點）、提高題（綜合應用）、挑戰(zhàn)題（靈活思維）三個層級，解答部分注重思路引導與易錯點提醒，適合高校微積分課程學生、自學者及考研備考者使用。使用建議：1.先回顧對應章節(jié)的知識點回顧，梳理核心概念與公式；2.獨立完成習題，標記疑難問題；3.對照解答分析思路，重點關注方法選擇與易錯點；4.總結(jié)同類題型的解題規(guī)律，提升舉一反三能力。第一章極限極限是微積分的基礎，描述函數(shù)/數(shù)列在自變量變化時的趨勢。本章涵蓋函數(shù)極限、數(shù)列極限、無窮小量三大模塊。1.1函數(shù)極限1.1.1知識點回顧1.ε-δ定義：若對任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，當$0<|x-a|<\delta$時，$|f(x)-L|<\varepsilon$，則$\lim_{x→a}f(x)=L$。2.重要極限：$\lim_{x→0}\frac{\sinx}{x}=1$（三角函數(shù)極限核心）；$\lim_{x→∞}(1+\frac{1}{x})^x=e$（指數(shù)型極限核心）。3.洛必達法則：適用于“0/0”或“∞/∞”型極限，若$\lim_{x→a}\frac{f’(x)}{g’(x)}$存在，則$\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x→a}\frac{f’(x)}{g’(x)}$（需驗證條件）。1.1.2習題基礎題1.求$\lim_{x→3}(2x^2-5x+1)$；2.求$\lim_{x→0}\frac{\tan2x}{x}$；3.求$\lim_{x→∞}\frac{3x^3-2x+5}{x^3+x^2-1}$。提高題4.求$\lim_{x→2}\frac{x^2-4}{x-2}$；5.求$\lim_{x→0}\frac{\ln(1+x)}{x}$；6.求$\lim_{x→∞}(1-\frac{1}{x})^x$。挑戰(zhàn)題7.求$\lim_{x→0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$；8.求$\lim_{x→0^+}x\lnx$（右極限）；9.求$\lim_{x→∞}\frac{x-\sinx}{x+\sinx}$。1.1.3解答基礎題1.分析：多項式函數(shù)連續(xù)，直接代入$x=3$。解答：$\lim_{x→3}(2x^2-5x+1)=2×3^2-5×3+1=18-15+1=4$。2.分析：$\tan2x=\frac{\sin2x}{\cos2x}$，利用$\lim_{x→0}\frac{\sin2x}{x}=2$。解答：$\lim_{x→0}\frac{\tan2x}{x}=\lim_{x→0}\frac{\sin2x}{x\cos2x}=2×\frac{1}{1}=2$。3.分析：分子分母最高次項均為$x^3$，極限為系數(shù)比。解答：$\lim_{x→∞}\frac{3x^3-2x+5}{x^3+x^2-1}=\lim_{x→∞}\frac{3-\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}}{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}=3$。提高題4.分析：“0/0”型，因式分解化簡（$x≠2$）。解答：$\lim_{x→2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x→2}(x+2)=4$。5.分析：“0/0”型，用洛必達法則或等價無窮?。?\ln(1+x)\simx$）。解答：方法一（等價無窮小）：$\lim_{x→0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x→0}\frac{x}{x}=1$；方法二（洛必達）：$\lim_{x→0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1$。6.分析：利用$\lim_{t→∞}(1+\frac{1}{t})^t=e$，令$t=-x$。解答：$\lim_{x→∞}(1-\frac{1}{x})^x=\lim_{t→∞}(1+\frac{1}{t})^{-t}=e^{-1}$。挑戰(zhàn)題7.分析：“0/0”型，兩次應用洛必達法則。解答：第一步：$\lim_{x→0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x→0}\frac{e^x-1}{2x}$（0/0型）；第二步：$\lim_{x→0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$。8.分析：“0×∞”型，轉(zhuǎn)化為“∞/∞”型用洛必達法則。解答：$\lim_{x→0^+}x\lnx=\lim_{x→0^+}\frac{\lnx}{1/x}=\lim_{x→0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x→0^+}(-x)=0$。9.分析：$\sinx$有界（$-1≤\sinx≤1$），利用“有界函數(shù)×無窮小=無窮小”。解答：$\lim_{x→∞}\frac{x-\sinx}{x+\sinx}=\lim_{x→∞}\frac{1-\frac{\sinx}{x}}{1+\frac{\sinx}{x}}=1$（$\frac{\sinx}{x}→0$）。第二章導數(shù)與微分導數(shù)描述函數(shù)的瞬時變化率，是微積分的核心工具。本章重點講解導數(shù)定義、復合函數(shù)導數(shù)及隱函數(shù)導數(shù)。2.1導數(shù)的定義與基本公式2.1.1知識點回顧1.導數(shù)定義：$f’(x_0)=\lim_{\Deltax→0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$（瞬時變化率）。2.基本導數(shù)公式：$(x^n)’=nx^{n-1}$（冪函數(shù)）；$(e^x)’=e^x$，$(\lnx)’=\frac{1}{x}$；$(\sinx)’=\cosx$，$(\cosx)’=-\sinx$。2.1.2習題基礎題1.用定義求$f(x)=x^3$在$x=1$處的導數(shù)；2.求$y=3x^2-2\cosx+\lnx$的導數(shù)；3.求$y=e^{2x}$的導數(shù)（用鏈式法則）。提高題4.求$y=\sin(3x+1)$的導數(shù)；5.求$y=\ln(x^2+1)$的導數(shù)；6.求隱函數(shù)$x^2+y^2=4$在$(1,\sqrt{3})$處的導數(shù)。挑戰(zhàn)題7.求$y=x^x$的導數(shù)（對數(shù)求導法）；8.求$y=\frac{\sinx}{x}$的二階導數(shù)；9.求參數(shù)方程$\begin{cases}x=t^2\\y=2t\end{cases}$的導數(shù)$\frac{dy}{dx}$。2.1.3解答基礎題1.分析：嚴格按導數(shù)定義計算。解答：$f’(1)=\lim_{\Deltax→0}\frac{(1+\Deltax)^3-1^3}{\Deltax}=\lim_{\Deltax→0}\frac{1+3\Deltax+3\Deltax^2+\Deltax^3-1}{\Deltax}=\lim_{\Deltax→0}(3+3\Deltax+\Deltax^2)=3$。2.分析：逐項求導，利用基本公式。解答：$y’=(3x^2)’-(2\cosx)’+(\lnx)’=6x+2\sinx+\frac{1}{x}$。3.分析：復合函數(shù)$y=e^{u}$，$u=2x$，鏈式法則：$y’=y’_u·u’_x$。解答：$y’=e^{2x}·2=2e^{2x}$。提高題4.分析：復合函數(shù)$y=\sinu$，$u=3x+1$，鏈式法則。解答：$y’=\cos(3x+1)·3=3\cos(3x+1)$。5.分析：復合函數(shù)$y=\lnu$，$u=x^2+1$，鏈式法則。解答：$y’=\frac{1}{x^2+1}·2x=\frac{2x}{x^2+1}$。6.分析：隱函數(shù)求導，兩邊對$x$求導（$y$是$x$的函數(shù)）。解答：$2x+2yy’=0$，解得$y’=-\frac{x}{y}$。代入$(1,\sqrt{3})$，得$y’=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。挑戰(zhàn)題7.分析：$x^x$是冪指函數(shù)，取對數(shù)轉(zhuǎn)化為乘積形式。解答：$\lny=x\lnx$，兩邊對$x$求導：$\frac{y’}{y}=\lnx+1$，故$y’=x^x(\lnx+1)$。8.分析：先求一階導數(shù)，再求二階導數(shù)（商的導數(shù)法則）。解答：一階導數(shù)：$y’=\frac{\cosx·x-\sinx·1}{x^2}=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}$；二階導數(shù)：$y''=\frac{(\cosx-x\sinx-\cosx)·x^2-(x\cosx-\sinx)·2x}{x^4}=\frac{-x^3\sinx-2x^2\cosx+2x\sinx}{x^4}=\frac{-x\sinx-2\cosx+2\frac{\sinx}{x}}{x^2}$（或化簡為$\frac{2\sinx-2x\cosx-x^2\sinx}{x^3}$）。9.分析：參數(shù)方程導數(shù)公式：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$。解答：$dx/dt=2t$，$dy/dt=2$，故$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}$（$t≠0$）。第三章不定積分不定積分是導數(shù)的逆運算，核心是尋找原函數(shù)。本章重點講解換元積分法與分部積分法。3.1不定積分的基本概念與公式3.1.1知識點回顧1.不定積分定義：若$F’(x)=f(x)$，則$\intf(x)dx=F(x)+C$（$C$為常數(shù)）。2.基本積分公式：$\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n≠-1$）；$\inte^xdx=e^x+C$，$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$；$\int\sinxdx=-\cosx+C$，$\int\cosxdx=\sinx+C$。3.換元積分法：第一類換元（湊微分）：$\intf(φ(x))φ’(x)dx=\intf(u)du$（$u=φ(x)$）；第二類換元（變量替換）：$\intf(x)dx=\intf(φ(t))φ’(t)dt$（$x=φ(t)$，可逆）。4.分部積分法：$\intudv=uv-\intvdu$（$u$選“反、對、冪、指、三”順序）。3.1.2習題基礎題1.求$\int(2x^3-3x+1)dx$；2.求$\inte^{3x}dx$；3.求$\int\sin(2x+3)dx$。提高題4.求$\int\frac{1}{x^2+4}dx$；5.求$\intx\cosxdx$（分部積分）；6.求$\int\sqrt{1-x^2}dx$（三角換元）。挑戰(zhàn)題7.求$\int\lnxdx$（分部積分）；8.求$\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$（湊微分）；9.求$\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx$（根式換元）。3.1.3解答基礎題1.分析：逐項積分，利用冪函數(shù)積分公式。解答：$\int(2x^3-3x+1)dx=2·\frac{x^4}{4}-3·\frac{x^2}{2}+x+C=\frac{x^4}{2}-\frac{3x^2}{2}+x+C$。2.分析：湊微分，令$u=3x$，則$du=3dx$，$dx=\frac{1}{3}du$。解答：$\inte^{3x}dx=\frac{1}{3}\inte^udu=\frac{1}{3}e^{3x}+C$。3.分析：湊微分，令$u=2x+3$，則$du=2dx$，$dx=\frac{1}{2}du$。解答：$\int\sin(2x+3)dx=\frac{1}{2}\int\sinudu=-\frac{1}{2}\cos(2x+3)+C$。提高題4.分析：利用$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$（$a=2$）。解答：$\int\frac{1}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}+C$。5.分析：分部積分，選$u=x$（冪函數(shù)），$dv=\cosxdx$（三角函數(shù)）。解答：$u=x$，$dv=\cosxdx$，則$du=dx$，$v=\sinx$；積分$=uv-\intvdu=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C$。6.分析：$\sqrt{1-x^2}$對應三角換元$x=\sint$（$t∈[-π/2,π/2]$）。解答：令$x=\sint$，則$dx=\costdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cost$；積分$=\int\cost·\costdt=\int\cos2tdt=\int\frac{1+\cos2t}{2}dt=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin2t+C$；回代$t=\arcsinx$，$\sin2t=2\sint\cost=2x\sqrt{1-x^2}$，得：$\frac{1}{2}\arcsinx+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+C$。挑戰(zhàn)題7.分析：分部積分，選$u=\lnx$（對數(shù)函數(shù)），$dv=dx$。解答：$u=\lnx$，$dv=dx$，則$du=\frac{1}{x}dx$，$v=x$；積分$=uv-\intvdu=x\lnx-\intx·\frac{1}{x}dx=x\lnx-x+C$。8.分析：湊微分，令$u=e^x$，則$du=e^xdx$，積分變?yōu)?\int\frac{1}{1+u^2}du$。解答：$\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx=\int\frac{1}{1+(e^x)^2}d(e^x)=\arctan(e^x)+C$。9.分析：根式換元，令$t=\sqrt{x+1}$，則$x=t^2-1$，$dx=2tdt$。解答：$\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx=\int\frac{t^2-1}{t}·2tdt=2\int(t^2-1)dt=2(\frac{t^3}{3}-t)+C=2(\frac{(x+1)^{3/2}}{3}-\sqrt{x+1})+C$（化簡為$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+C$）。第四章定積分與應用定積分是Riemann和的極限，核心是微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）。本章重點講解定積分計算與幾何應用（面積、體積）。4.1定積分的計算4.1.1知識點回顧1.牛頓-萊布尼茨公式：若$F(x)$是$f(x)$的原函數(shù)，則$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$。2.定積分換元法：$\int_a^bf(x)dx=\int_α^βf(φ(t))φ’(t)dt$（$x=φ(t)$，$φ(α)=a$，$φ(β)=b$）。3.定積分分部積分法：$\int_a^budv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu$。4.1.2習題基礎題1.求$\int_0^1x^2dx$；2.求$\int_0^{π/2}\sinxdx$；3.求$\int_1^2\frac{1}{x}dx$。提高題4.求$\int_0^1e^{2x}dx$；5.求$\int_0^πx\sinxdx$（分部積分）；6.求$\int_0^2\sqrt{4-x^2}dx$（幾何意義）。挑戰(zhàn)題7.求$\int_0^1\arctanxdx$（分部積分）；8.求$\int_0^π\(zhòng)sin^2xdx$（倍角公式）；9.求$\int_1^∞\frac{1}{x^2}dx$（反常積分）。4.1.3解答基礎題1.分析：用牛頓-萊布尼茨公式，原函數(shù)為$\frac{x^3}{3}$。解答：$\int_0^1x^2dx=[\frac{x^3}{3}]_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$。2.分析：原函數(shù)為$-\cosx$。解答：$\int_0^{π/2}\sinxdx=[-\cosx]_0^{π/2}=-\cos(π/2)+\cos0=0+1=1$。3.分析：原函數(shù)為$\lnx$。解答：$\int_1^2\frac{1}{x}dx=[\lnx]_1^2=\ln2-\ln1=\ln2$。提高題4.分析：原函數(shù)為$\frac{1}{2}e^{2x}$。解答：$\int_0^1e^{2x}dx=[\frac{1}{2}e^{2x}]_0^1=\frac{1}{2}(e^2-1)$。5.分析：分部積分，選$u=x$，$dv=\sinxdx$。解答：$u=x$，$dv=\sinxdx$，則$du=dx$，$v=-\cosx$；積分$=[-x\cosx]_0^π-\int_0^π(-\cosx)dx=[-π\(zhòng)cosπ+0]+[\sinx]_0^π=π+0=π$。6.分析：$\sqrt{4-x^2}$表示以原點為圓心、半徑2的上半圓，積分是四分之一圓面積。解答：$\int_0^2\sqrt{4-x^2}dx=\frac{1}{4}×π×2^2=π$（驗證：用三角換元得同樣結(jié)果）。挑戰(zhàn)題7.分析：分部積分，選$u=\arctanx$（反三角函數(shù)），$dv=dx$。解答：$u=\arctanx$，$dv=dx$，則$du=\frac{1}{1+x^2}dx$，$v=x$；積分$=[x\arctanx]_0^1-\int_0^1\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}[\ln(1+x^2)]_0^1=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}\ln2$。8.分析：用倍角公式$\sin2x=\frac{1-\cos2x}{2}$。解答：$\int_0^π\(zhòng)sin2xdx=\int_0^π\(zhòng)frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}[x-\frac{1}{2}\sin2x]_0^π=\frac{1}{2}(π-0)=\frac{π}{2}$。9.分析：反常積分，$\int_1^∞\frac{1}{x^2}dx=\lim_{b→∞}\int_1^b\frac{1}{x^2}dx$。解答：$\lim_{b→∞}[-\frac{1}{x}]_1^b=\lim_{b→∞}(-\frac{1}+1)=1$（收斂）。第五章積分的幾何應用積分的幾何應用是微積分的重要實用場景，本章重點講解平面圖形面積與旋轉(zhuǎn)體體積的計算。5.1平面圖形的面積5.1.1知識點回顧1.兩曲線圍成的面積：若$f(x)≥g(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則面積$S=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx$。2.參數(shù)方